Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3A

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit den Eckpunkten $A (- 3 ∣ - 3 ∣ 0)$ , $B (3 ∣ - 3 ∣ 0)$ ,

$C (3 ∣ 3 ∣ 0)$ , $D (- 3 ∣ 3 ∣ 0)$ und $S (0 ∣ 0 ∣ 4)$ sowie den Punkt $O (0 ∣ 0 ∣ 0)$ , der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt.

Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .

Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide
$O = G + M$
$O=\left|\overrightarrow{AB}\right|^2+4\cdot A_{\triangle}$
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AS}$ (siehe Skizze der Pyramide):
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{AB}\right|=6$
Für die Seitenfläche wird noch die Höhe $h$ benötigt.
Berechne $h$ mit dem Satz des Pythagoras:
$h=\sqrt{3^3+4^2}=\sqrt{25}=5$
Dann folgt für die Oberfläche:
$O=\left|\overrightarrow{AB}\right|^2+4\cdot A_{\triangle}\\O=6^2+4\cdot\dfrac{6\cdot 5}{2}=36+60=96$
Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide beträgt $96 \;\text{FE}$ .
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Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche und den Flächeninhalt der vier Seitenflächen.
Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [3 BE]
[Zur Kontrolle: $4 y + 3 z = 12$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform
Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .
Berechne die Richtungsvektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CS}$ :
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\4\end{pmatrix}$
Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec n=\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\-3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\24\\18\end{pmatrix}=6\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$
$E: \left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OS}\right)\circ\vec n=0\;\Rightarrow\;\left(\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}=0$
Ausmultipliziert, erhält man die Koordinatenform der Ebene $E$ :
$E : 4 x_{2} + 3 x_{3} - 12 = 0$
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Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .
Berechne die Richtungsvektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CS}$ .
Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Erstelle die Ebenengleichung in Normalform und wandle sie in die Koordinatenform um.
Es gibt einen Punkt $P (0 ∣ 0 ∣ p)$ , der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier
Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe
des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von $p$ bestimmen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\mathrm{I}\qquad &\overrightarrow{OQ} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ p \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right)\\ \mathrm{II}\quad~~~ &4 ⋅ 4t + 3 ⋅ (p + 3t) = 12\\ \mathrm{III}\quad~~ &|\overrightarrow{PQ}| = p\end{aligned}$
Geben Sie die geometrische Bedeutung dieser Gleichungen an. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen (Projektionsverfahren)
Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen
Gleichung I:
Gleichung I beschreibt eine Gerade, deren Aufpunkt der Vektor $\overrightarrow{OP}$ ist und deren Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene $E$ ist. Die Gerade ist somit Lotgerade zur Ebene E.
Gleichung II:
In die Gleichung der Ebene $E$ wurde die Geradengleichung eingesetzt, um $t$ berechnen zu können. Mit $t$ kann der Lotfußpunkt berechnet werden.
Gleichung III:
Der Betrag des Vektors $\overrightarrow{PQ}$ ist der gesuchte Abstand des Punktes P von den Seitenflächen und auch von der Grundfläche. Dieser Abstand muss gleich dem Wert von $p$ sein $\;\Rightarrow\;\left| \overrightarrow{PQ} \right|=p$ .
Siehe Skizze (Seitenansicht):
Die beiden orangefarbigen Strecken sind gleich lang.
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Gleichung I:
Geradengleichung, welche Gerade wird beschrieben?
Gleichung II:
Ebenengleichung $E$ ; was wurde in diese Gleichung eingesetzt und was kann man berechnen?
Gleichung III:
Der Betrag des Vektors $\overrightarrow{PQ}$ ist der gesuchte Abstand des Punktes P von den Seitenflächen und auch von der Grundfläche.
Welche beiden Längen sind gleich groß?

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: 4k \cdot x + 4\sqrt{1 − k^2} \cdot y + 3 \cdot z = 12$ mit

$k \in [−1; 1]$ . Die Seitenfläche $A D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{- 1}$ der Schar, die Seitenfläche $B C S$ in der Ebene $E_{1}$ .

Zeigen Sie, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist. [2 BE]

Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$
schneidet, unabhängig von $k$ ist. Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel von Geraden und Ebenen
Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$ schneidet, unabhängig von $k$ ist
Schnittwinkel Gerade Ebene:
$\sin\alpha=\dfrac{|\vec n\circ \vec u|}{|\vec n|\cdot|\vec u|}$
Die Gerade $O S$ startet im Koordinatenursprung und geht durch den Punkt $S (0 ∣ 0 ∣ 4)$ .
Der Richtungsvektor der Geraden ist dann der Vektor $\vec u=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}$ und der Normalenvektor der Ebene ist $\vec n=\begin{pmatrix}4k\\4\sqrt{1-k^2}\\3\end{pmatrix}$ .
Dann folgt:
$\sin\alpha=\dfrac{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4k\\4\sqrt{1-k^2}\\3\end{pmatrix}\right|}{4\cdot\sqrt{(4k)^2+16\cdot(1-k^2)+9}}$
$\sin\alpha=\dfrac{12}{4\cdot\sqrt{16k^2+16-16k^2+9}}=\dfrac{12}{4\cdot\sqrt{25}}=\dfrac{3}{5}$
Der Winkel zwischen Gerade und Ebene ist unabhängig von $k$ .
Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels
Es ist $\alpha=\sin^{-1}\left(\dfrac{3}{5}\right)\approx36{,}9^\circ$ .
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Teil 1
Berechne den Schnittwinkel zwischen der Geraden und der Ebene mit: $\sin\alpha=\dfrac{|\vec n\circ \vec u|}{|\vec n|\cdot|\vec u|}$
Dabei ist der Vektor $\vec u$ der Richtungsvektor der Geraden und $\vec n$ der Normalenvektor der Ebene $E_{k}$ .
Welche Schlussfolgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?
Teil 2
Berechne $\alpha$ .
Jede Ebene $E_{k}$ der Schar schneidet die
xy-Ebene in einer Gerade $g_{k}$ . Mit $R_{k}$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_{k}$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat. In Abbildung 2 sind $g_{k}$ und $R_{k}$ beispielhaft für eine Ebene $E_{k}$ der Schar dargestellt.
Zeichnen Sie die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen (Analytische Geometrie)
Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein
$Pyramide mit den Punkten R_1 und R_{-1}$
Pyramide mit den Punkten $R_{1}$ und $R_{- 1}$
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Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein.
Beachte Aufgabe d).
Durchläuft $k$ alle Werte von $- 1$ bis $1$ , dann dreht sich die Fläche $O R_{k} S$ um die Strecke $\overline{OS}$ . Dabei entsteht ein Körper. Beschreiben Sie die Form des entstehenden Körpers und bestimmen Sie das Volumen dieses Körpers. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Beschreibe die Form des entstehenden Körpers
Durchläuft $k$ alle Werte von $- 1$ bis $1$ , dann dreht sich das Dreieck $O R_{k} S$ um die Strecke $[O S]$ . Es entsteht ein halber Kreiskegel. Er hat den Radius $r = 3$ und die Höhe $h = 4$ .
(siehe Skizze)
Das Dreieck $O R_{k} S$ dreht sich um die Strecke $[O S]$ .
Bestimme das Volumen dieses Körpers
Der halbe Kreiskegel hat den Radius $r = 3$ und die Höhe $h = 4$ , dann folgt für das Volumen:
$V=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot h\;\Rightarrow\; V=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=6\pi\approx18{,}85$
Das Volumen des Körpers beträgt etwa $19\; \text{VE}$ .
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Teil 1
Das sich drehende Dreieck von $R_{- 1}$ bis $R_{1}$ erzeugt einen Körper. Welcher Körper ist das?
Teil 2
Berechne das Volumen des Körpers.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4k\cdot x_1+4\sqrt{1-k^2}\cdot x_2+3x_3-12$
	↓	Setze $S (0 ∣ 0 ∣ 4)$ ein:
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4k\cdot 0+4\sqrt{1-k^2}\cdot 0+3\cdot 4-12$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 12-12$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0$

Aufgabe 3A

Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide

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Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform

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Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von ppp zugrunde liegen

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Zeige, dass der Punkt SSS in allen Ebenen der Schar enthalten ist

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Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade OSOSOS die Ebene EkE_kEk​ schneidet, unabhängig von kkk ist

Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels

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Zeichne die Punkte R−1R_{-1}R−1​ und R1R_1R1​ in Abbildung 2 ein

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Beschreibe die Form des entstehenden Körpers

Bestimme das Volumen dieses Körpers

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Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen

Zeige, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist

Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$ schneidet, unabhängig von $k$ ist

Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein