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Aufgabe 1C

Gegeben ist die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=1100(1500x418x3+52x245x)f(x)=-\frac{1}{100} \cdot\left(\frac{1}{500} x^{4}-\frac{1}{8} x^{3}+\frac{5}{2} x^{2}-45 x\right). Im Küstenschutz ist ein neuer Deich von Bedeutung: der Klimadeich. Der Querschnitt eines Klimadeiches wird durch die von dem Graphen der Funktion ff und der xx-Achse eingeschlossenen Fläche modelliert. Dabei werden xx und f(x)f(x) in Metern (m)(m) angegeben.

  1. Bild

    Die Abbildung zeigt den Graphen von ff. Markieren Sie auf der xx-Achse das Intervall, in dem der Klimadeich mindestens 5 m5 \mathrm{~m} hoch ist.

    Ein moderner Deich ist etwa fünfmal so breit wie er hoch ist.

    Entscheiden Sie, ob der Klimadeich diese Regel erfüllt.

    Begründen Sie Ihre Entscheidung nur mithilfe der Abbildung. (5 BE)

  2. Die maximale Höhe des Klimadeiches ist 0,9 m\mathrm{m} höher als die des zuvor vorhandenen Deiches.

    Berechnen Sie die maximale Höhe des früheren Deiches auf cm\mathrm{cm} genau. (4 BE)

  3. Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall [0;30][0; 30].

    Berechnen Sie den Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle x=0x=0. (5 BE)

  4. Der Klimadeich besteht aus einem Sandkern und einer Abdeckungsschicht aus Kleiboden. Im Querschnitt hat die Abdeckungsschicht aus Kleiboden im Bereich 5x425 \leq x \leq 42 an jeder Stelle eine vertikale Dicke von 1,5 m1{,}5 \mathrm{~m}.

    Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich 5x425 \leq x \leq 42. (5 BE)

  5. Begründen Sie, dass im Bereich von aa bis bb mit 5a<b425 \leq a<b \leq 42 der Inhalt des

    Querschnitts der Kleibodenschicht mit 1,5(ba)1{,}5\cdot(b-a) berechnet werden kann. (4 BE)

  6. An der Stelle x=42x=42 wird senkrecht zum oberen Rand des Querschnitts eine geradlinige Bohrung durchgeführt.

    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem diese Bohrung den Sandkern erreicht. (5 BE)

  7. Der obere Rand des Querschnitts des Sandkerns wird neu modelliert.

    Der obere Rand des Querschnitts des Klimadeiches wird weiterhin durch ff beschrieben.

    Gegeben ist die auf R\mathbb{R} definierte Funktionenschar gkg_{k} mit

    gk(x)=0,3(xk)2e0,16(xk)+0,2g_{k}(x)=0{,}3 \cdot(x-k)^{2} \cdot e^{0{,}16 \cdot(x-k)+0{,}2}.

    Die Graphen von gkg_{k} sollen für 5x425 \leq x \leq 42 und 41,5k47,541{,}5 \leq k \leq 47{,}5 den oberen Rand des

    Querschnitts des Sandkerns beschreiben.

    Bild

    In der Abbildung sind die Graphen von zwei Vertretern von gkg_{k} abgebildet.

    Geben Sie für Graph I

    und Graph II jeweils

    einen Näherungswert

    für kk an.

    Begründen Sie Ihre Angaben. (5 BE)

  8. Die vertikale Dicke der Abdeckungsschicht aus Kleiboden soll

    • 2m2 m an der Stelle x=14x=14 betragen und

    • im Querschnitt im Bereich 5x425 \leq x \leq 42 an jeder Stelle mindestens 0,95 m0{,}95 \mathrm{~m} betragen.

    Untersuchen Sie, ob es einen Wert für kk mit 41,5k47,541{,}5 \leq k \leq 47{,}5 gibt, sodass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind. (7 BE)