Nachtermin Teil A

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AD}\backslash overline\{AD\}$

Gegeben ist $V_{\text{Prisma}}=1000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}V\_\{\backslash text\{Prisma\}\}=1000\; \backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^3$.

Die Grundseite $GG$ des Prismas ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit $\mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overline{AC}\mathrm{\mid }=10\mathrm{c}\mathrm{m}|\backslash overline\{AB\}|=\; |\backslash overline\{AC\}|=10\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$:

$G={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot 10=50{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}G=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 10\; \backslash cdot\; 10\; =50\; \backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^2$

$V_{\text{Prisma}}=G\cdot h=50{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{\mid }\overline{AD}\mathrm{\mid }=1000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3\Rightarrow \mathrm{\mid }\overline{AD}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3}{50{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2}}=20\mathrm{c}\mathrm{m}V\_\{\backslash text\{Prisma\}\}=G\backslash cdot\; h=50\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^2\backslash cdot\; |\backslash overline\{AD\}|=1000\; \backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^3\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overline\{AD\}|=\backslash dfrac\{1000\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^3\}\{50\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^2\}=20\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$

Die Länge der Strecke $\overline{AD}\backslash overline\{AD\}$ beträgt $20\mathrm{c}\mathrm{m}20\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$.

Erstelle eine Wertetabelle für $x\in [-3;3]x\backslash in\; [-3;\; 3]$. Trage die Punkte ins koordinatensystem ein und verbinde sie zum Graphen der Parabel $pp$.

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

Lies den Scheitelpunkt ab.

Der Scheitelpunkt ist $S(2\mathrm{\mid }3)S(2|3)$.

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

Es ist $S(-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}\mid c-{\displaystyle \frac{b^2}{4\cdot a}})S\backslash left(-\backslash dfrac\; b\{2\backslash cdot\; a\}\backslash left|~c-\backslash dfrac\{b^2\}\{4\; \backslash cdot\; a\}\backslash right.\backslash right)$

Bestimme $aa$, $bb$, $cc$ aus der allgemeinen Form.

$a=-\mathrm{0,5},b=2a=-0\{,\}5,\; b=2$ und $c=1c=1$

Setze diese Werte in die Scheitelpunktform ein:

$\Rightarrow S(-{\displaystyle \frac{2}{2\cdot (-\mathrm{0,5})}}\mid 1-{\displaystyle \frac{2^2}{4\cdot (-\mathrm{0,5})}})=S(-{\displaystyle \frac{2}{(-1)}}\mid 1-{\displaystyle \frac{2^2}{(-2)}})=S\left(2\mid 3\right)\backslash Rightarrow\backslash ;S\backslash left(-\backslash dfrac\; 2\{2\backslash cdot\; (-0\{,\}5)\}\backslash left|~1-\backslash dfrac\{2^2\}\{4\; \backslash cdot\; (-0\{,\}5)\}\backslash right.\backslash right)=S\backslash left(-\backslash dfrac\; 2\{(-1)\}\backslash left|~1-\backslash dfrac\{2^2\}\{(-2)\}\backslash right.\backslash right)=S\backslash left(2\backslash left|~3\backslash right.\backslash right)$

Der Scheitelpunkt ist $S(2\mathrm{\mid }3)S(2|3)$.

Zeige, dass die beiden Kreisbögen $\backslash stackrel\{\backslash frown\}\{PR\}$ und $\backslash stackrel\{\backslash frown\}\{QR\}$ gleich lang sind

Für den Kreisbogen gilt allgemein:

$b={\displaystyle \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}}\cdot 2\pi rb\; =\backslash dfrac\{\backslash alpha\}\{360^\{\backslash circ\}\}\; \backslash cdot\; 2\backslash pi\; r$

Berechne die Kreisbogenlänge von $\backslash stackrel\{\backslash frown\}\{PR\}$:

Hier ist $\alpha ={180}^{\circ }\backslash alpha=180^\{\backslash circ\}$ und $r=ar=a$.

$\Rightarrow ={\displaystyle \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}}\cdot 2\cdot \pi \cdot r={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\cdot 2\cdot \pi \cdot a={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\cdot \pi \cdot a=\pi \cdot a\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash stackrel\{\backslash frown\}\{PR\}=\backslash dfrac\{\backslash alpha\}\{360^\{\backslash circ\}\}\; \backslash cdot\; 2\backslash cdot\backslash pi\; \backslash cdot\; r=\backslash dfrac\{180^\{\backslash circ\}\}\{360^\{\backslash circ\}\}\; \backslash cdot\; 2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; a=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; a=\backslash pi\backslash cdot\; a$

Berechne die Kreisbogenlänge von $\backslash stackrel\{\backslash frown\}\{QR\}$:

Hier ist $\alpha ={90}^{\circ }\backslash alpha=90^\{\backslash circ\}$ und $r=2ar=2\; a$.

$\Rightarrow ={\displaystyle \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}}\cdot 2\cdot \pi \cdot r={\displaystyle \frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\cdot 2\cdot \pi \cdot 2a={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 2\cdot \pi \cdot 2a=\pi \cdot a\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash stackrel\{\backslash frown\}\{QR\}=\backslash dfrac\{\backslash alpha\}\{360^\{\backslash circ\}\}\; \backslash cdot\; 2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; r=\backslash dfrac\{90^\{\backslash circ\}\}\{360^\{\backslash circ\}\}\; \backslash cdot\; 2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 2a=\backslash dfrac\{1\}\{4\}\; \backslash cdot\; 2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 2a=\backslash pi\backslash cdot\; a$

Die beiden Kreisbögen $\backslash stackrel\{\backslash frown\}\{PR\}$ und $\backslash stackrel\{\backslash frown\}\{QR\}$ sind gleich lang.