Die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes

Berechne $f(1)$:

$f(1)=5\cdot(e^{−0{,}3\cdot 1}−e^{−4\cdot 1})\approx3{,}61$

Die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes beträgt rund $3{,}6\; \frac{\text{m g}}{\text{l}}$.

Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 $\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ annimmt

Gegeben ist $f(x)=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$.

Berechne $2{,}8=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$

Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 $\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ annimmt, ist rund eine viertel Stunde nach der Einnahme.

Wie lange beträgt die Konzentration mindestens $0{,}5 \;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$?

Berechne $0{,}5=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$

Die Schnittstellen des Graphen von $f$ mit der Geraden $y=0{,}5$ sind $x_1\approx0{,}029$ und $x_2\approx 7{,}675$. Es ist $x_2-x_1\approx7{,}6$.

Im Bereich $x_1<x<x_2$ ist $f(x)>0{,}5$, d.h. die Konzentration beträgt ungefähr $7{,}6$ Stunden mindestens $0{,}5 \;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$.

Bestimmen Sie $f^{\prime}(0{,}5)$.

Ergebnis: $f'(0{,}5)\approx1{,}4\;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$

Interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang

Eine halbe Stunde nach der Einnahme nimmt die Konzentration im Blut

momentan um etwa $1{,}4\;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ pro Stunde zu.

Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt

Der Zeitpunkt $x_1$ der größten Abnahme liegt vor, wenn $f'$ ein Minimum hat.

Berechne $\dfrac{d}{dx}(f'(x))=0\;\Rightarrow\;\dfrac{d}{dx}\left(5 \cdot(-0{,}3 e^{-0{,}3 x}+4 e^{-4 x})\right)=0$:

Der GTR liefert als einzige Lösung: $x_1\approx1{,}400144$

Der gesuchte Zeitpunkt ist etwa $1{,}4$ Stunden nach der Einnahme.

Wann ist die Konzentration im Blut am größten?

Der Zeitpunkt $x_1$ maximaler Konzentration liegt vor, wenn $f$ ein Maximum hat.

Berechne $f'(x)=0$:

Der GTR liefert als einzige Lösung: $x_1\approx0{,}7000722...$

Das Medikament sollte optimalerweise $0{,}7+1=1{,}7$ Stunden vor dem Schlafengehen eingenommen werden.

Interpretieren Sie diese Aussage im Sachkontext

Im betrachteten Zeitraum gibt es keinen Zeitpunkt $x$, zu dem die Konzentration

genau halb so groß ist wie eine Stunde davor.

Die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration ist so groß wie die momentane Änderungsrate der Konzentration $0{,}75$ Stunden nach der Einnahme

Die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration im Zeitintervall $[x ; 12]$ ist

$\dfrac{f(x)-f(12)}{x-12}$

Die momentane Änderungsrate der Konzentration $0{,}75$ Stunden nach der Einnahme ist $f'(0{,}75)$.

$\Rightarrow\;$ Löse die Gleichung $\dfrac{f(x)-f(12)}{x-12}=f'(0{,}75)$

Der GTR liefert als Lösungen: $x_1\approx0{,}207646...$und $x_2\approx3{,}199844...$.

Somit ist z.B. eine Lösung dieser Gleichung $x_1$ mit $x_1\approx0{,}2$.

Es gibt also ein solches Zeitintervall.

Die Gesamtkonzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme

Die Konzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme in $\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ ist $f(5)+f(1)$.

Die Konzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme beträgt rund $4{,}7\;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$.

Die Gesamtkonzentration soll $6 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ nicht übersteigen

Die höchste Gesamtkonzentration wird durch das Maximum der Funktion $h$ mit $h(x)=f(x)+f(x-4), x\geq 4$ beschrieben.

Bestimme mithilfe des GTR-Rechners die Extremstellen der Hilfs-Funktion $h(x)$.

Eine notwendige Bedingung für relative Extrema ist $h'(x)=0.$

Bilde mit $\dfrac{d}{dx}(h(x))$ die erste Ableitung der Funktion $h(x)$ und finde die Nullstelle:

$h'(x)=0$ für $x\approx4{,}63$

Wegen $h(4)\approx1{,}506$, $h(4{,}63)\approx4{,}98$ und $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=0$ ist $x\approx4{,}63$ die absolute Maximumstelle.

Die höchste Konzentration ist $4{,}98 \;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ und bleibt somit unter dem vorgegebenen Höchstwert von $6 \;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$.

Bestimmen Sie für $z=5$ den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem vereinfachten Modell null ist

Für $z=5$ ist $P(5|f(5))$.

Es ist $t(x)=m\cdot x+b$.

Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle $x=5$.

$m=f'(5)\approx-0{,}334695...$ und $f(5)\approx1{,}11565...$

$t(x)=-0{,}3347\cdot x+b\;\Rightarrow\;1{,}1157=-0{,}3347\cdot 5+b\;\Rightarrow\;b\approx2{,}789$

$t(x)=-0{,}335\cdot x+2{,}789$

Löse die Gleichung $t(x)=0$:

t hat die Nullstelle $x_N$ mit $x_N ≈ 8{,}3$.

Ungefähr 8,3 Stunden nach der Einnahme des Medikamentes ist die Konzentration null.

Gibt es einen Zeitpunkt $z$, sodass die Konzentration genau 6 Stunden nach der Einnahme null ist

Die Tangentengleichung im Punkt $(𝑧|f(𝑧))$ lautet:

Gesucht ist nun $t(6)=0$:

Der GTR gibt als eine Lösung den Wert $z_1\approx0{,}981163...$an.

Eine Lösung der Gleichung $t(6)=0$ ist $z_1$ mit $z_1\approx1$.

$z_1$ ist ein solcher Zeitpunkt.