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Teil B: Analysis 1

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  1. 1

    Aufgabe 1

    Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion f:t2520e0,014tf: t \mapsto 25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t} modellhaft beschreiben. Dabei ist tt die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und f(t)f(t) die Wassertemperatur in C{ }^{\circ} \mathrm{C}. Die Raumtemperatur beträgt konstant 25C25^{\circ} \mathrm{C}.

    1. (i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)

      (ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12C12^{\circ} \mathrm{C} beträgt. (2 P)

    2. Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:

      (i) f(30) f^{\prime}(30) (2 P)                        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(ii) f(30)f(0)300\dfrac{f(30)-f(0)}{30-0} (3 P)

    3. Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:

      Es gibt eine Konstante cc, sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das cc-fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (4 P)

    4. Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:

      Aus f(t)=f(0)+252f(t)=\frac{f(0)+25}{2} ergibt sich t49,5t \approx 49{,}5.

      Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (3 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion hh mit h(x)=(1x2)exh(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}. Der Graph von hh wird mit GhG_{h} bezeichnet.

    1. Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert h(x)h(x) nur für 1<x<1-1<x<1 positiv ist. (3 P)

    2. Zeigen Sie: h(x)=(x2+2x1)exh^{\prime}(x)=-\left(x^{2}+2 x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}. (2 P)

    3. Es gibt Punkte auf GhG_{h}, in denen die jeweilige Tangente an GhG_{h} parallel zur Geraden g:y=xg: y=x verläuft.

      Bestimmen Sie die xx-Koordinaten dieser Punkte. (3 P)

    4. Ohne Nachweis darf im Folgenden verwendet werden: h(x)=(x2+4x+1)exh^{\prime \prime}(x)=-\left(x^{2}+4 x+1\right) \cdot e^{x}.

      Berechnen Sie die Wendestellen von hh, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden.

      In einem der Wendepunkte von GhG_{h} ist die Steigung von GhG_{h} maximal.

      Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung. (4 P)

    5. GhG_{h} schließt mit der xx-Achse eine Fläche AA ein. Die Gerade kk verläuft parallel zur yy-Achse durch den Hochpunkt H(1+2h(1+2))H(-1+\sqrt{2} \mid h(-1+\sqrt{2})) und teilt die Fläche AA in zwei Teilflächen.

      Berechnen Sie den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche A hat.

      (4 P)

    6. Für 0<w<10<w<1 wird das Dreieck mit den Eckpunkten ⁣(00),(w0)(0 \mid 0),(w \mid 0) und (wh(w))(w \mid h(w)) betrachtet. Für einen Wert von ww ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.

      Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt. (4 P)


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