A2

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5$ und $g(x)=-3\cdot x+5$.

Setze $f(x)=g(x)$ und löse die Gleichung.

Löse die Gleichung ${\displaystyle \frac{1}{2}}x\cdot (x^2-6x+9)=0$ mit dem Satz vom Nullprodukt.

$\Rightarrow x=0\vee x^2-6x+9=0$

Die quadratische Gleichung kann mit einer binomischen Formel geschrieben werden:

$x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3$

Die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen, sind $x=0$ oder $x=3$.

Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$

Gegeben sind $P(3|f(3))$, $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5$ und $g(x)=-3\cdot x+5$.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot x^2-6\cdot x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Berechne $f^{\prime }(3)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 3^2-6\cdot 3+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{27}{2}}-18+{\displaystyle \frac{3}{2}}=-3=m_g$

Der Graph von $g$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $P$ haben diese Gerade und der Graph von $f$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt $P$.

Gib die Wertemenge von $f$ an

Der kleinste Funktionswert ist $f(0)=e^0=1$.

$\Rightarrow$Wertemenge: $y\in ℝ,y\ge 1$.

Bestimme die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt

Bekannt ist: Für die erste Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ von $f$ gilt $f^{\prime }(x)=2x\cdot f(x)$.

Die Graphen von $f$ und $f^{\prime }$ schneiden sich in einem Punkt.

Setze $f(x)=f^{\prime }(x)\Rightarrow f(x)=2x\cdot f(x)\stackrel{\stackrel{}{f(x)\ne 0}}{\to }1=2x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}.$

Die Steigung des Graphen von $f$ in dem Punkt $\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right|f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right))$ist dann:

$f^{\prime }(\frac{1}{2})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot f(\frac{1}{2})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\mathrm{e}}^{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}$.

Die Steigung im Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $f^{\prime }$ ist ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}$.

Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist

Da $f^{\prime }$ an der Stelle $x_3$ ein Minimum hat (und $f^{\prime }$ nicht konstant sein kann, da $f$ laut Aufgabenstellung keine lineare Funktion ist), ist der Grad von $f^{\prime }$ mindestens $2$ und damit der Grad von $f$ mindestens $3$.

Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f$

Bekannt ist:

• $f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.$\Rightarrow$ der Graph von $f$ schneidet bei $x_1$ die $x$-Achse.

• Es gilt $f^{\prime }\left(x_2\right)=0$ und $f^{\prime \prime }\left(x_2\right)\ne 0$.$\Rightarrow$der Graph von $f$ hat bei $x_2$ ein Extremum.

• $f^{\prime }$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$.$\Rightarrow$der Graph von $f$ hat bei $x_3$ einen Wendepunkt.

Mögliche Lösung:

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3$ hat

Bekannt ist: Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

Berechne das Integral $${\displaystyle {\int }_0^{2a}f(x)\mathrm{d}x={[-\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2]}_0^{2a}=-\frac{8}{3}{a}^3+4a^3=\frac{4}{3}{a}^3}$$.

Damit hat das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3$.

Bestimmen Sie den Wert von $a$

Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3$.

Weiterhin ist $f(x)=-x^2+2ax$ und die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

Aufgrund der Symmetrie einer Parabel liegt die Maximalstelle von $f$ genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, d.h. an der Stelle $x=a$.

Berechne $y_{HP}=f(a)=-a^2+2\cdot a\cdot a=a^2$ $\Rightarrow$ $HP(a|a^2)$ ist der Hochpunkt des Graphen von $f$.

Eine Quadratseite hat also die Länge $a^2$ und der Flächeninhalt des Quadrates ist dann $(a^2{)}^2$.

Demnach gilt für $a>1$:

$\frac{4}{3}{a}^3=(a^2{)}^2=a^4\Rightarrow a={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Der Wert von $a$ ist ${\displaystyle \frac{4}{3}}$.

Berechne $p$ und $n$

Gegeben sind $\mu =n\cdot p=60$ und $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=6$

$\Rightarrow \sqrt{60\cdot (1-p)}=6\iff 60\cdot (1-p)=36$

$\Rightarrow 1-p={\displaystyle \frac{36}{60}}=\mathrm{0,6}\Rightarrow p=\mathrm{0,4}$

Dann folgt:

$n={\displaystyle \frac{60}{p}}={\displaystyle \frac{60}{\mathrm{0,4}}}=150$

Die Werte sind $n=150$ und $p=\mathrm{0,4}$.

(i) Gib einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau $60$-mal eine schwarze Kugel gezogen wird

Gegeben sind $p_{\text{schwarz}}=\mathrm{0,4}$, $n=150$ und $k=60$.

Es ist $P_{150;\mathrm{0,4}}(X=60)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{150}{60}\right)\cdot {\mathrm{0,4}}^{60}\cdot {\mathrm{0,6}}^{90}$.

(ii) Beschreibe ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von${\mathrm{0,4}}^5\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{145}{55}\right)\cdot {\mathrm{0,4}}^{55}\cdot {\mathrm{0,6}}^{90}$

Beispiel: Von den $150$ gezogenen Kugeln sind die ersten fünf schwarz. Von den weiteren $145$ gezogenen Kugeln sind genau $55$ schwarz.

(i) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X\le 2)$

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx \mathrm{0,03}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,23}=\mathrm{0,38}$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X\le 2)$ beträgt näherungsweise $\mathrm{0,38}$.

(ii) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$

Es gilt:

$P(X\ge 4)\approx \mathrm{0,35}$.

Dann ist $P(X\le 3)=1-P(X\ge 4)=1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}$.

Man erhält dann:

$P(X=3)=P(X\le 3)-P(X\le 2)=\mathrm{0,65}-\mathrm{0,38}=\mathrm{0,27}$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$ beträgt näherungsweise $\mathrm{0,27}$.

Ordne den Histogrammen I bis III die passenden Werte von $n$ und $p$ zu und begründe Deine Zuordnung

Gegeben sind $n=10$ und die Wahrscheinlichkeiten $p_1=\mathrm{0,2}$ und $p_2=\mathrm{0,4}$, sowie $n=40$ und $p_3=\mathrm{0,1}$.

Der Erwartungswert ist $\mu =n\cdot p$.

Dann folgt:

${\mu }_1=n\cdot p_1=10\cdot \mathrm{0,2}=2$

Bei Abbildung 4-2 ist $\mu =2$, d.h. $p_1=\mathrm{0,2}$ gehört zu Histogramm II.

Nun müssen noch die Histogramme I und III zugeordnet werden.

Es gilt: ${\mu }_2=n\cdot p_2=10\cdot \mathrm{0,4}=4$ und ${\mu }_3=n\cdot p_3=40\cdot \mathrm{0,1}=4$

Die beiden Erwartungswerte ${\mu }_2$ und ${\mu }_3$ sind gleich groß, d.h. der Erwartungswert kann hier nicht zur Unterscheidung herangezogen werden. Deshalb wird als zweite Unterscheidungsmöglichkeit die Standardabweichung betrachtet.

Die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit $n=10$ und $p_2=\mathrm{0,4}$ ist kleiner als die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit $n=40$ und $p_3=\mathrm{0,1}$.

Es gilt:

$n=10;p_2=\mathrm{0,4}:\sigma =\sqrt{10\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}}=\sqrt{\mathrm{2,4}}$

$n=40;p_3=\mathrm{0,1}$ : $\sigma =\sqrt{40\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}}=\sqrt{\mathrm{3,6}}$.

Da bei Histogramm III eine kleinere Streuung vorliegt als bei Histogramm I, gehört Histogramm III zu $n=10$ und $p_2=\mathrm{0,4}$ und Histogramm I zu $n=40$ und $p_3=\mathrm{0,1}$.