Prüfungsteil 2 2021

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1: Roller-Tour
Melike und Robin planen eine Tour mit einem Motorroller. Sie wollen eine Woche unterwegs sein.
Am ersten Tag wollen sie von Fröndenberg zu einem Campingplatz am Möhnesee fahren (Abbildung 1).
1. Die Strecke ist ungefähr 30 km lang. Bestätige dies durch Messen und mithilfe des Maßstabs.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
  Die Strecke in der Abbildung ist ca. 15 cm lang.
  1 cm entspricht laut dem Maßstab 2 km. $\Rightarrow$ 15 ⋅ 2 = 30
  Die Strecke ist also ca. 30 km lang.
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  Miss mit dem Lineal, wie lang die Strecke auf dem Bild ungefähr ist.
  Multipliziere dein Messergebnis mit dem Maßstab.
2. Melike und Robin gehen von einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 24 $\frac{km}h$ aus.
  Berechne für die 30 km lange Strecke die Fahrzeit in Minuten. Notiere deinen Lösungsweg.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Übersicht – Einführung in die Geschwindigkeit
  Berechnung der Fahrzeit:
  $\displaystyle {\text{Geschwindigkeit}}= \frac{\text {zurückgelegter Weg}}{\text{benötigte Zeit}}$
  $\displaystyle {\text{benötigte Zeit}}= \frac{\text {zurückgelegter Weg}}{\text{Geschwindigkeit}}$
  $30\km:24\dfrac{\km}{\h}=1{,}25\h$
  Zur Umrechnung von Stunden in Minuten benötigst du folgendes Grundwissen: Zeiteinheiten
  $1{,}25\cdot 60=75$
  Die Fahrzeit beträgt $75 \min$ .
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  Dividiere die Streckenlänge durch die Geschwindigkeit
  Rechne die Stunden in Minuten um
3. Für die Tour wollen Melike und Robin einen Motorroller für eine Woche mieten. Robin findet zwei Angebote (Abbildung 2).
  Die Kosten bei „Easy Rent“ können mit dem Term $0,2 \cdot x + 80 0{,}2⋅x+80$ berechnet werden.
  Gib die Bedeutung von $x,$ von $0, 2$ und von $80$ im Zusammenhang mit den Kosten an.
  
  Die Bedeutung von $x,$ von $0, 2$ und von $80$ ist folgende:
  $x$ : Anzahl der gefahrenen Kilometer
  $0,2$ €: Kosten pro gefahrenen Kilometer
  $80$ €: Grundgebühr pro Woche
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4. Melike und Robin wollen die Angebote miteinander vergleichen und erstellen dazu eine Grafik (Abbildung 3).
  Erkläre, warum der Graph zum Angebot von „Rollerverleih24 “ im ersten Abschnitt waagerecht verläuft.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
  Bei dem Angebot von "Rollerverleih24" fallen für die ersten $100\km$ keine Kosten pro gefahrenen Kilometer an, lediglich eine Pauschale für die Grundgebühr in Höhe von $90$ €. Daher verläuft der Graph für die ersten $100\km$ waagrecht.
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5. Die beiden Graphen schneiden sich. Gib die Koordinaten der beiden Schnittpunkte an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Koordinatensystem
  Die Koordinaten der beiden Schnittpunkte sind $(50 ∣ 90)$ und $(150 ∣ 110)$ .
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  Lies die Koordinaten der beiden Schnittpinkte jeweils auf der $x$ - und $y$ -Achse ab.
6. Insgesamt wollen Melike und Robin ungefähr 170 km weit fahren.
  Welches Angebot ist günstiger? Gib die Kosten für das günstigere Angebot an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
  Bei einer Fahrstrecke von $170\km$ ist das Angebot von "Easy Rent" günstiger. Es beträgt ca. $115$ €.
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  Vergleich die beiden Graphen an der Stelle $x = 170$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2: Blumenbeet
Maria und Leon gestalten ein Beet im Garten neu.
Das quadratische Beet teilen sie mit einer Abtrennung diagonal in zwei gleiche Dreiecke (Abbildung 1).
1. Bestätige durch eine Rechnung, dass die diagonale Abtrennung ca. 170 cm lang sein muss.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  In einem rechtwinkligen Dreieck gilt $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , wenn $c$ die Hypotenuse ist.
  $120^{2} + 120^{2} = 14400 + 14400 = 28800$
  $c=\sqrt{28800}\approx 169{,}70...$
  Die Abtrennung muss ca. $170\cm$ lang sein.
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  Berechne die Länge der diagonalen Abtrennung mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
2. In das obere Dreieck säen sie Samen von Sommerblumen. Eine Packung Samen reicht für $4\;\mathrm{m}^2$ . Zeige mit einer Rechnung, dass eine Packung ausreicht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
  Fläche eines Quadrats:
  $A_{\text{Quadrat}}=a^2$
  $A_{\text{Quadrat}}={120\cm}^2=14400\cm^2=1{,}44\m^2$
  $A_{\text{Dreieck}}=1{,}44\m^2:2=0{,}72\m^2$
  $0{,}72\m^2<4\m^2$
  Die Packung mit Samen für $4\m^2$ reicht für das Dreieck aus.
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  Berechne zunächst die Fläche des gesamten Qudrats.
  Dividiere das Ergebnis dann durch 2.
3. Maria und Leon erweitern das quadratische Beet um einen Kreis. Der Kreis verläuft durch die vier Eckpunkte des Quadrats.
  Die Kreislinie gestalten sie mit einem Metallband. Die Flächen zwischen Quadrat und Kreislinie sollen mit Kieselsteinen bedeckt werden (Abbildung 2).
  Zeige rechnerisch, dass das Metallband ca. 5,34 m lang sein muss.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreiszahl Pi
  Kreisumfang:
  $U_{\text{Kreis}}=2\cdot\pi\cdot r=\pi\cdot d$
  $d=170\cm$
  $U_{\text{Kreis}}=3{,}14\cdot 170\cm=533{,}8\cm\approx 5{,}34\m$
  Das Metallband muss ca. $5{,}34 \m$ lang sein.
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  Berechne den Umfang des Kreises.
4. Berechne den Flächeninhalt der mit Kieselsteinen bedeckten Fläche.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreiszahl Pi
  $A_{\text{Kreis}}=\pi\cdot r^2$
  $r=0{,}85\cm$
  $A_{\text{Kreis}}=3{,}14\cdot {0{,}85\cm}^2\approx 2{,}27\m^2$
  $A_{\text{Kreis}}-A_{\text{Quadrat}}=2{,}27\m^2-1{,}44\m^2=0{,}83\m^2$
  Der Flächeninhalt der mit Kieselsteinen belegte Fläche beträgt $0{,}83\m^2$ .
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  Subtrahiere den Flächeninhalt des Quadrats vom Flächeninhalt des Kreises.
5. Maria und Leon kaufen zwei Säcke mit Kieselsteinen und 6 m Metallband (Preise in Abbildung 3).
  Mit einem Gutschein erhalten sie 5 % Rabatt.
  Berechne, wie viel Maria und Leon für zwei Säcke Kieselsteine und 6 m Metallband bezahlen müssen.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3: Kasimir Bastelt
Kasimir zeichnet ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a = 10 cm und einer Höhe
h ≈ 8,7 cm (Abbildung 1).
1. Bestätige durch eine Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 43,5 $c m^{2}$ beträgt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  g: Grundlinie
  h: Höhe
  $A=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 8{,}7=43{,}5$
  Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $43{,}5\cm^2$ .
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  Berechne die Dreiecksfläche mit Hilfe der Flächenformel.
2. Kasimir markiert auf jeder Dreieckseite den Mittelpunkt.
  Die Mittelpunkte verbindet er. Es entstehen vier gleiche kleine Dreiecke
  (Abbildung 2).
  Zeichne die Figur (Abbildung 2) mit den Originalmaßen auf ein DIN-A4-Blatt.
  
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3. Bestätige durch eine Rechnung, dass der Flächeninhalt eines kleinen Dreiecks
  ca. $10{,}9 cm^2$ beträgt.
  
  $43,5 : 4 = 10,875$
  Der Flächerninhalt eines kleinen Dreiecks beträgt ungefähr $10{,}9cm^2$ .
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  Teile den Flächeninhalt des große Dreiecks durch 4, da das große Dreieck aus 4 gleichen , kleinen Dreiecken besteht.
4. Kasimir klappt die drei äußeren hellen Dreiecke nach oben.
  Es entsteht eine besondere Pyramide, die Tetraeder genannt wird (Abbildung 3).
  Die Kantenlänge des Tetraeders
  beträgt 5 cm. Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt ca. $10{,}9 cm^2$ .
  Die Körperhöhe $h_{K}$ eines Tetraeders kann mit folgender Formel berechnet werden:
  $h_K = \frac {\sqrt 6}3 · b$
  Zeige mit der Formel, dass $h_K ≈ 4{,}1$ cm lang ist.
  
  $h_k=\dfrac{\sqrt {6}}{3}\cdot 5= 4{,}08...$
  Die Körperhöhe des Tetraeders betragt ungefähr $4{,}1\cm$ .
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5. Berechne mit der Körperhöhe $h_{K}$ das Volumen des Tetraeders.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  $V_{Pyramide}=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$
  G: Grundfläche
  h: Höhe
  Grundfläche: $10{,}9\cm^2$
  Höhe: $4{,}1\cm$
  $V=\dfrac{1}{3}\cdot 10{,}9\cdot 4{,}1=14{,}896...$
  Das Volumen des Tetraeders beträgt ca. $14{,}9\cm^3$ .
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  Das gegebene Tetraeder ist eine Pyramide.
  Verwende die Volumenformel für die Pyramide
6. Abbildung 2 stellt das Netz eines Tetraeders dar.
  Welches Netz stellt ebenfalls das Netz eines Tetraeders dar? Kreuze an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tetraeder
  Netz 1 stellt kein Tetraeder dar, da in reguläres Tetraeder eine Pyramide ist, die vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.
  Netz 2 kann nicht zu einer Pyramide zusammengeklappt werden.
  Netz 3 ist richtig.
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