Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3B

Gegeben sind das gerade Prisma $A B C D E F$ mit den Eckpunkten $C (0 ∣ 0 ∣ 0), D (6 ∣ 0 ∣ 5)$ , $E (0 ∣ 8 ∣ 5)$ und $F (0 ∣ 0 ∣ 5)$ sowie der Punkt $M (3 ∣ 4 ∣ 5)$ (vgl. Abbildung 1).

Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche des Prismas. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Berechne den Inhalt der Oberfläche des Prismas
Für die Oberflächenberechnung werden verschiedene Vektoren und ihre Beträge benötigt.
$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}0\\8\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}$
$\Big\vert\overrightarrow{DE}\Big\vert=\sqrt{(-6)^2+8^2+0}=\sqrt{100}=10$
$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}$
$\Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert=6$
$\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}0\\8\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}\\\Big\vert\overrightarrow{FE}\Big\vert=8$
Die Höhe des Prismas ist $h = 5$ .
Dann folgt für den Oberflächeninhalt des Prismas:
$O_\text{Prisma}=\Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert\cdot h+\Big\vert\overrightarrow{EF}\Big\vert\cdot h+\Big\vert\overrightarrow{DE}\Big\vert\cdot h+2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert\cdot \Big\vert\overrightarrow{EF}\Big\vert$
$O_\text{Prisma}=(6+8+10)\cdot 5+2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=168$
Der Inhalt der Oberfläche des Prismas beträgt $168\; \text{FE}$ .
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Berechne die Vektoren $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{DF}$ und $\overrightarrow{FE}$ und ihre Beträge.
Die Höhe des Prismas ist die z-Koordinate eines in der Deckfläche liegenden Punktes.
Begründen Sie, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$
liegen. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einführung zum Kreis
Begründe, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{DM}, \overrightarrow{FM}$ und $\overrightarrow{EM}$ , sowie ihre Beträge.
$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$
$\Big\vert\overrightarrow{DM}\Big\vert=\sqrt{(-3)^2+4^2+0}=\sqrt{25}=5$
$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$
$\Big\vert\overrightarrow{FM}\Big\vert=\sqrt{3^2+4^2+0}=\sqrt{25}=5$
$\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\8\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}$
$\Big\vert\overrightarrow{EM}\Big\vert=\sqrt{3^2+(-4)^2+0}=\sqrt{25}=5$
Es gilt: $\Big\vert\overrightarrow{DM}\Big\vert= \Big\vert\overrightarrow{FM}\Big\vert= \Big\vert\overrightarrow{EM}\Big\vert=5$
Alle Punkte liegen zusammen mit $M$ in einer Ebene und haben den gleichen Abstand $5$ vom Punkt $M$ und liegen deshalb auf einem Kreis um $M$ mit dem Radius $5$ .
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Berechne die Vektoren $\overrightarrow{DM}, \overrightarrow{FM}$ und $\overrightarrow{EM}$ , sowie ihre Beträge.
Berechnen Sie den Winkel, den die Strecke $\overline{AM}$ mit der x-Achse einschließt. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie
Berechne den Winkel, den die Strecke $\overline{AM}$ mit der x-Achse einschließt
Berechne den Vektor $\overrightarrow{MA}$ :
$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\\-5\end{pmatrix}$
Der Vektor $\vec n=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ .
Für den Winkel zwischen den beiden Vektoren gilt:
$\cos\alpha=\dfrac{|\vec{n}\circ\overrightarrow{MA}|}{|\vec{n}|\cdot|\overrightarrow{MA}|}=\dfrac{\left|\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\-4\\-5\end{pmatrix}\right|}{1\cdot \sqrt{3^2+(-4)^2+(-5)^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{50}}$
$\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{3}{\sqrt{50}}\right)\approx 64{,}9^\circ$
Der Winkel, den die Strecke $\overline{AM}$ mit der x-Achse einschließt, beträgt rund $65^\circ$ .
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Berechne den Vektor $\overrightarrow{MA}$ .
Die x-Achse wird durch den Vektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ dargestellt.
Für den Winkel zwischen zwei Vektoren gilt: $\cos\alpha=\dfrac{|\vec{a}\circ\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$
Durch $\def\arraystretch{1.25} \vec x = \left(\begin{array}{}0\\0\\5\end{array}\right) + \lambda \left(\begin{array}{}3\\4\\0\end{array}\right) + \mu \left(\begin{array}{}7{,}5\\0\\−5\end{array}\right)$ mit $\lambda,\mu \in\mathbb{R}$ ist die Ebene $H$ gegeben.
Die Punkte $M, F$ und $S (7,5 ∣ 0 ∣ 0)$ liegen in der Ebene $H$ (vgl. Abbildung 2).
Im Folgenden sind zwei Schritte zum Lösen
einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:
$\mathrm{(I)}\;$ $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{} 6\\0 \\1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{}0 \\0 \\5 \end{array}\right)+ \lambda\left(\begin{array}{}3 \\4 \\ 0\end{array}\right) + \mu \left(\begin{array}{} 7{,}5\\0 \\-5 \end{array}\right)$
$\def\arraystretch{1.25} \mathrm{(II)}\;\left(\begin{array}{}6 \\0 \\1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{} 6\\ 0\\ 0\end{array}\right) + r \left(\begin{array}{}0 \\0 \\5 \end{array}\right)$ mit $r \in\mathbb{R}$
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen
Gib eine passende Aufgabenstellung an
In Gleichung $\mathrm{(I)}$ wird eine Punktprobe durchgeführt. Es wird geprüft, ob der Punkt $(6 ∣ 0 ∣ 1)$ in der Ebene $H$ liegt.
In Gleichung $\mathrm{(II)}$ wird ebenfalls eine Punktprobe durchgeführt. Es wird geprüft, ob der Punkt $(6 ∣ 0 ∣ 1)$ auf der Geraden durch die Punkte $A$ und $D$ liegt.
Aufgabenstellung: Untersuche, ob der Punkt $(6 ∣ 0 ∣ 1)$ sowohl in der Ebene $H$ als auch auf der Geraden durch $A$ und $D$ liegt.
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Es werden zwei Punktproben für den Punkt $(6 ∣ 0 ∣ 1)$ durchgeführt.
Wo soll der Punkt liegen?
Anstelle des Punkts $S$ werden nun Punkte $S_{t} (t ∣ 0 ∣ 0)$ mit $t\geq 0$ auf der x-Achse betrachtet.
Für jeden Wert von $t$ schneidet die Ebene durch die Punkte $M, F$ und $S_{t}$ das Prisma
$A B C D E F$ in einem Vieleck.
Geben Sie die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von $t$ an. [4 BE]

Gib die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von $t$ an
Maßgebend für die Art des Vielecks ist die x-Koordinate von $A$ : $x = 6$
Für $t\geq 6$ besitzt das Vieleck drei Ecken.
Für $0 \leq t < 6$ besitzt das Vieleck vier Ecken.
Zur Veranschaulichung: Vieleck mit drei Ecken
Hier hat $t$ den Wert $\dfrac{25}{3}>6$ .
Das weiß umrandete Dreieck liegt in der Ebene durch die Punkte $M, F$ und $S_{t}$ .
Das schwarze Dreieck ist die Schnittfläche der Ebene mit dem Prisma.
Zur Veranschaulichung: Vieleck mit vier Ecken
Hier hat $t$ den Wert $5 < 6$ .
Das schwarze Viereck ist die Schnittfläche der Ebene mit dem Prisma.
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Maßgebend für die Art des Vielecks ist die x-Koordinate von $A$ : $x = 6$
Bestimmen Sie die beiden Werte von $t$ , für die das Dreieck $M F S_{t}$ rechtwinklig ist. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Bestimme die beiden Werte von $t$ , für die das Dreieck $M F S_{t}$ rechtwinklig ist
Möglichkeit 1
Für $t = 0$ liegt der Punkt $S$ auf dem Punkt $C$ . Dann befindet sich ein rechter Winkel im Punkt $F$ .
Skizze zur Veranschaulichung:
Möglichkeit 2
Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{MF}$ und $\overrightarrow{MS_t}$ . Es muss für einen rechten Winkel bei $M$ gleich null sein.
$\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{MS_t}=\overrightarrow{OS_t}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}t\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t-3\\-4\\-5\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{MF}\circ \overrightarrow{MS_t}=\begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}t-3\\-4\\-5\end{pmatrix}=-3\cdot(t-3)+(-4)\cdot(-4)=0$
$\Rightarrow\; -3t+9+16=0\;\Rightarrow\;t=\dfrac{25}{3}$
Für $t=\dfrac{25}{3}$ liegt der rechte Winkel im Punkt $M$ .
Skizze zur Veranschaulichung:
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Möglichkeit 1:
Überlege Dir, wo der Punkt $S$ für $t = 0$ liegt.
Möglichkeit 2:
Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{MF}$ und $\overrightarrow{MS_t}$ .

Aufgabe 3B

Berechne den Inhalt der Oberfläche des Prismas

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Begründe, dass die Punkte D,ED, ED,E und FFF auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt MMM liegen

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Berechne den Winkel, den die Strecke AM‾\overline{AM}AM mit der x-Achse einschließt

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Gib eine passende Aufgabenstellung an

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Gib die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von ttt an

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Bestimme die beiden Werte von ttt, für die das Dreieck MFStMFS_tMFSt​ rechtwinklig ist

Möglichkeit 1

Möglichkeit 2

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Begründe, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen

Berechne den Winkel, den die Strecke $\overline{AM}$ mit der x-Achse einschließt

Gib die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von $t$ an

Bestimme die beiden Werte von $t$ , für die das Dreieck $M F S_{t}$ rechtwinklig ist