Teil B: Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto 25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f (t)$ die Wassertemperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ . Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^{\circ} \mathrm{C}$ .

(i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)
(ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
(i) Für GTR und CAS.
Berechne $f (0)$ .
(ii) Für GTR und CAS.
Löse die Gleichung $f (t) = 12$ .
Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:
(i) $f^{\prime}(30)$ (2 P) $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ (ii) $\dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}$ (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
(i) Für GTR.
Betrachte den Graphen von $f (x)$ . (Beim GTR $x$ statt $t$ .)
Gib für $x$ den Wert $30$ ein.
Angezeigt wird $\mathrm{\dfrac{dY}{dX}}$ , die erste Ableitung an der Stelle $x = 30$ , also $f^{'} (30)$ .
(i) Für CAS.
Berechne $f^{'} (30)$ .
(ii) Für GTR.
Für die mittlere Änderungsrate gilt allgemein: $\dfrac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}$
Setze $t_{2} = 30$ und $t_{1} = 0$ ein und vereinfache.
(ii) Für CAS.
Berechne $\dfrac{f(30)-5}{30}$ .
Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:
Es gibt eine Konstante $c$ , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Für GTR.
Berechne $f^{'} (t)$ .
Löse die Gleichung $25-f(t)=c\cdot f'(t)$ nach $t$ auf.
Für CAS.
Löse die Gleichung $25-f(t)=c\cdot f'(t)$ nach $t$ auf.
Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:
Aus $f(t)=\frac{f(0)+25}{2}$ ergibt sich $t \approx 49{,}5$ .
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufgaben zum arithmetischen Mittel
Formuliere eine passende Aufgabenstellung
Berechnet wird mit $f(t)=\frac{f(0)+25}{2}$ ein Mittelwert.
Aufgabenstellung:
Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur den Mittelwert zwischen der Ausgangstemperatur $f (0)$ und $25^{\circ} \mathrm{C}$ annimmt.
Dieser Zeitpunkt beträgt etwa $49,5$ Minuten nach der Entnahme aus dem Kühlschrank.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Berechnet wird mit $f(t)=\frac{f(0)+25}{2}$ ein Mittelwert.
Aus welchen zwei Werten wird der Mittelwert gebildet?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Formuliere eine passende Aufgabenstellung

Hast du eine Frage oder Feedback?