2022

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Löse folgende Aufgaben:
1. Gib die Gleichung der eingezeichneten Ursprungsgerade $g$ an.
  $g: y=$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Allgemeine Geradengleichung: $y=m\cdot x+t$
  $m$ : Steigung
  $t$ : ist der $y$ -Wert, in dem die Gerade die $y$ -Achse schneidet.
  An der Zeichnung kannst du die Steigung einfach ablesen. $m=\dfrac{3}{2}=1{,}5$ (2 Kästchen nach rechts und 3 Kästchen nach oben).
  Da die Gerade durch den 0-Punkt geht, folgt außerdem $t=0$ .
  $g: y=1{,}5x$
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2. Die Ursprungsgerade $h$ hat die Gleichung $y = −\dfrac{1}{2}\cdot x$ . Die Ursprungsgerade $f$ verläuft senkrecht zur Gerade $h$ . Kreuze die Gleichung der Gerade f an.
  $y = –2\cdot x$
  $y = 2\cdot x$
  $y=-\dfrac{1}{5}\cdot x$
  $y = −\dfrac{1}{2}\cdot x$
  $y = 5\cdot x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei zueinander senkrechte Geraden
  $\dfrac{1}{2}\cdot 2=-1$ $\Rightarrow$
  Die Geraden mit den Gleichungen $y = −\dfrac{1}{2}\cdot x$ und $y=2\cdot x$ stehen senkrecht aufeinander.
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  Zwei Geraden stehen aufeinander senkrecht, wenn ihre Steigungen multipliziert
  $−1$ ergeben.
2
Vervollständige die Zeichnung zum gleichseitigen Dreieck $ABC$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke konstruieren
Zeichne einen Kreis um $A$ mit dem Radius $r=|AB|$ und einen Kreis um $B$ mit dem Radius $r=|AB|.$ Die beiden Kreise scheiden sich in 2 Punkten. Das Dreieck ABC ist ein gleichseitiges Dreieck.
Anmerkung: Das Dreieck $ADB$ wäre natürlich auch ein gleichseitiges Dreieck.

Ergänze die fehlenden Terme in den Kästchen, so dass eine wahre Aussage bei Anwendung des Distributivgesetzes entsteht.

Gib die Lösungsmenge L der Gleichung an:

\displaystyle 3\cdot(x² + x) – 3x² = x + 4

L = { }

5
Löse die Klammer auf und fasse so weit wie möglich zusammen.
$(2x + 5)² – 25 =$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\displaystyle (2x+5)^2-25$ $=$ $\displaystyle 4x^2+20x+25-25$
↓
Fasse zusammen
$=$ $\displaystyle 4x^2+20x$
6
Gegeben sind die Punkte $A(-2|3)$ und $B(1|5$ ). Gib die Koordinaten von $\overrightarrow{AB}$ an.
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
$\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} 1-(-2) \\ 5-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$
7
Ein Rechteck mit der Breite $x$ cm ist doppelt so lang wie breit ( $x∈\mathbb{Q^+}$ ).
Nur drei der folgenden Terme beschreiben den Umfang $u$ dieses Rechtecks in Abhängigkeit von $x$ richtig. Kreuze den Term an, der den Umfang $u$ nicht korrekt beschreibt.
$u(x) = (x + x + 2x + 2x) cm$
$u(x) = 6x cm$
$u(x) = 2x\cdot (2 + x) cm$
$u(x) = 2\cdot (2x + x) cm$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang von Rechteck
Länge des Rechtecks:
$2x\text{ cm}$
Umfang des Rechtecks:
$2\cdot(x\text{ cm} + 2x\text{ cm}) = 6x \text{ cm}$
Terme 1,2 und 4 ergibt je $6x \text{ cm}$ und somit sind sie richtig
Term 3 ergibt $(4x + 2x^2) \text{ cm}$ und somit ist er falsch
Berechne den Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit von x
8
Für das gleichschenklige Trapez $ABCD$ mit der Höhe $h$ gilt:
$AB||CD; ∢CBA = 70°; h = 2 cm$ .
Vervollständige die Zeichnung zum gleichschenkligen Trapez $ABCD$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Trapez
Zeichne eine Parallele zu $\overline{AB}$ mit Abstand $h=2cm.$ Trage dann in $A$ und in $B$ jeweils einen $70°$ Winkel an. Die Schnittpunkte der freien Schenkel dieser Winkel mit der Parallelen zu $\overline{AB}$ sind die Punkte $C$ und $D$ des gleichschenkligen Trapezes.
9
Der Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $PQR$ soll mit Hilfe einer Determinante ermittelt werden. Entnimm der Zeichnung die notwendigen Angaben für die Einträge in der Determinante.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
$A_{Dreieck}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|$ ; $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$
$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}$ FE
Nicht verlangt: Damit ergibt sich ein Flächeninhalt von $A_\text{Dreieck}=\dfrac{1}{2}(2+4)\text{FE}=3\text{FE}$ .
10
Ein quaderförmiges Schwimmbecken hat eine Länge von $25$ m und ist $10$ m breit. Bei der Befüllung fließen $20$ m³ Wasser pro Stunde in das zu Beginn leere Becken. Gib an, wie hoch das Becken nach $15$ Stunden mit Wasser gefüllt ist.
m

$V_{\text{Quader}}=l\cdot b\cdot h$
In einer Stunde fließen $20m^3$ Wasser in das Schwimmbecken.
$25m\cdot 10m\cdot h=20m^3$
$h=20m^3:250m^2=0{,}08m$
In einer Stunde wird das quaderförmige Schwimmbecken $0{,}08m$ hoch gefüllt.
$0{,}08m\cdot 15=1{,}2m$
In 15 Stunden wird das quaderförmige Schwimmbecken $1{,}2m$ hoch gefüllt.
Berechne zunächst, wie hoch das Becken in einer Stunde gefüllt wird.
11
Welche Definitionsmenge D gehört zum Bruchterm $T(x)=\dfrac{3+x}{x-4}$ ?
Kreuze diese an.
$D=\mathbb{Q}$ \{ -3 }
$D=\mathbb{Q}$ \{ 0 }
$D=\mathbb{Q}$ \{ 4 }
$D=\mathbb{Q}$ \{ $-3;4$ }
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Ein Bruch ist nur dann definiert, wenn denn Nenner ungleich 0 ist.
$x-4=0$
$x=4$
D= $\mathbb{Q}$ \{ $4$ }

Gib die Lösungsmenge L der Bruchgleichung $\dfrac{3}{5x+5}=\dfrac{1}{2x}$ mit $D=\mathbb{Q}$ \{ $-1;0$ }

L={ }

13
Die folgende Wertetabelle beschreibt einen indirekt proportionalen Zusammenhang. Ergänze den fehlenden Wert.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Indirekte Proportionalität
$6\cdot 4=24$ . Stelle nun eine Gleichung für die fehlende Zahl in der Tabelle auf.
$8\cdot y=24$
$y=3$
Bestimme zunächst das Produkt $x\cdot y$ , z.B. der ersten beiden Zahlen.
14
15
Ein Spielwürfel mit den Zahlen $1$ bis $6$ wurde $200$ -mal geworfen. Die Zahl $3$ wurde mit einer relativen Häufigkeit von $12{,}5$ % gewürfelt. Gib an, wie oft die Zahl $3$ gewürfelt wurde.
mal

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit : Anzahl der Versuche.
Die absolute Häufigkeit wird mit $x$ bezeichnet.
$\displaystyle \dfrac{12{,}5}{100}$ $=$ $\displaystyle \dfrac{x}{200}$ $\displaystyle \cdot 200$
↓
multipliziere und kürze
$\displaystyle 25$ $=$ $\displaystyle x$
Die Zahl 3 wurde 25-mal gewürfelt.
16
Die Pyramide $ABCDS$ hat eine rechteckige Grundfläche $ABCD$ und wurde im Schrägbild (siehe unten) mit dem Verzerrungsmaßstab $q = 0{,}5$ und dem Verzerrungswinkel $ω = 45°$ dargestellt. Bestimme den Flächeninhalt $A$ der rechteckigen Grundfläche $ABCD$ mithilfe des Schrägbilds.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Der Flächeninhalt des Rechtecks berechnest du mit $A=\text{Länge}\cdot \text{Breite}$ .
Die Länge ist hier die Länge der Strecke $\overline{AB}= 4\;\text{cm}$ ( $2$ Kästchen entsprechen $1 \;\text{cm}$ ).
Die Breite ist hier die Länge der Strecke $\overline{BC}$ . Sie beträgt gemessen (Geodreieck) etwa $1{,}5 \;\text{cm}$ . Da der Verzerrungsmaßstab $q=0{,}5$ beträgt, ist die Strecke $\overline{BC}$ in Wirklichkeit $3\;\text{cm}$ lang. (⁣ $3\;\text{cm}\cdot q= 3\;\text{cm}\cdot0{,}5= 1{,}5\;\text{cm}$ ).
Der Flächeninhalt der Grundseite der Pyramide ist dann:
17
Ein quadratischer Term $T(x)$ hat für $x = 2$ den minimalen Termwert $T_{min} = 7$ . Auf welchen der angegebenen quadratischen Terme trifft dies zu? Kreuze an.
$T(x) = –2\cdot(x + 2)² + 7$
$T(x) = (x – 7)² + 2$
$T(x) = 7\cdot(x – 2)²$
$T(x) = (x – 2)² + 7$
$T(x) = (x + 2)² – 7$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term
$T(2)=-2\cdot(2+2)^2+7=-2\cdot16+7= 25$
$T(2) = (2– 7)² + 2=25+2=27$
$T(2) = 7\cdot(2 – 2)²=0$
$T(2) = (2 – 2)² + 7=7$
$T(2) = (2 + 2)² – 7=16-7=9$
18
Eine Jeans kostete im Mai 50 €. Zum 1. Juni wurde der Preis um 10% erhöht. Bei einer Rabattaktion im Oktober wurde der Preis vom Juni wieder um 10% gesenkt. Micha behauptet: „Dann hatte die Jeans im Oktober wieder den gleichen Preis wie im Mai.“ Begründe mathematisch, warum Micha nicht recht hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
Die Jeans kostet im Mai $50$ €.
$1$ % $\mathop{\widehat{=}}$ $0{,}5$ €
$10$ % $\mathop{\widehat{=}}$ $5$ €
Im Juni kostet die Jeans $55$ €.
$1$ % $\mathop{\widehat{=}} 0{,}55$ €
$10$ % $\mathop{\widehat{=}}$ $5{,}50$ €
Im Oktober kostet die Jeans $49{,}50$ €.
19
Die Abbildung stellt maßstabsgetreu einen Aussichtsturm mit zwei Plattformen dar. Zu beiden gelangen die Besucher mit einem Fahrstuhl, der pro Sekunde 3 Meter nach oben fährt. Plattform B erreicht der Fahrstuhl ohne Zwischenhalt nach genau zwei Minuten. In welcher Höhe befindet sich Plattform A? Gib deinen Lösungsweg an.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Höhe Plattform $\ \text{B}\ \ (\text{HP}_B):$
$\ v=3\dfrac{\text{m}}{\text{s}};\ t=2\ \text{min}=120\ s$
$\ \text{HP}_B=120\ s\cdot3\ \dfrac{\text{m}}{s}=360\ \text{m}$
Höhe Plattform $\ \text{A}\ \ (\text{HP}_A):$
$\ \dfrac{\text{HP}_B}{\text{HP}_A}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow\dfrac{360\ \text{m}}{\text{HP}_A}=\dfrac{3}{2}$
$\ \Rightarrow 3\text{HP}_A\ =\ 720\ \text{m}\Rightarrow\text{HP}_A=\dfrac{720\ \text{m}}{3}$
$\ \Rightarrow\ \ \text{HP}_A\ =\ 240\ \text{m}$
Plattform $\ \text{A}\$ befindet sich in einer Höhe von $\ 240\ \text{m}$ .
Berechne zuerst, mit den Angaben aus der Aufgabenstellung, die Höhe von Plattform $\text{B}$ .
Ermittle das Streckenverhältnis durch Messen aus der Zeichnung.

Gib die Winkelmaße α und β an. Es gilt: $g || h$ und $|\overline {AC}|=|\overline {BC}|$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 3a\cdot\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle -9a^3b$	$\displaystyle :\left(-3a\right)$
	↓	Dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3a^2b$

$\displaystyle 3\cdot(x^2+x)-3x^2$	$=$	$\displaystyle x+4$
	↓	Löse die Klammer auf
$\displaystyle 3x^2+3x-3x^2$	$=$	$\displaystyle x+4$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x+4$	$\displaystyle -x$
	↓	Subtrahiere
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
	↓	Dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle \dfrac{3}{5x+5}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2x}$	$\displaystyle \cdot(5x+5)\cdot 2x$
	↓	Multipliziere und kürze
$\displaystyle 3\cdot 2x$	$=$	$\displaystyle 1\cdot(5x+5)$
	↓	Löse die Klammer auf
$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle 5x+5$	$\displaystyle -5x$
	↓	Subtrahiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle 30°+\alpha+90°$	$=$	$\displaystyle 180°$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 120°+\alpha$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -120°$
	↓	Subtrahiere
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 60°$

$\displaystyle 3a\cdot(-2a)$	$=$	$\displaystyle y$
	↓	Löse die Klammer auf
$\displaystyle -6a^2$	$=$	$\displaystyle y$

$\displaystyle (2x+5)^2-25$	$=$	$\displaystyle 4x^2+20x+25-25$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle 4x^2+20x$

$\displaystyle \dfrac{12{,}5}{100}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{x}{200}$	$\displaystyle \cdot 200$
	↓	multipliziere und kürze
$\displaystyle 25$	$=$	$\displaystyle x$

2022

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