Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B 3

Der Punkt $A (0 ∣ 0)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von Rechtecken $A B_{n} C_{n} D_{n}$ .

Die Eckpunkte $B_n(x |-0{,}25x + 6)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung

$y = - 0,25 x + 6$ $(x,y \in\mathbb{R})$ . Es gilt: $|\overline{B_nC_n}|=\dfrac{1}{2} |\overline{AB_n}|$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Gerade $g$ sowie die Rechtecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\mathrm{cm}$ ; $-5 \leq x \leq 8; -1\leq y \leq 8$ (2,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Zeichne die Gerade $g$ sowie die Rechtecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem
Zeichne die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = - 0,25 x + 6$ in ein Koordinatensystem.
Rechteck $A B_{1} C_{1} D_{1}$
Der Punkt $B_{1} (- 1 ∣ f (- 1))$ (mit $f (x) = - 0,25 x + 6$ ) liegt auf der Geraden $g$ .
Miss die Länge der Strecke $\overline{AB_1}$ . Trage wegen $|\overline{B_nC_n}|=\dfrac{1}{2} |\overline{AB_n}|$ die Hälfte der gemessenen Strecke sowohl im Punkt $B_{1}$ als auch im Punkt $A$ senkrecht zur Strecke $\overline{AB_1}$ ab. Man erhält die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$ . Verbinde $C_{1}$ mit $D_{1}$ .
Rechteck $A B_{2} C_{2} D_{2}$
Verfahre entsprechend mit dem Punkt $B_{2} (7 ∣ f (7))$ .
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Zeichne die Gerade $g$ in ein Koordinatensystem ein.
Rechteck $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ .
Der Punkt $B_{1} (- 1 ∣ f (- 1))$ liegt auf der Geraden $g$ .
Miss die Länge der Strecke $\overline{AB_1}$ . Trage die Hälfte der gemessenen Strecke sowohl im Punkt $B_{1}$ als auch im Punkt $A$ senkrecht zur Strecke $\overline{AB_1}$ ab.
Man erhält die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$ . Verbinde $C_{1}$ mit $D_{1}$ .
Verfahre für das Rechteck $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ entsprechend.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der
Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ .
$[$ Ergebnis: $C_n (1{,}13x - 3| 0{,}25x +6)$ $]$ (3,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung mittels Matrizen
Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$
Es gilt gemäß Zeichnung: $\overrightarrow{OC_n}=\overrightarrow{OB_n}+\overrightarrow{B_nC_n}$
Dabei ist $\overrightarrow{B_nC_n}=\overrightarrow{OD_n}$ .
Der Vektor $\overrightarrow{OB_n}$ wird zunächst um $90^\circ$ um den Ursprung gedreht. Dieser Vektor wird dann durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor $k = 0,5$ gestreckt. Ergebnis ist der Vektor $\overrightarrow{OD_n}$ .
$\overrightarrow{OB_n}\xrightarrow{O,\; \varphi=90^\circ}\overrightarrow{OB_n{'}}\xrightarrow{O,\; k=0{,}5}\overrightarrow{OD_n}$
Für die Drehung um $\varphi=90^\circ$ um den Ursprung gilt:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{90^\circ}& -\sin{90^\circ}\\\sin{90^\circ} & \cos{90^\circ}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0& -1\\1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}$
Dann folgt für $x\in \mathbb{R}$ :
$\begin{pmatrix}x\\-0{,}25x+6\end{pmatrix}\xrightarrow{O,\; \varphi=90^\circ}\begin{pmatrix}-(-0{,}25x+6)\\x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}25x-6\\x\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0{,}25x-6\\x\end{pmatrix}\xrightarrow{O,\; k=0{,}5}0{,}5\cdot\begin{pmatrix}0{,}25x-6\\x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}13x-3\\0{,}5x\end{pmatrix}$
Somit ist $\overrightarrow{OD_n}=\begin{pmatrix}0{,}13x-3\\0{,}5x\end{pmatrix}$ .
Nun kann der Vektor $\overrightarrow{OC_n}$ berechnet werden:
$\overrightarrow{OC_n}=\overrightarrow{OB_n}+\overrightarrow{B_nC_n}$
$\overrightarrow{OC_n}(x)=\begin{pmatrix}x\\-0{,}25x+6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0{,}13x-3\\0{,}5x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}13x-3\\0{,}25x+6\end{pmatrix}$
Die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ lauten $C_n(1{,}13x-3\mid 0{,}25x+6)$ .
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Es gilt gemäß Zeichnung $\overrightarrow{OC_n}=\overrightarrow{OB_n}+\overrightarrow{B_nC_n}$ , dabei ist $\overrightarrow{B_nC_n}=\overrightarrow{OD_n}$ .
Der Vektor $\overrightarrow{OB_n}$ wird zunächst um $90^\circ$ um den Ursprung gedreht. Dieser Vektor wird dann durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor $k = 0,5$ gestreckt.
Ergebnis ist der Vektor $\overrightarrow{OD_n}$ . Mit diesem Vektor kann der Vektor $\overrightarrow{OC_n}$ berechnet werden.
Zeigen Sie, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der
Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt:
$u(x)=\sqrt{9{,}54x^2 - 27x + 324} \;\mathrm{LE}$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Zeige, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt: $u(x)=\sqrt{9{,}54x^2 - 27x + 324} \;\mathrm{LE}$
Es gilt: $|\overline{B_nC_n}|=\dfrac{1}{2} |\overline{AB_n}|$
Dann folgt für den Umfang $u$ für $x\in \mathbb{R}$ :
$u=2\cdot\left(|\overline{AB_n}|+ |\overline{B_nC_n}|\right)=2\cdot\left(|\overline{AB_n}|+0{,}5\cdot |\overline{AB_n}|\right)=3\cdot|\overline{AB_n}|$
$\overrightarrow{AB_n}=\begin{pmatrix}x\\-0{,}25x+6\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;|\overrightarrow{AB_n}|(x)=\sqrt{x^2+(-0{,}25x+6)^2}$
$|\overrightarrow{AB_n}|(x)=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{16}x^2-3x+36}=\sqrt{1{,}06x^2-3x+36} \;\mathrm{LE}$
$\Rightarrow\;u(x)=3\cdot|\overline{AB_n}|=3\cdot\sqrt{1{,}06x^2-3x+36}=\sqrt{9\cdot(1{,}06x^2-3x+36)}$
$u(x)=\sqrt{9\cdot(1{,}06x^2-3x+36)}=\sqrt{9{,}54x^2-27x+324}\;\mathrm{LE}$
Damit ist gezeigt, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt:
$u(x)=\sqrt{9{,}54x^2-27x+324}\;\mathrm{LE}$
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Es gilt: $|\overline{B_nC_n}|=\dfrac{1}{2} |\overline{AB_n}|$
Für den Umfang $u$ folgt dann $u=2\cdot\left(|\overline{AB_n}|+ |\overline{B_nC_n}|\right)$
Berechne $|\overrightarrow{AB_n}|(x)$ und damit dann $u (x)$ .
Der Punkt $C_{3}$ liegt auf der y–Achse.
Berechnen Sie den Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$ . (2,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Berechne den Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$
Der Punkt $C_3(1{,}13x-3\mid 0{,}25x+6)$ liegt auf der y–Achse.
Deshalb gilt für $x_{C_3}$ :
$x_{C_3}=0\;\Rightarrow\;1{,}13x-3=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{3}{1{,}13}\approx2{,}65$
$\mathrm{L}=\{2{,}65\}$
Setze $x = 2,65$ in $u (x)$ ein:
$u(2{,}65)=\sqrt{9{,}54\cdot(2{,}65)^2-27\cdot 2{,}65+324}=\sqrt{319{,}44}\approx17{,}87$
Der Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$ beträgt rund $17{,}87\;\mathrm{LE}$ .
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Der Punkt $C_3(1{,}13x-3\mid 0{,}25x+6)$ liegt auf der y–Achse.
Deshalb gilt für $x_{C_3}$ : $x_{C_3}=0\;\Rightarrow\;x_1$
Setze $x_{1}$ in $u (x)$ ein.

Für den Punkt $C_{4}$ gilt: $C_4 \in g$ .

Begründen Sie, warum das zugehörige Rechteck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ den minimalen Umfang

hat.

Bestimmen Sie sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für $x$ .

(4 P)

Begründe, warum das zugehörige Rechteck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ den minimalen Umfang hat

Wenn $C_4 \in g$ , dann gilt auch:

$\overline{B_4C_4}$ liegt auf $g$

Dann folgt: $\overline{AB_4}\perp g$

Unter allen Stecken hat die Strecke $\overline{AB_4}$ die kürzeste Länge.

Wegen $u=3\cdot |\overline{AB_n}|$ hat somit das Rechteck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ den minimalen Umfang.

Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für $x$

Es gilt:

$u(x)=\sqrt{9{,}54x^2-27x+324}\;\mathrm{LE}$ mit $x\in \mathbb{R}$

$u (x)$ soll minimal werden. Dazu betrachtet man den Term unter der Wurzel.

$f(x)=9{,}54x^2-27x+324$

Es handel sich hier um eine nach oben geöffnete und gestreckte Parabel.

Gesucht ist der x-Wert des Scheitelpunktes $x_{S}$ . Für $x_{S}$ ist $f (x)$ minimal und damit ist auch $u (x)$ minimal.

Bestimme den Scheitelpunkt von $f (x)$ :

	$\displaystyle 9{,}54x^2-27x+324$
	↓ Klammere $9,54$ aus.
$=$	$\displaystyle 9{,}54(x^2-2{,}83x+33{,}96)$
	↓ Bilde die quadratische Ergänzung.
$=$	$\displaystyle 9{,}54\left(x^2-2{,}83x+\left(\frac{2{,}83}{2}\right)^2-\left(\frac{2{,}83}{2}\right)^2+33{,}96\right)$
	↓ Fasse zusammen.
$=$	$\displaystyle 9{,}54((x-1{,}42)^2-2+33{,}96)$
	↓ Löse die Klammer auf.
$=$	$\displaystyle 9{,}54(x-1{,}42)^2+304{,}90$

Somit ist $f(x)=9{,}54(x-1{,}42)^2+304{,}90$ .

Der Scheitelpunkt hat die $x$ -Koordinate $x_S=1{,}42$ .

Setze $x_S=1{,}42$ in $u (x)$ ein:

$u(1{,}42)=\sqrt{f(1{,}42)}=\sqrt{9{,}54(1{,}42-1{,}42)^2+304{,}90}=\sqrt{304{,}90}\approx17{,}46$

Der minimale Umfang beträgt rund $17{,}46\;\mathrm{LE}$ und die zugehörige Belegung für $x$ ist $x = 1,42$ .

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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Aufgabe B 3

Zeichne die Gerade ggg sowie die Rechtecke AB1C1D1AB_1C_1D_1AB1​C1​D1​ für x=−1x =-1x=−1 und AB2C2D2AB_2C_2D_2AB2​C2​D2​ für x=7x = 7x=7 in ein Koordinatensystem

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Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte CnC_nCn​ in Abhängigkeit von der Abszisse xxx der Punkte BnB_nBn​

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Zeige, dass sich der Umfang uuu der Rechtecke ABnCnDnAB_nC_nD_nABn​Cn​Dn​ in Abhängigkeit von der Abszisse xxx der Punkte BnB_nBn​ wie folgt darstellen lässt: u(x)=9,54x2−27x+324 LEu(x)=\sqrt{9{,}54x^2 - 27x + 324} \;\mathrm{LE}u(x)=9,54x2−27x+324​LE

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Berechne den Umfang des Rechtecks AB3C3D3AB_3C_3D_3AB3​C3​D3​

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Begründe, warum das zugehörige Rechteck AB4C4D4AB_4C_4D_4AB4​C4​D4​ den minimalen Umfang hat

Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für xxx

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Zeichne die Gerade $g$ sowie die Rechtecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem

Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$

Zeige, dass sich der Umfang $u$ der Rechtecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ wie folgt darstellen lässt: $u(x)=\sqrt{9{,}54x^2 - 27x + 324} \;\mathrm{LE}$

Berechne den Umfang des Rechtecks $A B_{3} C_{3} D_{3}$

Begründe, warum das zugehörige Rechteck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ den minimalen Umfang hat

Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für $x$