Teil B: Analysis 1

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto 25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f (t)$ die Wassertemperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ . Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^{\circ} \mathrm{C}$ .
1. (i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)
  (ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
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  (i) Für GTR und CAS.
  Berechne $f (0)$ .
  (ii) Für GTR und CAS.
  Löse die Gleichung $f (t) = 12$ .
2. Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:
  (i) $f^{\prime}(30)$ (2 P) $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ (ii) $\dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
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  (i) Für GTR.
  Betrachte den Graphen von $f (x)$ . (Beim GTR $x$ statt $t$ .)
  Gib für $x$ den Wert $30$ ein.
  Angezeigt wird $\mathrm{\dfrac{dY}{dX}}$ , die erste Ableitung an der Stelle $x = 30$ , also $f^{'} (30)$ .
  (i) Für CAS.
  Berechne $f^{'} (30)$ .
  (ii) Für GTR.
  Für die mittlere Änderungsrate gilt allgemein: $\dfrac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}$
  Setze $t_{2} = 30$ und $t_{1} = 0$ ein und vereinfache.
  (ii) Für CAS.
  Berechne $\dfrac{f(30)-5}{30}$ .
3. Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:
  Es gibt eine Konstante $c$ , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
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  Für GTR.
  Berechne $f^{'} (t)$ .
  Löse die Gleichung $25-f(t)=c\cdot f'(t)$ nach $t$ auf.
  Für CAS.
  Löse die Gleichung $25-f(t)=c\cdot f'(t)$ nach $t$ auf.
4. Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:
  Aus $f(t)=\frac{f(0)+25}{2}$ ergibt sich $t \approx 49{,}5$ .
  Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufgaben zum arithmetischen Mittel
  Formuliere eine passende Aufgabenstellung
  Berechnet wird mit $f(t)=\frac{f(0)+25}{2}$ ein Mittelwert.
  Aufgabenstellung:
  Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur den Mittelwert zwischen der Ausgangstemperatur $f (0)$ und $25^{\circ} \mathrm{C}$ annimmt.
  Dieser Zeitpunkt beträgt etwa $49,5$ Minuten nach der Entnahme aus dem Kühlschrank.
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  Berechnet wird mit $f(t)=\frac{f(0)+25}{2}$ ein Mittelwert.
  Aus welchen zwei Werten wird der Mittelwert gebildet?

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ . Der Graph von $h$ wird mit $G_{h}$ bezeichnet.

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist
Gegeben ist $h(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Es gilt: Für alle $x \in \mathbb{R}$ ist $\mathrm{e}^{x}>0$ .
$h (x)$ ist also genau dann positiv, wenn $\left(1-x^{2}\right)>0$ ist, also nur für $- 1 < x < 1$ .
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Betrachte den Term $1 - x^{2}$ .
Für welche Werte von $x$ ist dieser Term positiv?
Zeigen Sie: $h^{\prime}(x)=-\left(x^{2}+2 x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel
Zeige: $h^{\prime}(x)=-\left(x^{2}+2 x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$
Gegeben ist $h(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Wende die Produktregel an.
$h^{\prime}(x)=(-2 x) \cdot \mathrm{e}^{x}+\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}=\left(-x^{2}-2 x+1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}=-\left(x^{2}+2 x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
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Wende die Produktregel an.
Es gibt Punkte auf $G_{h}$ , in denen die jeweilige Tangente an $G_{h}$ parallel zur Geraden $g : y = x$ verläuft.
Bestimmen Sie die $x$ -Koordinaten dieser Punkte. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Bestimme die $x$ -Koordinaten dieser Punkte
Gegeben: Es gibt Punkte auf $G_{h}$ , in denen die jeweilige Tangente an $G_{h}$ parallel zur Geraden $g : y = x$ verläuft.
Die Steigung der Geraden g ist $m_g=1\;\Rightarrow\;m_h=1$ .
Löse die Gleichung $h^{\prime}(x)=1$ .
Die Gleichung besitzt die beiden Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit $x_{1} \approx-0{,}62$ und $x_{2} \approx 0$ .
Die $x$ -Koordinaten dieser Punkte sind $x_{1} \approx-0{,}62$ und $x_{2} \approx 0$ .
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Die Steigung der Geraden g ist $m_g=1\;\Rightarrow\;m_h=1$ .
Löse die Gleichung $h^{\prime}(x)=1$ .

Ohne Nachweis darf im Folgenden verwendet werden: $h^{\prime \prime}(x)=-\left(x^{2}+4 x+1\right) \cdot e^{x}$ .

Berechnen Sie die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden.

In einem der Wendepunkte von $G_{h}$ ist die Steigung von $G_{h}$ maximal.

Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte

Berechne die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

Gegeben ist $h^{\prime \prime}(x)=-\left(x^{2}+4 x+1\right) \cdot e^{x}$ .

Löse die Gleichung $h^{\prime \prime}(x)=0$ .

$0=-\left(x^{2}+4 x+1\right) \cdot e^{x}$

Wende den Satz vom Nullprodukt an:

Wegen $e^x\neq 0$ kann nur $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ sein.

Löse die Gleichung z.B. mit der pq-Formel.

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle =-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = 4$ und $q = 1$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-1}$
	$=$	$\displaystyle -2\pm\sqrt{3}$

Die Gleichung $h^{''} (x) = 0$ besitzt die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit $x_{1}=-2-\sqrt{3} \approx-3{,}73$ und $x_{2}=-2+\sqrt{3} \approx-0{,}27$ .

Verwende das Vorzeichenwechselkriterium:

Eine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung verschwindet und sie an dieser Stelle ihr Vorzeichen wechselt.

Es gilt $h ''(-4) \approx-0{,}018<0, h ''(-2) \approx 0{,}41>0$ und $h^{''} (0) = - 1 < 0$ .

Bei $x_{1}$ und $x_{2}$ liegen wegen der Vorzeichenwechsel von $h^{''}$ jeweils Wendestellen vor.

Weiterhin ist $h^{\prime}(x)=-\left(x^{2}+2 x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .

$h'(x_1)\approx -0{,}13$ und $h'(x_2)\approx 1{,}12$ $\;\Rightarrow\;$ die Steigung von $G_{h}$ ist bei $x_{2}$ maximal.

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$G_{h}$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche $A$ ein. Die Gerade $k$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Hochpunkt $H(-1+\sqrt{2} \mid h(-1+\sqrt{2}))$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.
Berechnen Sie den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche A hat.
(4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat
Für die Nullstellen von $h$ gilt: $h(x)=0 \Leftrightarrow x=-1$ oder $x = 1$ .
Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x)\; \mathrm{d} x$ .
$A=\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x) \;\mathrm{d} x\approx1{,}47$
$A_2=\displaystyle\int_{-1}^{-1+\sqrt{2}} h(x)\; \mathrm{d} x\approx0{,}95$
$A_1=A-A_2=1{,}47-0{,}95=0{,}52\;\Rightarrow\;$ die größere Fläche ist die Fläche $A_{2}$ .
Gesucht ist also das Verhältnis $\dfrac{A_2}{A}$ :
$\dfrac{A_2}{A}=\frac{\displaystyle\int_{-1}^{-1+\sqrt{2}} h(x)\; \mathrm{d} x}{\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x) \;\mathrm{d} x} \approx 0{,}647$
Der Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat, beträgt rund $64{,}7\ \%$ .
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Berechne die Flächen $A=\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x) \;\mathrm{d} x$ und $A_2=\displaystyle\int_{-1}^{-1+\sqrt{2}} h(x)\; \mathrm{d} x$ und entscheide, welche der beiden Teilflächen $A_{1}$ oder $A_{2}$ die größere ist.
Berechne dann $\dfrac{A_{\text{größere}}}{A}$ .
Für $0 < w < 1$ wird das Dreieck mit den Eckpunkten ⁣ $(0 \mid 0),(w \mid 0)$ und $(w \mid h(w))$ betrachtet. Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.
Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Berechne den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden
Der Flächeninhalt berechnet sich für $0 < w < 1$ mittels der Funktion $i$ mit $i(w)=\frac{1}{2} \cdot w \cdot h(w)=\frac{1}{2} \cdot w \cdot \left(1-w^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{w}$ .
Der Taschenrechner liefert die gerundeten Koordinaten (⁣ $0{,}675 \mid 0{,}361$ ) für den absoluten Hochpunkt des Graphen von $i$ im Bereich $0 \leq w \leq 1$ .
Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa $0{,}36\;\text{FE}$ .
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Der Flächeninhalt berechnet sich für $0 < w < 1$ mittels der Funktion $i$ mit $i(w)=\frac{1}{2} \cdot w \cdot h(w)$ .
Lasse Dir die Koordinaten des absoluten Hochpunktes anzeigen $H P (w_{1} ∣ i (w_{1}))$
Der maximale Flächeninhalt ist dann $i (w_{1})$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil B: Analysis 1

Aufgabe 1

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Formuliere eine passende Aufgabenstellung

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Aufgabe 2

Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert h(x)h(x)h(x) nur für −1<x<1-1<x<1−1<x<1 positiv ist

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Zeige: h′(x)=−(x2+2x−1)⋅exh^{\prime}(x)=-\left(x^{2}+2 x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}h′(x)=−(x2+2x−1)⋅ex

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Bestimme die xxx-Koordinaten dieser Punkte

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Berechne die Wendestellen von hhh, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

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Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche AAA hat

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Berechne den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

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Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist

Zeige: $h^{\prime}(x)=-\left(x^{2}+2 x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$

Bestimme die $x$ -Koordinaten dieser Punkte

Berechne die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat