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Aufgabe 2

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion h mit h(x)=(1−x2)⋅ex. Der Graph von h wird mit Gh bezeichnet.

  1. BegrĂŒnden Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert h(x) nur fĂŒr −1<x<1 positiv ist. (3 P)

  2. Zeigen Sie: hâ€Č(x)=−(x2+2x−1)⋅ex. (2 P)

  3. Es gibt Punkte auf Gh, in denen die jeweilige Tangente an Gh parallel zur Geraden g:y=x verlÀuft.

    Bestimmen Sie die x-Koordinaten dieser Punkte. (3 P)

  4. Ohne Nachweis darf im Folgenden verwendet werden: hâ€Čâ€Č(x)=−(x2+4x+1)⋅ex.

    Berechnen Sie die Wendestellen von h, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder ZusammenhÀnge zu verwenden.

    In einem der Wendepunkte von Gh ist die Steigung von Gh maximal.

    Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung. (4 P)

  5. Gh schließt mit der x-Achse eine FlĂ€che A ein. Die Gerade k verlĂ€uft parallel zur y-Achse durch den Hochpunkt H(−1+2|h(−1+2)) und teilt die FlĂ€che A in zwei TeilflĂ€chen.

    Berechnen Sie den Anteil, den die grĂ¶ĂŸere der beiden TeilflĂ€chen an der FlĂ€che A hat.

    (4 P)

  6. FĂŒr 0<w<1 wird das Dreieck mit den Eckpunkten ⁣(0|0),(w|0) und (w|h(w)) betrachtet. FĂŒr einen Wert von w ist der FlĂ€cheninhalt des Dreiecks maximal.

    Bestimmen Sie den maximalen FlÀcheninhalt. (4 P)