Teil B: Analysis 1
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Aufgabe 1
Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in definierten Funktion modellhaft beschreiben. Dabei ist die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und die Wassertemperatur in . Die Raumtemperatur beträgt konstant .
(i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)
(ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur beträgt. (2 P)
Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:
(i) (2 P)(ii) (3 P)
Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:
Es gibt eine Konstante , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (4 P)
Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:
Aus ergibt sich .
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (3 P)
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Aufgabe 2
Gegeben ist die in definierte Funktion mit . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert nur für positiv ist. (3 P)
Zeigen Sie: . (2 P)
Es gibt Punkte auf , in denen die jeweilige Tangente an parallel zur Geraden verläuft.
Bestimmen Sie die -Koordinaten dieser Punkte. (3 P)
Ohne Nachweis darf im Folgenden verwendet werden: .
Berechnen Sie die Wendestellen von , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden.
In einem der Wendepunkte von ist die Steigung von maximal.
Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung. (4 P)
schließt mit der -Achse eine Fläche ein. Die Gerade verläuft parallel zur -Achse durch den Hochpunkt und teilt die Fläche in zwei Teilflächen.
Berechnen Sie den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche A hat.
(4 P)
Für wird das Dreieck mit den Eckpunkten und betrachtet. Für einen Wert von ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.
Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt. (4 P)
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