Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3A

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit den Eckpunkten $A (- 3 | - 3 | 0)$ , $B (3 | - 3 | 0)$ ,

$C (3 | 3 | 0)$ , $D (- 3 | 3 | 0)$ und $S (0 | 0 | 4)$ sowie den Punkt $O (0 | 0 | 0)$ , der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt.

Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .

Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide
$O = G + M$
$O = {| \vec{A B} |}^{2} + 4 \cdot A_{△}$
Berechne die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A S}$ (siehe Skizze der Pyramide):
$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{A B} | = 6$
Für die Seitenfläche wird noch die Höhe $h$ benötigt.
Berechne $h$ mit dem Satz des Pythagoras:
$h = \sqrt{3^{3} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$
Dann folgt für die Oberfläche:
$\begin{array}{l} O = {| \vec{A B} |}^{2} + 4 \cdot A_{△} \\ O = 6^{2} + 4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2} = 36 + 60 = 96 \end{array}$
Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide beträgt $96 FE$ .
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Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche und den Flächeninhalt der vier Seitenflächen.
Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [3 BE]
[Zur Kontrolle: $4 y + 3 z = 12$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform
Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .
Berechne die Richtungsvektoren $\vec{C D}$ und $\vec{C S}$ :
$\vec{C D} = \vec{O D} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$\vec{C S} = \vec{O S} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 3 \\ 4 \end{array})$
Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} - 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 3 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 24 \\ 18 \end{array}) = 6 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
$E : (\vec{O X} - \vec{O S}) \circ \vec{n} = 0 \Rightarrow (\vec{O X} - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array}) = 0$
Ausmultipliziert, erhält man die Koordinatenform der Ebene $E$ :
$E : 4 x_{2} + 3 x_{3} - 12 = 0$
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Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .
Berechne die Richtungsvektoren $\vec{C D}$ und $\vec{C S}$ .
Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Erstelle die Ebenengleichung in Normalform und wandle sie in die Koordinatenform um.
Es gibt einen Punkt $P (0 | 0 | p)$ , der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier
Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe
des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von $p$ bestimmen:
$\begin{aligned} I & \vec{O Q} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ p \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array}) \\ II & 4 \cdot 4 t + 3 \cdot (p + 3 t) = 12 \\ III & | \vec{P Q} | = p \end{aligned}$
Geben Sie die geometrische Bedeutung dieser Gleichungen an. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen (Projektionsverfahren)
Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen
Gleichung I:
Gleichung I beschreibt eine Gerade, deren Aufpunkt der Vektor $\vec{O P}$ ist und deren Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene $E$ ist. Die Gerade ist somit Lotgerade zur Ebene E.
Gleichung II:
In die Gleichung der Ebene $E$ wurde die Geradengleichung eingesetzt, um $t$ berechnen zu können. Mit $t$ kann der Lotfußpunkt berechnet werden.
Gleichung III:
Der Betrag des Vektors $\vec{P Q}$ ist der gesuchte Abstand des Punktes P von den Seitenflächen und auch von der Grundfläche. Dieser Abstand muss gleich dem Wert von $p$ sein $\Rightarrow | \vec{P Q} | = p$ .
Siehe Skizze (Seitenansicht):
Die beiden orangefarbigen Strecken sind gleich lang.
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Gleichung I:
Geradengleichung, welche Gerade wird beschrieben?
Gleichung II:
Ebenengleichung $E$ ; was wurde in diese Gleichung eingesetzt und was kann man berechnen?
Gleichung III:
Der Betrag des Vektors $\vec{P Q}$ ist der gesuchte Abstand des Punktes P von den Seitenflächen und auch von der Grundfläche.
Welche beiden Längen sind gleich groß?
Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_{k} : 4 k \cdot x + 4 \sqrt{1 - k^{2}} \cdot y + 3 \cdot z = 12$ mit
$k \in [- 1; 1]$ . Die Seitenfläche $A D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{- 1}$ der Schar, die Seitenfläche $B C S$ in der Ebene $E_{1}$ .
Zeigen Sie, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
Zeige, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist
$S (0 | 0 | 4) \in E_{k} ?$
$0$ $=$ $4 k \cdot x_{1} + 4 \sqrt{1 - k^{2}} \cdot x_{2} + 3 x_{3} - 12$
↓
Setze $S (0 | 0 | 4)$ ein:
$0$ $=$ $4 k \cdot 0 + 4 \sqrt{1 - k^{2}} \cdot 0 + 3 \cdot 4 - 12$
↓
Fasse zusammen
$0$ $=$ $12 - 12$
$0$ $=$ $0$
Du hast eine wahre Aussage erhalten. $S$ liegt in allen Ebenen $E_{k}$ .
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Setze die Koordinaten von $S$ in $E_{k}$ ein.
Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$
schneidet, unabhängig von $k$ ist. Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel von Geraden und Ebenen
Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$ schneidet, unabhängig von $k$ ist
Schnittwinkel Gerade Ebene:
$\sin α = \frac{| \vec{n} \circ \vec{u} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{u} |}$
Die Gerade $O S$ startet im Koordinatenursprung und geht durch den Punkt $S (0 | 0 | 4)$ .
Der Richtungsvektor der Geraden ist dann der Vektor $\vec{u} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array})$ und der Normalenvektor der Ebene ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 4 k \\ 4 \sqrt{1 - k^{2}} \\ 3 \end{array})$ .
Dann folgt:
$\sin α = \frac{| (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 k \\ 4 \sqrt{1 - k^{2}} \\ 3 \end{array}) |}{4 \cdot \sqrt{(4 k)^{2} + 16 \cdot (1 - k^{2}) + 9}}$
$\sin α = \frac{12}{4 \cdot \sqrt{16 k^{2} + 16 - 16 k^{2} + 9}} = \frac{12}{4 \cdot \sqrt{25}} = \frac{3}{5}$
Der Winkel zwischen Gerade und Ebene ist unabhängig von $k$ .
Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels
Es ist $α = \sin^{- 1} (\frac{3}{5}) \approx {36,9}^{\circ}$ .
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Teil 1
Berechne den Schnittwinkel zwischen der Geraden und der Ebene mit: $\sin α = \frac{| \vec{n} \circ \vec{u} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{u} |}$
Dabei ist der Vektor $\vec{u}$ der Richtungsvektor der Geraden und $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene $E_{k}$ .
Welche Schlussfolgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?
Teil 2
Berechne $α$ .
Jede Ebene $E_{k}$ der Schar schneidet die
xy-Ebene in einer Gerade $g_{k}$ . Mit $R_{k}$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_{k}$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat. In Abbildung 2 sind $g_{k}$ und $R_{k}$ beispielhaft für eine Ebene $E_{k}$ der Schar dargestellt.
Zeichnen Sie die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen (Analytische Geometrie)
Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein
$Pyramide mit den Punkten R_1 und R_{-1}$
Pyramide mit den Punkten $R_{1}$ und $R_{- 1}$
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Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein.
Beachte Aufgabe d).
Durchläuft $k$ alle Werte von $- 1$ bis $1$ , dann dreht sich die Fläche $O R_{k} S$ um die Strecke $O S$ . Dabei entsteht ein Körper. Beschreiben Sie die Form des entstehenden Körpers und bestimmen Sie das Volumen dieses Körpers. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Beschreibe die Form des entstehenden Körpers
Durchläuft $k$ alle Werte von $- 1$ bis $1$ , dann dreht sich das Dreieck $O R_{k} S$ um die Strecke $[O S]$ . Es entsteht ein halber Kreiskegel. Er hat den Radius $r = 3$ und die Höhe $h = 4$ .
(siehe Skizze)
Das Dreieck $O R_{k} S$ dreht sich um die Strecke $[O S]$ .
Bestimme das Volumen dieses Körpers
Der halbe Kreiskegel hat den Radius $r = 3$ und die Höhe $h = 4$ , dann folgt für das Volumen:
$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h \Rightarrow V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 4 = 6 π \approx 18,85$
Das Volumen des Körpers beträgt etwa $19 VE$ .
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Teil 1
Das sich drehende Dreieck von $R_{- 1}$ bis $R_{1}$ erzeugt einen Körper. Welcher Körper ist das?
Teil 2
Berechne das Volumen des Körpers.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

$0$	$=$	$4 k \cdot x_{1} + 4 \sqrt{1 - k^{2}} \cdot x_{2} + 3 x_{3} - 12$
	↓	Setze $S (0 \| 0 \| 4)$ ein:
$0$	$=$	$4 k \cdot 0 + 4 \sqrt{1 - k^{2}} \cdot 0 + 3 \cdot 4 - 12$
	↓	Fasse zusammen
$0$	$=$	$12 - 12$
$0$	$=$	$0$

Aufgabe 3A

Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide

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Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform

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Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von p zugrunde liegen

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Zeige, dass der Punkt S in allen Ebenen der Schar enthalten ist

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Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade OS die Ebene Ek schneidet, unabhängig von k ist

Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels

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Zeichne die Punkte R−1 und R1 in Abbildung 2 ein

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Beschreibe die Form des entstehenden Körpers

Bestimme das Volumen dieses Körpers

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Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen

Zeige, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist

Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$ schneidet, unabhängig von $k$ ist

Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein