B2

Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat

Setze $f(x)f(x)$ gleich null:

$0=x\cdot (8-5x)\cdot {(1-{\displaystyle \frac{x}{4}})}^{2}0=x\backslash cdot\; (8-5x)\backslash cdot\; \backslash left(1-\backslash dfrac\{x\}\{4\}\backslash right)^2$

Es wird der Satz vom Nullprodukt angewendet.

Es ist $x=0x=0$ oder $8-5x=08-5x=0$ oder ${(1-{\displaystyle \frac{x}{4}})}^2=0\backslash left(1-\backslash dfrac\{x\}\{4\}\backslash right)^2=0$.

Also ist $x=0x=0$ und/oder $x={\displaystyle \frac{8}{5}}=\mathrm{1,6}x=\backslash dfrac\{8\}\{5\}=1\{,\}6$ und/oder $x=4x=4$.

Zu diesen x-Werten gehören die Uhrzeiten $6:006:00$ Uhr, $7:367:36$ Uhr und $10:0010:00$ Uhr. Zu diesen Zeiten ist die momentane Änderungsrate der Staulänge gleich null.

Begründe anhand der Struktur des Funktionsterms von $ff$, dass es keine weiteren solcher Zeitpunkte gibt

Die Funktion $ff$ hat den Grad $44$, d.h. der Graph der Funktion hat maximal vier einfache Nullstellen.

Die ersten beiden Nullstellen sind einfache Nullstellen. Die Nullstelle $x=4x=4$ ist eine doppelte Nullstelle. Es gibt also insgesamt vier Nullstellen. Somit gibt es keine weiteren Nullstellen und keine weiteren Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an

Es ist .

$x=2x=2$ heißt, die Uhrzeit ist $8:008:00$ Uhr, also $22$ Stunden nach dem Beginn des Staus.

Der Funktionswert um $88$ Uhr ist negativ. Die Staulänge nimmt um $88$ Uhr ab.

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt

Der TR liefert im Intervall $[0;4][0;4]$ (z.B. durch graphische Analyse) den absoluten Hochpunkt des Graphen von $ff$ bei ungefähr $(\mathrm{0,62}\mid \mathrm{2,17})(0\{,\}62\; \backslash mid\; 2\{,\}17)$.

Damit nimmt die Staulänge etwa $\mathrm{0,62}0\{,\}62$ Stunden nach 06:00 Uhr, also um ca. 06:37 Uhr am stärksten zu.

Zeige, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate zwischen $2\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}2\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{~km\}\}\{\backslash mathrm\{~h\}\}$ und $3\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}3\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{~km\}\}\{\backslash mathrm\{~h\}\}$ liegt

Der absolute Hochpunkt des Graphen von $ff$ liegt bei ungefähr $(\mathrm{0,62}\mid \mathrm{2,17})(0\{,\}62\; \backslash mid\; 2\{,\}17)$. Die zugehörige Änderungsrate zu $x=\mathrm{0,62}x=0\{,\}62$ beträgt ca. $\mathrm{2,17}\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}2\{,\}17\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{~km\}\}\{\backslash mathrm\{~h\}\}$ und liegt damit zwischen $2\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}2\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{~km\}\}\{\backslash mathrm\{~h\}\}$ und $3\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}3\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{~km\}\}\{\backslash mathrm\{~h\}\}$.

Begründe Deine Angabe

Die maximale Staulänge wird erreicht, wenn die Funktion $ff$ (die momentane Änderungsrate) die $xx$-Achse schneidet. Hier wechselt $ff$ vom Positiven ins Negative.

Dieser Zeitpunkt wurde schon in Aufgabe a) berechnet. Es ist $x=\mathrm{1,6}x=1\{,\}6$.

Um $7:367:36$ Uhr ist die Staulänge maximal.

Die Länge des Staus nimmt genau dann zu, wenn $f(x)>0f(x)>0$ gilt. Somit nimmt die Länge des Staus bis 07:36 Uhr zu und anschließend bis 10:00 Uhr wieder ab.

Begründe, dass die Aussage richtig ist

Die Funktion $ss$ gibt dann die Staulänge an, wenn $ss$ eine Stammfunktion von $ff$ ist.

Es muss gelten: $s^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)s\text{'}(x)=f(x)$

Die Ableitung von $ss$ wird berechnet und mit der Funktion $ff$ verglichen.

$s(x)=-{\displaystyle \frac{1}{16}}{x}^5+{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^4-3x^3+4x^{2}s(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{16\}x^5+\backslash dfrac\{3\}\{4\}x^4-3x^3+4x^2$

$s^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{5}{16}}{x}^4+3x^3-9x^2+8x=f(x)s\text{'}(x)=-\backslash dfrac\{5\}\{16\}x^4+3x^3-9x^2+8x=f(x)$

Somit ist $ss$ eine Stammfunktion von $ff$.

Weiterhin gilt: $s(0)={\left({\displaystyle \frac{0}{4}}\right)}^2\cdot (4-0{)}^3=0\cdot 4^3=0s(0)=\backslash left(\backslash dfrac\{0\}\{4\}\backslash right)^2\backslash cdot\; (4-0)^3=0\backslash cdot\; 4^3=0$

Die Staulänge um $6:006:00$ Uhr ist gleich null, d.h. hier beginnt gerade der Stau.

Die Funktion $ss$ ist also die zu $ff$ gehörende Stammfunktion.

Bestätige rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat

Wenn sich der Stau um $10:0010:00$ Uhr (hier ist $x=4x=4$) vollständig aufgelöst hat, muss $s(4)s(4)$ gleich null sein.

$s(x)={\left({\displaystyle \frac{x}{4}}\right)}^2\cdot (4-x{)}^{3}s(x)=\backslash left(\backslash dfrac\{x\}\{4\}\backslash right)^2\backslash cdot\; (4-x)^3$

Setze $x=4x=4$ ein:

$s(4)={\left({\displaystyle \frac{4}{4}}\right)}^2\cdot (4-4{)}^3=1\cdot 0^3=0s(4)=\backslash left(\backslash dfrac\{4\}\{4\}\backslash right)^2\backslash cdot\; (4-4)^3=1\backslash cdot\; 0^3=0$

Somit hat sich der Stau um $10:0010:00$ Uhr vollständig aufgelöst.

Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr

Um $6:306:30$ Uhr ist $x=\mathrm{0,5}x=0\{,\}5$ und um $8:008:00$ Uhr ist $x=2x=2$.

Berechnet werden muss also die Differenz $\mathrm{\Delta }s=s(2)-s(\mathrm{0,5})\backslash Delta\; s=s(2)-s(0\{,\}5)$.

Der Stau hat von $6:306:30$ Uhr bis $8:008:00$ Uhr um rund $\mathrm{1,33}\text{km}1\{,\}33\; \backslash ;\backslash text\{km\}$ zugenommen.

Bestimme für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge

Hier muss der Differenzenquotient $m={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }x}}m=\backslash dfrac\{\backslash Delta\; s\}\{\backslash Delta\; x\}$ berechnet werden:

Die mittlere Änderungsrate der Staulänge für diesen Zeitraum beträgt rund $\mathrm{0,89}{\displaystyle \frac{\text{km}}{\text{h}}}0\{,\}89\backslash ;\backslash dfrac\{\backslash text\{km\}\}\{\backslash text\{h\}\}$.

Bestimme denjenigen Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, zu dem die Staulänge $\mathrm{0,5}0\{,\}5$ km geringer ist als eine Stunde vorher

Die einzige Lösung der Gleichung $s(x)=s(x-1)-\mathrm{0,5}s(x)=s(x-1)-0\{,\}5$, für die sowohl $xx$ als auch $x-1x-1$ zwischen $00$ und $44$ liegen, ist $x\approx \mathrm{2,32}x\; \backslash approx\; 2\{,\}32$.

Es ergibt sich etwa 08:19 Uhr als Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, zu dem die Staulänge $\mathrm{0,5}\mathrm{k}\mathrm{m}0\{,\}5\; \backslash mathrm\{~km\}$ geringer ist als eine Stunde vorher.

Markiere diesen Zeitpunkt näherungsweise in Abbildung 1 und begründe Dein Vorgehen

Um $7:307:30$ Uhr, d.h. bei $x=\mathrm{1,5}x=1\{,\}5$ hat der Stau eine bestimmte Länge. Die Staulänge nimmt ab $x=\mathrm{1,5}x=1\{,\}5$ weiter zu, da die momentane Änderungsrate positiv ist. Die Zunahme erfolgt so lange, bis der Graph die $xx$-Achse schneidet. Das ist bei $x\approx \mathrm{2,2}x\backslash approx2\{,\}2$, d.h. um etwa $8:128:12$ Uhr der Fall. Ab $8:128:12$ Uhr muss dann der Stau sich um den gleichen Betrag verringern, um den er von $7:307:30$ bis $8:128:12$ Uhr zugenommen hat. Das ist etwa bei $x=\mathrm{2,9}x=2\{,\}9$ ($8:548:54$ Uhr) der Fall.

Um etwa $8:548:54$ Uhr hat der Stau die gleiche Länge wie um $7:307:30$ Uhr.

Die Flächen zwischen dem Graphen und der $xx$-Achse einmal im Bereich von $x=\mathrm{1,5}x=1\{,\}5$ bis $x=\mathrm{2,2}x=2\{,\}2$ und dann von $x=\mathrm{2,2}x=2\{,\}2$ bis $x=\mathrm{2,9}x=2\{,\}9$ müssen demnach gleich groß sein.

In der folgenden Abbildung sind die beiden gleich großen Flächen und der Zeitpunkt der gleichen Staulänge wie um $7:307:30$ Uhr markiert (blauer Punkt).

Bestimme die lokalen Extremstellen von $l_{a;b}l\_\{a\; ;\; b\}$ und die Art dieser Extremstellen in Abhängigkeit von $bb$

Es ist $l_{a;b}^{\mathrm{\prime }}(x)=16\cdot \frac{a}{b}\cdot x\cdot (2-\frac{5x}{b})\cdot {(1-\frac{x}{b})}^{2}l\_\{a\; ;\; b\}\text{'}(x)=16\; \backslash cdot\; \backslash frac\{a\}\{b\}\; \backslash cdot\; x\backslash cdot\; \backslash left(2\; -\backslash frac\{5x\}\{b\}\backslash right)\backslash cdot\backslash left(1-\backslash frac\{x\}\{b\}\backslash right)^\{2\}$

Die notwendige Bedingung ist $l_{a;b}^{\mathrm{\prime }}(x)=0l\_\{a\; ;\; b\}\text{'}\; (x)=0$.

$l_{a;b}^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=0\vee 2-\frac{5x}{b}=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot b\vee x=bl\_\{a\; ;\; b\}\text{'}\; (x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=0\backslash vee2\; -\backslash frac\{5x\}\{b\}=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=\backslash dfrac\{2\}\{5\}\backslash cdot\; b\; \backslash vee\; x=b$

Für $a>0a>0$ ergeben sich die drei möglichen Extremstellen: $x=0\vee x=x={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot b\vee x=bx=0\backslash vee\; x=x=\backslash dfrac\{2\}\{5\}\backslash cdot\; b\; \backslash vee\; x=b$.

Da $b>0b>0$ vorgegeben ist, sind die Faktoren $16\cdot \frac{a}{b}16\; \backslash cdot\; \backslash frac\{a\}\{b\}$ und ${(1-\frac{x}{b})}^2\backslash left(1-\backslash frac\{x\}\{b\}\backslash right)^\{2\}$ für $x\mathrm{\ne }bx\; \backslash neq\; b$ stets positiv.

Für ist $(2-\frac{5\cdot x}{b})>0\backslash left(2-\backslash frac\{5\; \backslash cdot\; x\}\{b\}\backslash right)>0$, weshalb hier gilt: . Für ist $(2-\frac{5\cdot x}{b})>0\backslash left(2-\backslash frac\{5\; \backslash cdot\; x\}\{b\}\backslash right)>0$, weshalb hier gilt: $l_{a;b}^{\mathrm{\prime }}(x)>0l\_\{a\; ;\; b\}^\{\backslash prime\}(x)>0$. Für $x>\mathrm{0,4}\cdot bx>0\{,\}4\; \backslash cdot\; b$ ist , weshalb hier $--$ außer für $x=bx=b$ $--$ gilt: .

Somit verfügt der Graph von $l_{a;b}l\_\{a\; ;\; b\}$ an der Stelle $00$ über einen Tiefpunkt, an der Stelle $\mathrm{0,4}\cdot b0\{,\}4\; \backslash cdot\; b$ über einen Hochpunkt und an der Stelle $bb$ über einen Sattelpunkt.

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die vorhergesagte Staulänge erstmals nach der Entstehung $1010$ Kilometer beträgt

Mit den gegebenen Parametern muss die Gleichung $l_{\mathrm{2.4,12}}(x)=10l\_\{2.4\{,\}12\}(x)=10$ gelöst werden.

Die Gleichung $l_{\mathrm{2,4};12}(x)=10l\_\{2\{,\}4\; ;\; 12\}(x)=10$ hat laut GTR die Lösungen $x\approx -\mathrm{1,5},x\approx \mathrm{2,5}x\; \backslash approx-1\{,\}5,\; x\; \backslash approx\; 2\{,\}5$ und $x\approx \mathrm{7,4}x\; \backslash approx\; 7\{,\}4$.

Auf einem Display wird ein Stau angezeigt, der um 06:00 Uhr entstanden ist.

Die Staulänge von $1010$ Kilometern wird demnach erstmals um 06:00 Uhr plus 2,5 Stunden, also um ca. 08:30 Uhr erreicht.

Berechne, um wie viel Prozent die vorausgesagte maximale Staulänge durch das Einschalten des Leitsystems reduziert wird

Für $a=\mathrm{2,4}a=2\{,\}4$ und $b=12b=12$ ist $l_{\mathrm{2,4};12}(x)=16\cdot \frac{\mathrm{2,4}}{12}\cdot x^2\cdot {(1-\frac{x}{12})}^{3}l\_\{2\{,\}4\; ;\; 12\}(x)=16\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2\{,\}4\}\{12\}\; \backslash cdot\; x^\{2\}\; \backslash cdot\backslash left(1-\backslash frac\{x\}\{12\}\backslash right)^\{3\}$.

Der Hochpunkt liegt an der Stelle $x=\mathrm{0,4}b=\mathrm{0,4}\cdot 12=\mathrm{4,8}x=0\{,\}4b=0\{,\}4\backslash cdot\; 12=4\{,\}8$ vor.

$\Rightarrow l_{\mathrm{2,4};12}(\mathrm{4,8})=16\cdot \frac{\mathrm{2,4}}{12}\cdot (\mathrm{4,8}{)}^2\cdot {(1-\frac{\mathrm{4,8}}{12})}^3\approx \mathrm{15,9}\backslash Rightarrow\backslash ;l\_\{2\{,\}4\; ;\; 12\}(4\{,\}8)=16\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2\{,\}4\}\{12\}\; \backslash cdot\; (4\{,\}8)^\{2\}\; \backslash cdot\backslash left(1-\backslash frac\{4\{,\}8\}\{12\}\backslash right)^\{3\}\backslash approx15\{,\}9$

Für $a=\mathrm{1,75}a=1\{,\}75$ und $b=8b=8$ ist $l_{\mathrm{1,75};8}(x)=16\cdot \frac{\mathrm{1,75}}{8}\cdot x^2\cdot {(1-\frac{x}{8})}^{3}l\_\{1\{,\}75;\; 8\}(x)=16\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\{,\}75\}\{8\}\; \backslash cdot\; x^\{2\}\; \backslash cdot\backslash left(1-\backslash frac\{x\}\{8\}\backslash right)^\{3\}$.

Der Hochpunkt liegt an der Stelle $x=\mathrm{0,4}b=\mathrm{0,4}\cdot 8=\mathrm{3,2}x=0\{,\}4b=0\{,\}4\backslash cdot\; 8=3\{,\}2$ vor.

$\Rightarrow l_{\mathrm{1,75};8}(\mathrm{3,2})=16\cdot \frac{\mathrm{1,75}}{8}\cdot (\mathrm{3,2}{)}^2\cdot {(1-\frac{\mathrm{3,2}}{8})}^3\approx \mathrm{7,7}\backslash Rightarrow\backslash ;l\_\{1\{,\}75;\; 8\}(3\{,\}2)=16\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\{,\}75\}\{8\}\; \backslash cdot\; (3\{,\}2)^\{2\}\; \backslash cdot\backslash left(1-\backslash frac\{3\{,\}2\}\{8\}\backslash right)^\{3\}\backslash approx7\{,\}7$

Für die prozentuale Reduktion gilt dann:

${\displaystyle \frac{\mathrm{15,9}-\mathrm{7,7}}{\mathrm{15,9}}}\approx \mathrm{0,52}=52\mathrm{\%}\backslash dfrac\{15\{,\}9-7\{,\}7\}\{15\{,\}9\}\backslash approx0\{,\}52=52\; \backslash ;\backslash \%$

Die von der Software vorhergesagte Staulänge reduziert sich durch den Einsatz des Leitsystems um ca. $52\mathrm{\%}52\; \backslash ;\backslash \%$.

(i) Ermittele unter diesen Voraussetzungen grafisch anhand von Abbildung 2, wann sich der Stau aufgelöst haben wird

Die Staulänge ist ab 11:00 Uhr konstant, d.h. bei $x=5x=5$ muss eine Tangente an den Graphen von $l_{\mathrm{1,75};8}l\_\{1\{,\}75\; ;\; 8\}$ gezeichnet werden.

Die Tangente schneidet die x-Achse bei etwa $\mathrm{6,67}6\{,\}67$, d.h. der Stau wird sich gegen 6:00 Uhr + 6 Stunden und 40 Minuten $==$ 12:40 Uhr aufgelöst haben.

(ii) Überprüfe Dein Ergebnis aus (i) durch eine geeignete Rechnung

Es ist $l_{\mathrm{1,75};8}(x)=16\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,75}}{8}}\cdot x^2\cdot {(1-\frac{x}{8})}^3=\mathrm{3,5}\cdot x^2\cdot {(1-\frac{x}{8})}^{3}l\_\{1\{,\}75\; ;\; 8\}(x)=16\backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\{,\}75\}\{8\}\backslash cdot\; x^\{2\}\; \backslash cdot\backslash left(1-\backslash frac\{x\}\{8\}\backslash right)^\{3\}=3\{,\}5\backslash cdot\; x^\{2\}\; \backslash cdot\backslash left(1-\backslash frac\{x\}\{8\}\backslash right)^\{3\}$.

In Aufgabe a) wurde $l_{a;b}^{\mathrm{\prime }}(x)l\_\{a\; ;\; b\}\text{'}(x)$ berechnet. Entsprechend erhält man für die Ableitung von $l_{\mathrm{1,75};8}^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{3,5}\cdot x\cdot (2-\frac{5x}{8})\cdot {(1-\frac{x}{8})}^{2}l\_\{1\{,\}75\; ;\; 8\}\text{'}(x)=3\{,\}5\; \backslash cdot\; x\backslash cdot\; \backslash left(2\; -\backslash frac\{5x\}\{8\}\backslash right)\backslash cdot\backslash left(1-\backslash frac\{x\}\{8\}\backslash right)^\{2\}$

Berechne $l_{\mathrm{1,75};8}(5)=\mathrm{3,5}\cdot 5^2\cdot {(1-\frac{5}{8})}^3\approx \mathrm{4,614}l\_\{1\{,\}75\; ;\; 8\}(5)=3\{,\}5\backslash cdot\; 5^\{2\}\; \backslash cdot\backslash left(1-\backslash frac\{5\}\{8\}\backslash right)^\{3\}\backslash approx\; 4\{,\}614$ und $l_{\mathrm{1,75};8}^{\mathrm{\prime }}(5)=\mathrm{3,5}\cdot 5\cdot (2-\frac{5\cdot 5}{8})\cdot {(1-\frac{5}{8})}^2\approx -\mathrm{2,769}=ml\_\{1\{,\}75\; ;\; 8\}\text{'}(5)=3\{,\}5\; \backslash cdot\; 5\backslash cdot\; \backslash left(2\; -\backslash frac\{5\backslash cdot\; 5\}\{8\}\backslash right)\backslash cdot\backslash left(1-\backslash frac\{5\}\{8\}\backslash right)^\{2\}\backslash approx-2\{,\}769=m$

Für die Tangente gilt:

$t:y=m\cdot x+b\Rightarrow y=-\mathrm{2,769}\cdot x+bt:y=m\backslash cdot\; x+b\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;y=-2\{,\}769\backslash cdot\; x+b$

Für $x=5x=5$ ist $l_{\mathrm{1,75};8}(5)\approx \mathrm{4,614}\Rightarrow \mathrm{4,614}=-\mathrm{2,769}\cdot 5+b\Rightarrow b\approx \mathrm{18,459}l\_\{1\{,\}75\; ;\; 8\}(5)\backslash approx\; 4\{,\}614\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;4\{,\}614=-2\{,\}769\backslash cdot\; 5+b\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;b\backslash approx18\{,\}459$

$t:y=-\mathrm{2,769}\cdot x+\mathrm{18,459}t:\; y=-2\{,\}769\backslash cdot\; x+18\{,\}459$

Die x-Achse wird bei $x={\displaystyle \frac{\mathrm{18,459}}{\mathrm{2,769}}}\approx \mathrm{6,667}x=\backslash dfrac\{18\{,\}459\}\{2\{,\}769\}\backslash approx6\{,\}667$ geschnitten.

06:00 Uhr plus 6 Stunden und 40 Minuten ergibt 12:40 Uhr.

Die Rechnung bestätigt, dass sich der Stau gegen 12:40 Uhr aufgelöst haben wird.