Teil B: Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $ℝ$ definierten Funktion $f : t \mapsto 25 - 20 \cdot e^{- 0,014 \cdot t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f (t)$ die Wassertemperatur in $^{\circ} C$ . Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^{\circ} C$ .

(i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)
(ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} C$ beträgt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
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(i) Für GTR und CAS.
Berechne $f (0)$ .
(ii) Für GTR und CAS.
Löse die Gleichung $f (t) = 12$ .
Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:
(i) $f^{'} (30)$ (2 P)(ii) $\frac{f (30) - f (0)}{30 - 0}$ (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
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(i) Für GTR.
Betrachte den Graphen von $f (x)$ . (Beim GTR $x$ statt $t$ .)
Gib für $x$ den Wert $30$ ein.
Angezeigt wird $\frac{d Y}{d X}$ , die erste Ableitung an der Stelle $x = 30$ , also $f^{'} (30)$ .
(i) Für CAS.
Berechne $f^{'} (30)$ .
(ii) Für GTR.
Für die mittlere Änderungsrate gilt allgemein: $\frac{f (t_{2}) - f (t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$
Setze $t_{2} = 30$ und $t_{1} = 0$ ein und vereinfache.
(ii) Für CAS.
Berechne $\frac{f (30) - 5}{30}$ .
Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:
Es gibt eine Konstante $c$ , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
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Für GTR.
Berechne $f^{'} (t)$ .
Löse die Gleichung $25 - f (t) = c \cdot f^{'} (t)$ nach $t$ auf.
Für CAS.
Löse die Gleichung $25 - f (t) = c \cdot f^{'} (t)$ nach $t$ auf.
Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:
Aus $f (t) = \frac{f (0) + 25}{2}$ ergibt sich $t \approx 49,5$ .
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufgaben zum arithmetischen Mittel
Formuliere eine passende Aufgabenstellung
Berechnet wird mit $f (t) = \frac{f (0) + 25}{2}$ ein Mittelwert.
Aufgabenstellung:
Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur den Mittelwert zwischen der Ausgangstemperatur $f (0)$ und $25^{\circ} C$ annimmt.
Dieser Zeitpunkt beträgt etwa $49,5$ Minuten nach der Entnahme aus dem Kühlschrank.
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Berechnet wird mit $f (t) = \frac{f (0) + 25}{2}$ ein Mittelwert.
Aus welchen zwei Werten wird der Mittelwert gebildet?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

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