Wie Dinge ihren Preis bekommen

Alleine im Markt (Monopolpreis)

Wenn man alleine auf dem Markt ist, kann man den Preis nicht einfach beliebig festlegen.

Wenn der Preis zu niedrig ist, macht man Verlust, weil die Herstellung teurer ist, als das Geld, das man dafür bekommt. Ist der Preis jedoch zu hoch, kauft vermutlich niemand das Produkt. Unser Ziel ist es, möglichst viele Produkte zu einem möglichst hohen Preis zu verkaufen, um den Gewinn zu maximieren. (Das nennt man den Cournot-Preispunkt berechnen)

Schauen wir uns dafür ein Beispiel an: Bei der Schultheateraufführung wollen wir Muffins verkaufen. Wir sind der einzige Stand, der Muffins anbietet – wir haben also den gesamten Markt (das nennt man ein Monopol). Jetzt stellt sich die Frage: Wie viele Muffins sollen wir herstellen, und wie viel Geld sollen wir dafür verlangen?

Zuerst überlegen wir, wie teuer es ist, Muffins herzustellen. Das hängt davon ab, wie viele Muffins wir machen wollen, denn je mehr wir herstellen, desto mehr Zutaten brauchen wir.

Zum Beispiel:

• Für 5 Muffins brauchen wir Zutaten im Wert von 6€.

• Für 10 Muffins benötigen wir Zutaten für 12€.

• Für 15 Muffins kosten die Zutaten 18€.

• ...

Wir könnten eine Kostenfunktion $K(x)K(x)$ aufstellen, um zu zeigen, wie viel es kostet, eine bestimmte Anzahl $xx$ von Muffins herzustellen. Die Funktion zum Beispiel würde so aussehen:

$K(x)=\frac{6}{5}xK(x)=\backslash frac\{\; 6\; \}\{\; 5\; \}\; x$

Das bedeutet, dass jeder Muffin etwa $\frac{6}{5}\backslash frac\{6\}\{5\}$​€ kostet, also $\mathrm{1,20}1\{,\}20$€. Natürlich ist das eine vereinfachte Rechnung, denn in der Realität können wir nicht jede beliebige Anzahl von Muffins herstellen – dazu kommen wir später noch zurück.

Jetzt wird es knifflig: Wie viele Muffins werden überhaupt gekauft? Je teurer der Preis, desto weniger Menschen kaufen Muffins. Je günstiger sie sind, desto mehr wollen die Leute kaufen. Das bedeutet, dass wir eine Nachfragefunktion brauchen, um die Beziehung zwischen Preis $pp$ und der Anzahl der verkauften Muffins $N(p)N(p)$ darzustellen. Zum Beispiel könnte die Nachfragefunktion so aussehen:

$N(p)=200-p\cdot 40N(p)=\; 200\; -\; p\; \backslash cdot\; 40$

Was zeigt diese Funktion?

• $N(p)N(p)$: Die Anzahl der Muffins, die verkauft werden.

• $pp$: Der Preis pro Muffin in Euro.

• Wenn die Muffins kostenlos wären ($p=0p=0$), würde jeder der $100100$ Zuschauer sich mit $22$ Muffins satt essen. Dann wären$N(0)=200 N(0)=200$

• Wenn ein Muffin $55$€ kostet ($p=5p=5$), kauft niemand einen Muffin. Dann wäre $N(5)=0N(5)=0$.

Das klingt logisch, oder? Aber Achtung: Es ist schwer, die tatsächliche Nachfragefunktion genau abzuschätzen. Würde jeder genau zwei kostenlose Muffins essen? Würde wirklich niemand einen Muffin für 6€ kaufen? Oder sind manche Leute bereit, mehr zu zahlen? Außerdem ist eine lineare Funktion vielleicht nicht die beste Annahme, aber für unser Beispiel machen wir es uns erst einmal einfach.

Angenommen, wir wissen, dass die Nachfragefunktion $N(p)=200-p\cdot 40N(p)=\; 200\; -\; p\; \backslash cdot\; 40$ gilt.

Wenn wir genau so viele Muffins herstellen, wie gekauft werden ($x=N(p)x=N(p)$), bleibt kein Muffin übrig. Doch wie viele Muffins müssen wir machen, wenn wir den Preis noch nicht kennen?

Dazu drehen wir die Funktion um: Statt $N(p)N(p)$ (Nachfrage in Abhängigkeit vom Preis) suchen wir $p(x)p(x)$ (den Preis in Abhängigkeit von der Anzahl der Muffins).

Mit dem Preis in Abhängigkeit von der Anzahl der Muffins $p(x)=5-\frac{x}{40}p(x)=5-\backslash frac\{x\}\{40\}$ und den Kosten in Abhängigkeit von der Anzahl der Muffins $K(x)=\frac{6}{5}\cdot xK(x)=\backslash frac\{6\}\{5\}\cdot x$ wissen wir jetzt alles, was wir brauchen – zumindest, wenn wir die Anzahl der Muffins $xx$ kennen würden. Dann könnten wir auch unseren Gewinn berechnen.

Wie berechnen wir den Gewinn? Der Gewinn ist das, was übrig bleibt, wenn wir von unseren Einnahmen die Kosten abziehen. Die Einnahmen ergeben sich aus dem Preis $p(x)p(x)$, den wir für jeden Muffin verlangen, multipliziert mit der Anzahl der verkauften Muffins $xx$. Die Kosten kennen wir bereits durch$K(x) K(x)$. Die Gewinnfunktion $G(x)G(x)$ lautet also:

Die Gewinnfunktion $G(x)G(x)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das bedeutet, dass sie genau ein Maximum hat. Dieses Maximum zeigt uns, wie viele Muffins $xx$ wir herstellen und verkaufen müssen, um unseren Gewinn zu maximieren.

Das Maximum können wir entweder über die Formel zum Scheitelpunkt der Parabel oder über die Ableitung der Funktion bestimmen.

Das Maximum der Gewinnfunktion liegt bei $7676$ Muffins. Wir können aber keine $7676$ Muffins verkaufen, da wir ja ursprünglich gesagt haben, dass die Zutaten immer in 5er-Schritten gekauft werden. Das bedeutet, dass die beste Menge, die wir herstellen können, entweder $7575$ oder $8080$ Muffins ist. Beide Mengen liegen nahe am theoretischen Maximum von $7676$ Muffins.

Berechnen wir den Gewinn für beide Mengen: $G(75)=\mathrm{144,38}G(75)=144\{,\}38$ und $G(80)=144G(80)=144$

Man merkt, dass es fast keinen Unterschied macht, ob wir $7575$ oder $8080$ Muffins verkaufen.

Der Preis pro Muffin wäre: $p(75)=\mathrm{3,13}p(75)=3\{,\}13$ und $p(80)=\mathrm{3,00}p(80)=3\{,\}00$.

Ich würde mich in diesem Fall für $8080$ Muffins entscheiden. Da ein Verkaufspreis von $\mathrm{3,13}3\{,\}13$€ sehr künstlich wirkt.

Dieses kleine Beispiel zeigt, dass es trotz einfacher Rechnungen gar nicht so leicht ist, den optimalen Preis festzulegen. Der Preis hängt stark von den geschätzten Funktionen $K(x)K(x)$ (Kosten) und $N(p)N(p)$ bzw. $p(x)p(x)$ (Nachfrage) ab. Besonders die Nachfragefunktion ist oft schwer vorherzusagen.

Zu zweit auf dem Markt (Oligopolpreisbildung)

Nun schauen wir uns ein einfaches Beispiel an, um zu verstehen, wie sich in einem Modell mit der Kostenfunktion $K(x)K(x)$ und der Nachfragefunktion $N(p)N(p)$ der Preis zweier Konkurrenten bildet. Dieses Modell zeigt, wie sich ein sogenanntes Cournot-Nash-Gleichgewicht herausbildet.

Stellen wir uns vor, zwei Klassen (Klasse A und Klasse B) verkaufen Kinderpunsch auf einem Weihnachtsbasar. Beide Klassen möchten ihren Gewinn maximieren – sie denken dabei nicht an den Gesamtgewinn der Schule und es ist ihnen egal, ob sie mehr verkaufen als die andere Klasse. Nun wollen sie einen gemeinsamen Preis festlegen um zu verhindern, dass alle Kunden nur zum niedrigeren Anbieter gehen.

Die Klassen haben jedoch leicht unterschiedliche Voraussetzungen:

• Klasse A hat günstigere Zutaten und daher geringere Kosten.

• Klasse B hat etwas höhere Kosten für die Herstellung.

Wir gehen außerdem davon aus, dass beide Klassen die gewünschte Menge an Kinderpunsch gleich effizient herstellen können. Anders als im Muffin-Beispiel gibt es hier keine Einschränkung durch feste Produktionsmengen – jede Klasse kann jede beliebige Menge herstellen.

Für die beiden Klassen vermuten wir die folgenden Kostenfunktionen:

Um die Funktionen besser unterscheiden zu können, haben wir Indizes für die beiden Klassen hinzugefügt: $aa$ für Klasse A und $bb$ für Klasse B. Auch die verkauften Mengen sind unterschiedlich und werden entsprechend mit $x_{a}x\_a$ und $x_{b}x\_b$ ​gekennzeichnet.

Die Nachfragefunktion ist jedoch für beide Klassen gleich – sie beschreibt, wie viele Becher Kinderpunsch insgesamt von den Besuchern gekauft werden.

Wir nehmen an:

• die Nachfrage Funktion $N(x)N(x)$ ist eine Lineare Funktion

• Wenn der Punsch kostenlos wären ($p=0p=0$), würde jeder der 800 Besucher einen Punsch trinken. Dann wären$N(0)=800 N(0)=800$

• Niemand trink einen Punsch für 4€ also  $N(4)=0N(4)=0$

So ergibt sich die Nachfragefunktion $N(p)=800-200\cdot pN(p)=\; 800-200\; \backslash cdot\; p$

Wenn wir davon ausgehen, dass die gesamte Nachfrage gedeckt wird ($N=xN=x$), können wir, wie zuvor, den Preis pro verkauftem Becher $xx$ berechnen. Die Funktion für den Preis lautet: $p(x)=4-\frac{x}{200}p(x)=4-\backslash frac\{x\}\{200\}$

In der Nachfragefunktion hat $xx$ keinen Index, weil es bei der Preisbildung nur darum geht, wie viele Becher insgesamt verkauft werden – es spielt keine Rolle, welche Klasse wie viele Becher verkauft. Die Gesamtmenge ist also: $x=x_a+x_{b}x=x\_a+x\_b$

Mit der Preisfunktion $p(x)p(x)$ können die Klassen ihren Gewinn in Abhängigkeit von der verkauften Menge beider Klassen berechnen. Für die Klasse a ergibt sich:

Analog:

Da der Preis eines Bechers von der gesamtverkauften Menge an Bechern abhängt, ist der Gewinn einer Klasse auch vom Verkauf der anderen Klasse abhängig. Jede Klasse muss also die Mengewahl der anderen Klasse berücksichtigen, wenn sie ihre eigene Verkaufsmenge bestimmt.

Für die andere Klasse ergibt sich der Gewinn entsprechend analog. Das bedeutet, dass auch der Gewinn der anderen Klasse davon abhängt, wie viel die erste Klasse verkauft und wie sich dadurch der Preis verändert.

Da Klasse A die Mengenwahl der anderen Klasse (Klasse B, $x_{b}x\_b$​) nicht direkt festlegen kann, kann sie ihren Gewinn nur maximieren, wenn sie die Wahl der anderen Klasse kennt. Sie kann jedoch eine Beste-Antwort-Funktion berechnen, die beschreibt, wie sie reagieren würde, wenn sie die Menge $x_{b}x\_b$​ der anderen Klasse kennt. Also $x_a(x_b)x\_a(x\_b)$

Angenommen, $x_{b}x\_b$​ ist eine feste Zahl (also die Menge, die Klasse B verkauft, ist bekannt und fest), dann können wir, wie bereits früher, den Gewinn von Klasse A ableiten und das Maximum finden.

Analog:

Geht man nun davon aus das beide die beste Antwort Funktion des jeweils anderen kennen kann man diese für sein unbekanntes $x_{b}x\_b$ einsetzen und seine Menge ausrechen.

Klasse A sollte dementsprechend $247247$ Tassen Punsch verkaufen. Klasse b $x_b(247)\approx 157x\_b(247)\backslash approx\; 157$

zu einem gemeinsamen Preis von $p(247+157)=4-\frac{247+157}{200}=\mathrm{1,98}p(247+157)=4-\backslash frac\{247+157\}\{200\}\; =\; 1\{,\}98$

Wie kann man sich das grafisch vorstellen?

Die Arbeit mit Funktionen wie  $G_a(x_a,x_b)G\_a(x\_a,x\_b)$, die von mehreren Variablen abhängen, kann oft sehr rechenintensiv und wenig anschaulich sein. Das liegt daran, dass der Gewinn von Klasse A sowohl von ihrer eigenen Verkaufsmenge ($x_{a}x\_a$​) als auch von der Verkaufsmenge der anderen Klasse ($x_{b}x\_b$​) abhängt. Wir haben jedoch bereits rechnerisch festgestellt, dass die Gewinnfunktion für $x_{a}x\_a$​ eine Parabel ist, wenn $x_{b}x\_b$​ als fest angenommen wird.

Anschauliche Vorstellung mit einem 3D-Plot

• X-Achse: Die Verkaufsmenge von Klasse A ($x_{a}x\_a$​)

• Y-Achse: Die Verkaufsmenge von Klasse B ($x_{b}x\_b$​)

• Z-Achse: Der Gewinn ($G_{a}G\_a$ oder $G_{b}G\_b$​), abhängig von beiden Mengen.

Wenn du den Regler für $x_{b}x\_b$​ verschiebst (also die Verkaufsmenge der Klasse B veränderst), siehst du, wie sich die Gewinn-Parabel von Klasse A verändert.

Die Parabel verschiebt sich nach hinten (entlang der $x_{b}x\_b$​-Achse). Wenn Klasse B zu viel Punsch verkauft, kann Klasse A keinen Gewinn mehr machen, da die gesamte Parabel unter null rutscht.

Beobachtungen:

• Für jede Position von $x_{b}x\_b$​ hat die Gewinnfunktion von Klasse A genau ein Maximum. Dieses Maximum beschreibt, welche Menge $x_{a}x\_a$​ Klasse A wählen sollte, um ihren Gewinn zu maximieren, wenn $x_{b}x\_b$​ fest ist.

• Mit gl1  kannst du diese Maxima für Klasse A grafisch darstellen.

• Die Gewinnfunktion kannst du dir mit$G_a(x_a,x_b) G\_a(x\_a,x\_b)$ für Klasse A und $G_b(x_a,x_b)G\_b(x\_a,x\_b)$für Klasse B in einem 3D-Plot platten.

• Für Klasse B ergibt sich gl2 als Position der Maxima in $G_{b}G\_b$.

Die Rolle des Monopols:

• In den 3D-Plots fällt auf, dass der Gewinn für jede Klasse am höchsten ist, wenn die andere Klasse nichts verkauft. Das liegt daran, dass jede Klasse in diesem Fall ein Monopol hat.

• Es fällt zudem auf, dass der Gewinn für Klasse A hier höher ist, da dieser billiger Punsch produzieren.

Cournot-Nash-Gleichgewicht:

Die beiden Linien der Maxima (eine für Klasse A und eine für Klasse B) schneiden sich nicht direkt im 3D-Raum. Das Cournot-Nash-Gleichgewicht wird sichtbar, wenn man von oben auf den Plot schaut. Die beiden Maxima-Linien schneiden sich in einem Punkt, der die optimalen Verkaufszahlen für beide Klassen darstellt. Die Z-Werte (Gewinn) der Klassen im Gleichgewicht unterscheiden sich, weil Klasse A aufgrund ihrer geringeren Produktionskosten mehr Gewinn macht als Klasse B.

Die Bezeichnung Cournot-Nash-Gleichgewicht kommt daher, dass keine der beiden Klassen die produzierte Menge ändern kann, ohne Verluste zu machen, da in der besten Antwort-Funktion jeweils wechselseitig die perfekte Reaktion auf die Mengenwahl der anderen Klassen gemacht wurde. Genau wie bei einem Nashgleichgewicht.

Mit vielen auf dem Markt (Polypol)

Im Folgenden werden wir das Modell auf ein Beispiel mit vielen Teilnehmern (n Teilnehmer) anpassen. Um das Beispiel zu vereinfachen, nehmen wir an, dass jeder Teilnehmer die gleichen Kosten hat.

Letztes Jahr auf dem Weihnachtsmarkt waren Mandarinen unerwartet der große Renner. Eine Klasse hat damit geprahlt, diese für 50 Cent gekauft und für 2 Euro verkauft zu haben. Da man ja nichts weiter tun muss, als Mandarinen zu kaufen und weiterzuverkaufen, ist das sehr einfach verdientes Geld – vor allem im Vergleich zu Muffins oder Kinderpunsch. Dieses Jahr wollen gleich sechs Klassen Mandarinen verkaufen. Die Frage ist: Wie viele kaufen sie ein und wie viel verlangen sie?

Alle Klassen wollen sich auf einen gemeinsamen Preis $pp$ einigen, mit dem sie den Gewinn ihrer eigenen Klasse (nicht der gesamten Schule) maximieren können.

Ihnen ist klar, dass sie dann auch die gleiche Menge $x_{n}x\_n$ verkaufen müssen, da sie alle die gleichen Kosten von 50 Cent pro Mandarine haben.

Außerdem sind sich alle einig, dass sich aus den Erzählungen der prahlenden Klasse folgende Nachfragefunktion herleiten lässt. (Wie zuvor erwähnt, ist die tatsächliche Nachfragefunktion sehr schwer zu schätzen.)

$N(p)=1200-300pN(p)=1200-300\backslash \; p$

Insgesamt müssen alle Klassen zusammen so viele Mandarinen einkaufen, dass die Nachfrage genau gedeckt wird, also $N(p)=x\left(p\right)N(p)=x\backslash left(p\backslash right)$ . Durch das Umstellen der Funktion ergibt sich der Preis pro Menge: 

Die Anzahl der insgesamt verkauften Mandarinen verteilt sich gleichmäßig auf alle sechs Klassen. Somit gilt:

$x=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_{6}x=x\_1+x\_2+x\_3+x\_4+x\_5+x\_6$ und $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_{6}x\_1=x\_2=x\_3=x\_4=x\_5=x\_6$

Damit ergibt sich für die Gewinnfunktion einer einzelnen Klasse:

Jetzt müssen wir mathematisch sehr aufpassen!Wenn wir den Gewinn einer einzelnen Klasse maximieren wollen, müssen wir zunächst den Preis der anderen Klassen als fest annehmen.Wir können nicht einfach die Funktion $G(x_n)=\frac{7}{2}{x}_n-\frac{x_n^2}{50}G(x\_n)=\backslash frac\{7\}\{2\}x\_n-\backslash frac\{x\_n^2\}\{50\}$ nach $x_{n}x\_n$ ableiten. Denn in dieser Formel stehen einige der $x_{n}x\_n$ für die anderen Klassen. Wenn wir einfach ableiten, variieren wir gleichzeitig die Preise aller Klassen – das ist nicht das, was wir wollen! Stattdessen müssen wir uns eine einzelne Klasse anschauen und überlegen, wie diese ihren Preis anpassen kann, um ihren eigenen Gewinn zu maximieren.

Wir müssen für die Optimierung zunächst annehmen, dass die Menge der anderen Spieler konstant und bekannt ist. Dann können wir – analog zum Spiel mit zwei Spielern – die Menge berechnen, mit der eine einzelne Klasse ihren Gewinn maximiert. Fangen wir damit an, die Menge der anderen Klassen zusammenzufassen. Betrachten wir Klasse 1 mit $x_1\text{}x\_1$ und fassen die Mengen der anderen Klassen zusammen als: $x_a=x_2+x_3+x_4+x_5+x_{6}x\_a=x\_2+x\_3+x\_4+x\_5+x\_6$

Der Gewinn von einer Klasse ist somit:

Finden wir nun die Beste-Antwort-Funktion einer Klasse auf die Gesamtanzahl der von den anderen Klassen verkauften Mandarinen.

Analog zum Spiel mit zwei Spielern haben wir die Beste-Antwort-Funktion gefunden. Mit ihr können wir die optimale Menge an Mandarinen berechnen, sofern wir wissen, wie viele Mandarinen die anderen Klassen verkaufen.

Um die von den anderen Klassen verkaufte Menge abzuschätzen, nutzen wir die Grundvoraussetzung, dass alle Klassen die gleichen Bedingungen haben. Das bedeutet, dass am Ende alle Klassen die gleiche Anzahl an Mandarinen verkaufen. Daher gilt: $x_a=x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=5\cdot x_{1}x\_a=x\_2+x\_3+x\_4+x\_5+x\_6=5\backslash cdot\; x\_1$

Und somit:

Wenn jede der $66$ Klassen genau $150150$ Mandarinen verkauft, wäre es für eine einzelne Klasse nicht sinnvoll abzuweichen – wir haben ein Cournot-Nash-Gleichgewicht.

Der Preis für eine Mandarine wäre dann: $p(6\cdot 150)=1p(6\; \backslash cdot\; 150)\; =\; 1$, also genau$1 1$ Euro.

Jede Klasse würde damit genau $G(150)=75\text{€}G(150)\; =\; 75\; €$ Gewinn machen.

Da sich schnell herumspricht, dass sechs Klassen über $50\text{€}50\; €$ Gewinn nur mit Mandarinen machen, überlegen immer mehr Klassen, ebenfalls Mandarinen anzubieten. Berechnen wir nun, wie sich der Gewinn einer einzelnen Klasse verändert, wenn $nn$ Klassen Mandarinen verkaufen.

Wir gehen wie zuvor davon aus, dass die Nachfrage nach Mandarinen allen Klassen bekannt ist und dass jede Klasse genau weiß, wie viele Mandarinen die anderen Klassen verkaufen. Außerdem nehmen wir an, dass jede Klasse mathematisch korrekt ihren eigenen Gewinn maximiert.

Die Nachfrage-Funktion und Beste-Antwort-Funktion ändern sich nicht mit der Anzahl der Klassen. So gilt nach wie vor:

$x_1=525-\frac{x_a}{2}x\_1=525-\backslash frac\{x\_a\}\{2\}$

Nur verändert sich die Anzahl der von anderen Klassen verkauften Mandarinen, wenn mehr Klassen Mandarinen verkaufen. Aufgrund der gleichen Grundvoraussetzungen gilt jedoch nach wie vor, dass alle Klassen gleich viele Mandarinen verkaufen sollten:

$x_1=x_2=\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}x\_1=x\_2=...$ und dementsprechend: $x_a=x_2+x_3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}=(n-1)x_{1}x\_a=x\_2+x\_3+...=(n-1)x\_1$

Setzen wir ein:

Damit können wir den Gewinn jeder Klasse in Abhängigkeit von n berechnen.

Der zu erwartende Gewinn einer einzelnen Klasse sinkt also stark, wenn mehr Klassen Mandarinen verkaufen.

Tatsächlich verringert sich auch der Gesamtgewinn aller Klassen zusammen.

Hier lohnt sich Zusammenarbeit besonders! Das zeigt sich deutlich im Beispiel mit den sechs Klassen: Wenn sie sich zusammentun (also ein Kartell bilden) und gemeinsam wie ein Monopol auftreten – indem jede Klasse genau ein Sechstel der Monopolmenge verkauft – macht jede von ihnen mehr als doppelt so viel Gewinn wie im Konkurrenzkampf.

Das lässt sich auch gut allgemein an der Formel erkennen:

$G(1)G(1)$ Der Gewinn eines Monopols

$G(n)G(n)$ Der Gewinn eines einzelnen von n Unternehmen im Wettbewerb

$G(1)\mathrm{/}n>G(n)G(1)/n>G(n)$

Zusammenarbeit lohnt sich!!