Teil 2 Analysis 2 - lernen mit Serlo!

Die Firma FACTUS soll für einen Süßwarenhersteller quaderförmige Verpackungen für Schokoladenbonbons produzieren. Der Auftraggeber verlangt, dass die Verpackung eine quadratische Grundfläche aufweist und dass die Summe aus Länge, Breite und Höhe $45 \mathrm{~cm}$ beträgt, damit der Verpackungsautomat die gefalteten Verpackungen verarbeiten und befüllen kann. Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche wird mit a bezeichnet.

Die Werte der Funktion $V: a \mapsto V(a)$ geben jeweils das Volumen der Verpackung in $\mathrm{cm}^{3}$ an. Damit die Verpackung handlich bleibt, soll die Seitenlänge a der Grundfläche mindestens $10 \mathrm{~cm}$ und höchstens $20 \mathrm{~cm}$ betragen.

Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen der Einheiten verzichtet werden.

Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Funktion V .
[ Mögliches Ergebnis: $\mathrm{V}(\mathrm{a})=45 \mathrm{a}^{2}-2 \mathrm{a}^{3}$ ]
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Hauptbedingung
Die Zielfunktion/Hauptbedingung beschreibt das Volumen des Quaders. Der Quader hat eine quadratische Grundfläche, deshalb gilt für das Volumen:
$V(a,h)=a^2\cdot h$
Nebenbedingung
Dein Ziel ist es, h in der Hauptbedingung loszuwerden. Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass die Summe aus Länge, Breite und Höhe exakt 45 cm ist:
$a+a+h=45$
Forme diese Nebenbedingung nach h um:
$\displaystyle 2a+h$ $=$ $\displaystyle 45$ $\displaystyle -2a$
$\displaystyle h$ $=$ $\displaystyle 45-2a$
Nebenbedingung in Hauptbedingung
Ersetze h in der Hauptbedingung:
$\displaystyle V\left(a\right)$ $=$ $\displaystyle a^2\cdot\left(45-2a\right)$
$=$ $\displaystyle 45a^2-2a^3$
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Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe.
Hier sollst du den Funktionsterm der Hauptbedingung in Abhängigkeit von a herausfinden.
Stelle eine Hauptbedingung auf
Stelle eine Nebenbedingung auf
Forme die Nebenbedingung nach h um und setze in die Hauptbedingung ein

Ermitteln Sie die Maße einer Verpackung der Firma FACTUS, die den Vorgaben entspricht und dabei maximales Volumen besitzt. Geben Sie die spezielle Form dieser Verpackung an und berechnen Sie das Volumen. (7 BE)

Die Firma FACTUS bekommt den Auftrag, 6000 würfelförmige und bedruckte Verpackungen mit einer Kantenlänge von $15 \mathrm{~cm}$ herzustellen.
Aus Kostengründen überlegt die Firma, ob sie den Druckauftrag an die eigene Druckerei FACTUS-Print geben soll oder ob das Angebot der Konkurrenzfirma PappDruck günstiger ist. Bei den Verpackungen werden alle Außenflächen außer der Bodenfläche bedruckt.
(4 BE)
Druckkosten
Rabatt
FACTUS-Print
8 Cent pro 1000 cm²
kein Rabatt
PappDruck
9 Cent pro Verpackung
Bedruckung jedes 10. Würfels gratis
Entscheiden Sie rechnerisch, welche Firma aus wirtschaftlicher Sicht den Druckauftrag bekommen sollte. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
FACTUS-Print
Hier musst du wissen, wie groß die Oberfläche des Würfels ist. Der Karton ist nach oben offen, eine Seitenfläche ist ein Quadrat mit Seitenlänge $a=15$ :
$O=5\cdot (15\cdot 15)=1125 \quad[cm^2]$
Insgesamt sind es 6000 Würfel, also werden $6000\cdot1125 cm^2=6750000cm^2$ bedruckt.
Es sind 0,08€ pro $1000cm^2$ zu bezahlen, also:
$(6750000cm^2:1000cm^2)\cdot 0{,}08€=540€$
PappDruck
Da jeder 10. Würfel gratis ist, zahlst du nur 90% der Würfel.
Das sind $6000\cdot 0{,}9=5400$ Stück.
Pro Würfel zahlst du 0,09€:
$5400\cdot 0{,}09 €=486€$
Entscheidung
Es sollte bei PappDruck gedruckt werden.
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Bestimme den Oberflächeninhalt der Verpackung
Berechne daraus den Preis bei FACTUS-Print
Bestimme, wie viele Würfel bei PappDruck bezahlt werden müssen und bestimme ebenfalls den Preis
Vergleiche die Preise und gib eine Empfehlung ab

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle V'\left(a\right)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 90a-6a^2$
	↓	Klammere $a$ aus
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle a\left(90-6a\right)$

$\displaystyle 90-6a$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +6a$
$\displaystyle 90$	$=$	$\displaystyle 6a$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle a$

Hauptbedingung

Nebenbedingung

Nebenbedingung in Hauptbedingung

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Randextrema

übrige Extrema

Höhe des Quaders und Form

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FACTUS-Print

PappDruck

Entscheidung

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$\displaystyle 2a+h$	$=$	$\displaystyle 45$	$\displaystyle -2a$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 45-2a$

$\displaystyle V\left(a\right)$	$=$	$\displaystyle a^2\cdot\left(45-2a\right)$
	$=$	$\displaystyle 45a^2-2a^3$

	Druckkosten	Rabatt
FACTUS-Print	8 Cent pro 1000 cm²	kein Rabatt
PappDruck	9 Cent pro Verpackung	Bedruckung jedes 10. Würfels gratis