Teil B: Analysis 1

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $ℝ$ definierten Funktion $f : t \mapsto 25 - 20 \cdot e^{- 0,014 \cdot t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f (t)$ die Wassertemperatur in $^{\circ} C$ . Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^{\circ} C$ .
1. (i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)
  (ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} C$ beträgt. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
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  (i) Für GTR und CAS.
  Berechne $f (0)$ .
  (ii) Für GTR und CAS.
  Löse die Gleichung $f (t) = 12$ .
2. Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:
  (i) $f^{'} (30)$ (2 P)(ii) $\frac{f (30) - f (0)}{30 - 0}$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
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  (i) Für GTR.
  Betrachte den Graphen von $f (x)$ . (Beim GTR $x$ statt $t$ .)
  Gib für $x$ den Wert $30$ ein.
  Angezeigt wird $\frac{d Y}{d X}$ , die erste Ableitung an der Stelle $x = 30$ , also $f^{'} (30)$ .
  (i) Für CAS.
  Berechne $f^{'} (30)$ .
  (ii) Für GTR.
  Für die mittlere Änderungsrate gilt allgemein: $\frac{f (t_{2}) - f (t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$
  Setze $t_{2} = 30$ und $t_{1} = 0$ ein und vereinfache.
  (ii) Für CAS.
  Berechne $\frac{f (30) - 5}{30}$ .
3. Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:
  Es gibt eine Konstante $c$ , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
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  Für GTR.
  Berechne $f^{'} (t)$ .
  Löse die Gleichung $25 - f (t) = c \cdot f^{'} (t)$ nach $t$ auf.
  Für CAS.
  Löse die Gleichung $25 - f (t) = c \cdot f^{'} (t)$ nach $t$ auf.
4. Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:
  Aus $f (t) = \frac{f (0) + 25}{2}$ ergibt sich $t \approx 49,5$ .
  Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufgaben zum arithmetischen Mittel
  Formuliere eine passende Aufgabenstellung
  Berechnet wird mit $f (t) = \frac{f (0) + 25}{2}$ ein Mittelwert.
  Aufgabenstellung:
  Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur den Mittelwert zwischen der Ausgangstemperatur $f (0)$ und $25^{\circ} C$ annimmt.
  Dieser Zeitpunkt beträgt etwa $49,5$ Minuten nach der Entnahme aus dem Kühlschrank.
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  Berechnet wird mit $f (t) = \frac{f (0) + 25}{2}$ ein Mittelwert.
  Aus welchen zwei Werten wird der Mittelwert gebildet?
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $h$ mit $h (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{x}$ . Der Graph von $h$ wird mit $G_{h}$ bezeichnet.
1. Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
  Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist
  Gegeben ist $h (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{x}$ .
  Es gilt: Für alle $x \in ℝ$ ist $e^{x} > 0$ .
  $h (x)$ ist also genau dann positiv, wenn $(1 - x^{2}) > 0$ ist, also nur für $- 1 < x < 1$ .
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  Betrachte den Term $1 - x^{2}$ .
  Für welche Werte von $x$ ist dieser Term positiv?
2. Zeigen Sie: $h^{'} (x) = - (x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{x}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel
  Zeige: $h^{'} (x) = - (x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{x}$
  Gegeben ist $h (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{x}$ .
  Wende die Produktregel an.
  $h^{'} (x) = (- 2 x) \cdot e^{x} + (1 - x^{2}) \cdot e^{x} = (- x^{2} - 2 x + 1) \cdot e^{x} = - (x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{x}$ .
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  Wende die Produktregel an.
3. Es gibt Punkte auf $G_{h}$ , in denen die jeweilige Tangente an $G_{h}$ parallel zur Geraden $g : y = x$ verläuft.
  Bestimmen Sie die $x$ -Koordinaten dieser Punkte. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Bestimme die $x$ -Koordinaten dieser Punkte
  Gegeben: Es gibt Punkte auf $G_{h}$ , in denen die jeweilige Tangente an $G_{h}$ parallel zur Geraden $g : y = x$ verläuft.
  Die Steigung der Geraden g ist $m_{g} = 1 \Rightarrow m_{h} = 1$ .
  Löse die Gleichung $h^{'} (x) = 1$ .
  Die Gleichung besitzt die beiden Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit $x_{1} \approx - 0,62$ und $x_{2} \approx 0$ .
  Die $x$ -Koordinaten dieser Punkte sind $x_{1} \approx - 0,62$ und $x_{2} \approx 0$ .
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  Die Steigung der Geraden g ist $m_{g} = 1 \Rightarrow m_{h} = 1$ .
  Löse die Gleichung $h^{'} (x) = 1$ .
4. Ohne Nachweis darf im Folgenden verwendet werden: $h^{''} (x) = - (x^{2} + 4 x + 1) \cdot e^{x}$ .
  Berechnen Sie die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden.
  In einem der Wendepunkte von $G_{h}$ ist die Steigung von $G_{h}$ maximal.
  Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Berechne die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden
  Gegeben ist $h^{''} (x) = - (x^{2} + 4 x + 1) \cdot e^{x}$ .
  Löse die Gleichung $h^{''} (x) = 0$ .
  $0 = - (x^{2} + 4 x + 1) \cdot e^{x}$
  Wende den Satz vom Nullprodukt an:
  Wegen $e^{x} \neq 0$ kann nur $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ sein.
  Löse die Gleichung z.B. mit der pq-Formel.
  $x_{1,2}$ $=$ $= - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
  ↓
  Setze $p = 4$ und $q = 1$ ein.
  $=$ $- \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 1}$
  $=$ $- 2 \pm \sqrt{3}$
  Die Gleichung $h^{''} (x) = 0$ besitzt die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit $x_{1} = - 2 - \sqrt{3} \approx - 3,73$ und $x_{2} = - 2 + \sqrt{3} \approx - 0,27$ .
  Verwende das Vorzeichenwechselkriterium:
  Eine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung verschwindet und sie an dieser Stelle ihr Vorzeichen wechselt.
  Es gilt $h^{''} (- 4) \approx - 0,018 < 0, h^{''} (- 2) \approx 0,41 > 0$ und $h^{''} (0) = - 1 < 0$ .
  Bei $x_{1}$ und $x_{2}$ liegen wegen der Vorzeichenwechsel von $h^{''}$ jeweils Wendestellen vor.
  Weiterhin ist $h^{'} (x) = - (x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{x}$ .
  $h^{'} (x_{1}) \approx - 0,13$ und $h^{'} (x_{2}) \approx 1,12$ $\Rightarrow$ die Steigung von $G_{h}$ ist bei $x_{2}$ maximal.
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  Teil 1
  Löse die Gleichung $h^{''} (x) = 0$ . $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$
  Eine Überprüfung, ob ein Wendepunkt vorliegt, kann mit dem Vorzeichenwechselkriterium erfolgen.
  Teil 2
  Berechne $h^{'} (x_{1})$ und $h^{'} (x_{2})$ und vergleiche.
5. $G_{h}$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche $A$ ein. Die Gerade $k$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Hochpunkt $H (- 1 + \sqrt{2} | h (- 1 + \sqrt{2}))$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.
  Berechnen Sie den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche A hat.
  (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat
  Für die Nullstellen von $h$ gilt: $h (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ oder $x = 1$ .
  Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\int_{- 1}^{1} h (x) d x$ .
  $A = \int_{- 1}^{1} h (x) d x \approx 1,47$
  $A_{2} = \int_{- 1}^{- 1 + \sqrt{2}} h (x) d x \approx 0,95$
  $A_{1} = A - A_{2} = 1,47 - 0,95 = 0,52 \Rightarrow$ die größere Fläche ist die Fläche $A_{2}$ .
  Gesucht ist also das Verhältnis $\frac{A_{2}}{A}$ :
  $\frac{A_{2}}{A} = \frac{\int_{- 1}^{- 1 + \sqrt{2}} h (x) d x}{\int_{- 1}^{1} h (x) d x} \approx 0,647$
  Der Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat, beträgt rund $64,7 %$ .
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  Berechne die Flächen $A = \int_{- 1}^{1} h (x) d x$ und $A_{2} = \int_{- 1}^{- 1 + \sqrt{2}} h (x) d x$ und entscheide, welche der beiden Teilflächen $A_{1}$ oder $A_{2}$ die größere ist.
  Berechne dann $\frac{A_{größere}}{A}$ .
6. Für $0 < w < 1$ wird das Dreieck mit den Eckpunkten ⁣ $(0 | 0), (w | 0)$ und $(w | h (w))$ betrachtet. Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.
  Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
  Berechne den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden
  Der Flächeninhalt berechnet sich für $0 < w < 1$ mittels der Funktion $i$ mit $i (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot h (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot (1 - w^{2}) \cdot e^{w}$ .
  Der Taschenrechner liefert die gerundeten Koordinaten (⁣ $0,675 | 0,361$ ) für den absoluten Hochpunkt des Graphen von $i$ im Bereich $0 \leq w \leq 1$ .
  Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa $0,36 FE$ .
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  Der Flächeninhalt berechnet sich für $0 < w < 1$ mittels der Funktion $i$ mit $i (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot h (w)$ .
  Lasse Dir die Koordinaten des absoluten Hochpunktes anzeigen $H P (w_{1} | i (w_{1}))$
  Der maximale Flächeninhalt ist dann $i (w_{1})$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x_{1,2}$	$=$	$= - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 4$ und $q = 1$ ein.
	$=$	$- \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 1}$
	$=$	$- 2 \pm \sqrt{3}$

Teil B: Analysis 1

Aufgabe 1

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Formuliere eine passende Aufgabenstellung

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Aufgabe 2

Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert h(x) nur für −1<x<1 positiv ist

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Zeige: h′(x)=−(x2+2x−1)⋅ex

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Bestimme die x-Koordinaten dieser Punkte

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Berechne die Wendestellen von h, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

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Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche A hat

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Berechne den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

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Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist

Zeige: $h^{'} (x) = - (x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{x}$

Bestimme die $x$ -Koordinaten dieser Punkte

Berechne die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat