Prüfungsteil 2 2024

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Garten
Lisa arbeitet als Gärtnerin. Im Rahmen eines Projektes plant sie den Grundriss eines quadratischen Gartens. Dieser Garten soll achsensymmetrisch sein (Abbildung 1).
1. Gib die Anzahl der Symmetrieachsen des Gartens an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
  Sowohl die Diagonalen, als auch die Seitenhalbierenden des Quadrats sind Symmetrieachsen.
  Der Garten hat also 4 Symmetrieachsen.
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2. Bestätige durch eine Rechnung, dass die Seitenlänge des inneren Quadrats ca. 5,7 m beträgt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Betrachte z.B. das Dreieck links unten. Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Katheden beträgt $8 : 2 = 4$ .
  Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich:
  $4^{2} + 4^{2} = c^{2}$
  $c=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}\approx5{,}7$
  Die Seitenlänge des Quadrats beträg ca. $5{,}7\m.$
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  Berechne die Seitenlänge des inneren Quadrats mit dem Satz des Pythagoras.
3. Auf den Seiten des inneren Quadrats werden Buchsbäume im Abstand von 15 cm gepflanzt. Berechne die Anzahl der Buchsbäume.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
  $U_{Quadrat}=4\cdot a$
  $U\approx4\cdot5{,}7=22{,}8$
  $22,8 : 0,15 = 152$
  Für das innere Quadrat benötig Lisa 152 Buchsäume.
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  Berechne den Umfang der inneren Quadrats.
  Teile diesen durch den Abstand der Buchsbäume.
4. Ausgehend vom Mittelpunkt des Gartens möchte Lisa ein kreisförmiges Beet mit einem Radius von 2 m anlegen.
  Zeichne dieses Beet maßstabsgetreu in Abbildung 1 ein.
  
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5. In dem kreisförmigen Beet möchte sie eine Blumenwiese anlegen. Für einen Quadratmeter benötigt sie drei Gramm Blumensamen.
  Berechne, wie viel Gramm Blumensamen sie benötigt. Runde sinnvoll.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreiszahl Pi
  $A_{Kreis}=\pi\cdot r^2,$
  $A=\pi\cdot2^2\approx12{,}56$
  Die Kreisfläche ist $12{,}56\m^2$ groß. Pro Quadratmeter benötigt Lisa 3 Gramm Blumensamen.
  $12{,}56\cdot3=37{,}69\approx38$
  Lisa benötigt ca. $38\ g$ Blumensamen für das Beet.
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  Berechne die Fläche des kreisförmigen Beetes in Quadratmeter.
  Multipliziere die Fläche des Beetes mit dem Gewicht der Samen pro Quadratmeter.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
E-Scooter
Tom überlegt, mit einem geliehenen E-Scooter die 5 Kilometer vom Bahnhof zu seiner Arbeitsstelle zu fahren.
1. Tom geht von einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $15 \frac{\mathrm{~km}}{\mathrm{~h}}$ aus. Bestätige durch eine Rechnung, dass Tom mit dem E-Scooter 20 Minuten bis zur Arbeit benötigt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
  Tom benötigt für die Strecke von $5\km$ mit seinen E-Scooter 20 Minuten.
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  Berechne anhand der Geschwindigkeit, wie lange Tom für $5 \km$ braucht.
2. Der E-Scooter-Verleih „E-Line" berechnet eine Startgebühr und für jede genutzte Minute einen festen Preis.
  Tom nutzt den E-Scooter für den Hin- und Rückweg und muss daher zweimal die Startgebühr bezahlen. Berechne seine Kosten pro Tag.
  
  Startgebühr: $2\cdot1$ €
  Gebühr für die genutzte Zeit: $2\cdot20\cdot0{,}15$
  $2\cdot1+40\cdot0{,}15=2+6=8$
  Die Kosten betragen $8$ € pro Tag.
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3. Wenn Tom den E-Scooter jeden Tag nutzt, muss er mit Kosten von $160\ €$ pro Monat rechnen. Tom stellt für die Berechnung der Gesamtkosten die Funktionsgleichung auf: $y=160 \cdot x$ .
  Er zeichnet den dazugehörigen Graphen in das Koordinatensystem (Abbildung 1).
  Gib die Bedeutung von $y$ , von 160 und von $x$ im Zusammenhang mit der Kostenberechnung an.
  
  $y$ : Gesamtkosten je nach Nutzungsdauer
  $160 \ €$ : Kosten pro Monat
  $x$ : Anzahl Monate
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4. Bestimme die Gesamtkosten nach $2,5$ Monaten.
  
  $160\cdot2{,}5=400$
  Die Gesamtkosten nach $2,5$ Monaten betragen $400$ €.
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  Multipliziere die Kosten pro Monat mit 2,5.
5. Tom überlegt: „Vielleicht kaufe ich besser einen E-Scooter." Der E-Scooter kostet $750\ €$ . Pro Monat plant er weitere $10 €$ ein (z. B. für Aufladen und Versicherung).
  Zeichne den Graphen der Gesamtkosten für diesen E-Scooter in das Koordinatensystem ein (Abbildung 1).
  
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  Zeichne eine Gerade, beginnend im Punkt P(0|750). Pro Monat wächst der Wert der y-Komponente dieser Geraden um 10.
6. Begründe, dass sich der Kauf des E-Scooters für ihn langfristig lohnt.
  
  Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt bei P(5 | 800). Nach 5 Monaten sind die Kosten des geliehenen Rollers genauso hoch wie bei einem gekauften
  Roller. Wenn Tom länger als 5 Monate mit dem Roller fahren möchte, lohnt sich
  der Kauf eines E-Scooters von Beginn an.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Würfel
Selma hat eine Kiste mit kleinen Würfeln aus Holz (Abbildung 1). Jeder Würfel hat eine Kantenlänge von 2 cm .
1. Berechne das Volumen eines kleinen Würfels.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Würfel (Kubus)
  $V_{\text{Würfel}}=a^3$
  $V = 2^{3} = 8$
  Ein Holzwürfel hat ein Volumen von $8 \cm^3$ .
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2. Selma baut aus acht kleinen Würfeln einen größeren Würfel und aus acht weiteren Würfeln einen Quader (Abbildung 2).
  Das Volumen des Quaders und das Volumen des größeren Würfels sind gleich groß. Begründe.
  
  Das Volumen der neu zusammen gesetzten Körper ergibt sich aus der Summe der Volumina der einzelnen kleinen Würfel. Da die beiden neuen Körper aus der gleiche Anzahl kleiner Würfel bestehen, ist ihr Volumen gleich.
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3. Die Oberflächen der beiden Körper sind unterschiedlich groß. Begründe.
  
  Die Oberfläche des Würfels besteht aus $6\cdot4=2$ 4 Quadraten.
  Die Oberfläche des Quaders besteht aus $2\cdot8+2\cdot4+2\cdot2=28$ Quadraten. Daher ist die Oberfläche des Quaders größer.
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  Berechne die Oberflächen.
4. Als nächstes baut Selma aus 27 kleinen Würfeln einen großen Würfel. Dieser hat eine Kantenlänge von 6 cm. Die sechs Außenflächen des großen Würfels lackiert Selma blau (Abbildung 3).
  $250 \ml$ Lack reichen etwa für $5000\mathrm{\ \text{cm}^2}$ .
  Berechne, wie viel Milliliter ( $ml$ ) Lack sie benötigt.
  
  $250 : 5000 = 0,05$
  Der Lackverbrauch beträgt $0{,}05 \ml$ pro $\cm^2$ .
  $O_{\text{Würfel}}=6\cdot a^2$
  $O=6\cdot6^2=216$
  Die Oberfläche des Würfels ist $216\cm^2$ .
  $216\cdot0{,}05=10{,}8$
  Selma benötigt $10{,}8 \ml$ Lack.
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  Berechne wieviel Lack Selma pro $\cm^2$ benötigt.
  Berechne die Oberfläche des Würfels mit der Oberflächenformel in $\cm^2$ .
  Multipliziere die beiden Werte.
5. Durch die Lackierung unterscheiden sich die 27 kleinen Würfel. Sie haben unterschiedlich viele blaue Außenflächen. Selma zählt die Anzahl gleicher Würfel und trägt sie in eine Tabelle ein.
  Vervollständige Selmas Tabelle.
  
  Die 4 Eckwürfel in der obersten und in der untersten Reihe haben 3 blaue Außenflächen, also insgesamt 8 Würfel.
  Der Würfel in der mittleren Reihe in der Mitte hat keine blaue Außenfläche, da er vollständig von anderen Würfeln umgeben ist.
  Die 4 mittleren Würfel in der Reihe in der Mitte und die beiden mittleren Würfel in der Spalte in der Mitte haben nur eine blaue Außenfläche.
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6. Selma mischt die 27 kleinen Würfel und nimmt ohne hinzusehen einen Würfel.
  Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel genau zwei blaue Außenflächen hat.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Gesamtanzahl der Würfel: 27
  Anzahl der Würfel mit 2 blauen Außenflächen: 12
  P(genau zwei blaue Flächen) $=\ \displaystyle\frac{12}{27}=\ \frac{4}{9}$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass ein belibig gezogener Würfel genau zwei blaue Außenflächen hat beträgt $\displaystyle \dfrac{4}{9}$ .
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  Bestimme die relative Häufigkeit.