Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B 3

Der Punkt $A (0 | 0)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von Rechtecken $A B_{n} C_{n} D_{n}$ .

Die Eckpunkte $B_{n} (x | - 0,25 x + 6)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung

$y = - 0,25 x + 6$ $(x, y \in ℝ)$ . Es gilt: $| B_{n} C_{n} | = \frac{1}{2} | A B_{n} |$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Gerade $g$ sowie die Rechtecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 5 \leq x \leq 8; - 1 \leq y \leq 8$ (2,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Zeichne die Gerade $g$ sowie die Rechtecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem
Zeichne die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = - 0,25 x + 6$ in ein Koordinatensystem.
Rechteck $A B_{1} C_{1} D_{1}$
Der Punkt $B_{1} (- 1 | f (- 1))$ (mit $f (x) = - 0,25 x + 6$ ) liegt auf der Geraden $g$ .
Miss die Länge der Strecke $A B_{1}$ . Trage wegen $| B_{n} C_{n} | = \frac{1}{2} | A B_{n} |$ die Hälfte der gemessenen Strecke sowohl im Punkt $B_{1}$ als auch im Punkt $A$ senkrecht zur Strecke $A B_{1}$ ab. Man erhält die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$ . Verbinde $C_{1}$ mit $D_{1}$ .
Rechteck $A B_{2} C_{2} D_{2}$
Verfahre entsprechend mit dem Punkt $B_{2} (7 | f (7))$ .
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Zeichne die Gerade $g$ in ein Koordinatensystem ein.
Rechteck $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ .
Der Punkt $B_{1} (- 1 | f (- 1))$ liegt auf der Geraden $g$ .
Miss die Länge der Strecke $A B_{1}$ . Trage die Hälfte der gemessenen Strecke sowohl im Punkt $B_{1}$ als auch im Punkt $A$ senkrecht zur Strecke $A B_{1}$ ab.
Man erhält die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$ . Verbinde $C_{1}$ mit $D_{1}$ .
Verfahre für das Rechteck $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ entsprechend.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der
Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ .
$[$ Ergebnis: $C_{n} (1,13 x - 3 | 0,25 x + 6)$ $]$ (3,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung mittels Matrizen
Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$
Es gilt gemäß Zeichnung: $\vec{O C_{n}} = \vec{O B_{n}} + \vec{B_{n} C_{n}}$
Dabei ist $\vec{B_{n} C_{n}} = \vec{O D_{n}}$ .
Der Vektor $\vec{O B_{n}}$ wird zunächst um $90^{\circ}$ um den Ursprung gedreht. Dieser Vektor wird dann durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor $k = 0,5$ gestreckt. Ergebnis ist der Vektor $\vec{O D_{n}}$ .
$\vec{O B_{n}} \overset{\overset{}{O, φ = 90^{\circ}}}{\to} \vec{O B_{n}^{'}} \overset{\overset{}{O, k = 0,5}}{\to} \vec{O D_{n}}$
Für die Drehung um $φ = 90^{\circ}$ um den Ursprung gilt:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 90^{\circ} & - \sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} - y \\ x \end{array})$
Dann folgt für $x \in ℝ$ :
$(\begin{array}{c} x \\ - 0,25 x + 6 \end{array}) \overset{\overset{}{O, φ = 90^{\circ}}}{\to} (\begin{array}{c} - (- 0,25 x + 6) \\ x \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,25 x - 6 \\ x \end{array})$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} 0,25 x - 6 \\ x \end{array}) \overset{\overset{}{O, k = 0,5}}{\to} 0,5 \cdot (\begin{array}{c} 0,25 x - 6 \\ x \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,13 x - 3 \\ 0,5 x \end{array})$
Somit ist $\vec{O D_{n}} = (\begin{array}{c} 0,13 x - 3 \\ 0,5 x \end{array})$ .
Nun kann der Vektor $\vec{O C_{n}}$ berechnet werden:
$\vec{O C_{n}} = \vec{O B_{n}} + \vec{B_{n} C_{n}}$
$\vec{O C_{n}} (x) = (\begin{array}{c} x \\ - 0,25 x + 6 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0,13 x - 3 \\ 0,5 x \end{array}) = (\begin{array}{c} 1,13 x - 3 \\ 0,25 x + 6 \end{array})$
Die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ lauten $C_{n} (1,13 x - 3 | 0,25 x + 6)$ .
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Es gilt gemäß Zeichnung $\vec{O C_{n}} = \vec{O B_{n}} + \vec{B_{n} C_{n}}$ , dabei ist $\vec{B_{n} C_{n}} = \vec{O D_{n}}$ .
Der Vektor $\vec{O B_{n}}$ wird zunächst um $90^{\circ}$ um den Ursprung gedreht. Dieser Vektor wird dann durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor $k = 0,5$ gestreckt.
Ergebnis ist der Vektor $\vec{O D_{n}}$ . Mit diesem Vektor kann der Vektor $\vec{O C_{n}}$ berechnet werden.
Zeigen Sie, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der
Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt:
$u (x) = \sqrt{9,54 x^{2} - 27 x + 324} LE$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Zeige, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt: $u (x) = \sqrt{9,54 x^{2} - 27 x + 324} LE$
Es gilt: $| B_{n} C_{n} | = \frac{1}{2} | A B_{n} |$
Dann folgt für den Umfang $u$ für $x \in ℝ$ :
$u = 2 \cdot (| A B_{n} | + | B_{n} C_{n} |) = 2 \cdot (| A B_{n} | + 0,5 \cdot | A B_{n} |) = 3 \cdot | A B_{n} |$
$\vec{A B_{n}} = (\begin{array}{c} x \\ - 0,25 x + 6 \end{array}) \Rightarrow | \vec{A B_{n}} | (x) = \sqrt{x^{2} + (- 0,25 x + 6)^{2}}$
$| \vec{A B_{n}} | (x) = \sqrt{x^{2} + \frac{1}{16} x^{2} - 3 x + 36} = \sqrt{1,06 x^{2} - 3 x + 36} LE$
$\Rightarrow u (x) = 3 \cdot | A B_{n} | = 3 \cdot \sqrt{1,06 x^{2} - 3 x + 36} = \sqrt{9 \cdot (1,06 x^{2} - 3 x + 36)}$
$u (x) = \sqrt{9 \cdot (1,06 x^{2} - 3 x + 36)} = \sqrt{9,54 x^{2} - 27 x + 324} LE$
Damit ist gezeigt, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt:
$u (x) = \sqrt{9,54 x^{2} - 27 x + 324} LE$
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Es gilt: $| B_{n} C_{n} | = \frac{1}{2} | A B_{n} |$
Für den Umfang $u$ folgt dann $u = 2 \cdot (| A B_{n} | + | B_{n} C_{n} |)$
Berechne $| \vec{A B_{n}} | (x)$ und damit dann $u (x)$ .
Der Punkt $C_{3}$ liegt auf der y–Achse.
Berechnen Sie den Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$ . (2,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Berechne den Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$
Der Punkt $C_{3} (1,13 x - 3 | 0,25 x + 6)$ liegt auf der y–Achse.
Deshalb gilt für $x_{C_{3}}$ :
$x_{C_{3}} = 0 \Rightarrow 1,13 x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{1,13} \approx 2,65$
$L = {2,65}$
Setze $x = 2,65$ in $u (x)$ ein:
$u (2,65) = \sqrt{9,54 \cdot (2,65)^{2} - 27 \cdot 2,65 + 324} = \sqrt{319,44} \approx 17,87$
Der Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$ beträgt rund $17,87 LE$ .
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Der Punkt $C_{3} (1,13 x - 3 | 0,25 x + 6)$ liegt auf der y–Achse.
Deshalb gilt für $x_{C_{3}}$ : $x_{C_{3}} = 0 \Rightarrow x_{1}$
Setze $x_{1}$ in $u (x)$ ein.

Für den Punkt $C_{4}$ gilt: $C_{4} \in g$ .

Begründen Sie, warum das zugehörige Rechteck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ den minimalen Umfang

hat.

Bestimmen Sie sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für $x$ .

(4 P)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

	$9,54 x^{2} - 27 x + 324$
	↓ Klammere $9,54$ aus.
$=$	$9,54 (x^{2} - 2,83 x + 33,96)$
	↓ Bilde die quadratische Ergänzung.
$=$	$9,54 (x^{2} - 2,83 x + {(\frac{2,83}{2})}^{2} - {(\frac{2,83}{2})}^{2} + 33,96)$
	↓ Fasse zusammen.
$=$	$9,54 ((x - 1,42)^{2} - 2 + 33,96)$
	↓ Löse die Klammer auf.
$=$	$9,54 (x - 1,42)^{2} + 304,90$

Aufgabe B 3

Zeichne die Gerade $g$ sowie die Rechtecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem

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Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$

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Zeige, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt: $u (x) = \sqrt{9,54 x^{2} - 27 x + 324} LE$

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Berechne den Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$

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Begründe, warum das zugehörige Rechteck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ den minimalen Umfang hat

Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für $x$

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Aufgabe B 3

Zeichne die Gerade g sowie die Rechtecke AB1C1D1 für x=−1 und AB2C2D2 für x=7 in ein Koordinatensystem

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Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte Cn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn

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Zeige, dass sich der Umfang u der Rechtecke ABnCnDn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn wie folgt darstellen lässt: u(x)=9,54x2−27x+324LE

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Berechne den Umfang des Rechtecks AB3C3D3

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Begründe, warum das zugehörige Rechteck AB4C4D4 den minimalen Umfang hat

Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für x

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Zeichne die Gerade $g$ sowie die Rechtecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem

Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$

Zeige, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt: $u (x) = \sqrt{9,54 x^{2} - 27 x + 324} LE$

Berechne den Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$

Begründe, warum das zugehörige Rechteck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ den minimalen Umfang hat

Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für $x$