Ermittle die Wendestelle

Gegeben ist $h_a(x)=10\cdot (x-a)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}h\_\{a\}(x)=10\; \backslash cdot(x-a)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}$.

Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist $h_a^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0h\_a\text{'}\text{'}(x)=0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel zunächst die 1. Ableitung:

$h_a^{\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot (1\cdot e^{-x}+(x-a)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (-x+a+1)\cdot e^{-x}h\_a\text{'}(x)=10\backslash cdot(1\backslash cdot\; e^\{-x\}+(x-a)\backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash cdot\; (-1))=10\backslash cdot(-x+a+1)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:

$h_a^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot ((-1)\cdot e^{-x}+(-x+a+1)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (x-a-2)\cdot e^{-x}h\_a\text{'}\text{'}(x)=10\backslash cdot\backslash left((-1)\backslash cdot\; e^\{-x\}+(-x+a+1)\backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash cdot\; (-1)\backslash right)=10\backslash cdot(x-a-2)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

$h_a^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 0=10\cdot (x-a-2)\cdot e^{-x}h\_a\text{'}\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=10\backslash cdot(x-a-2)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

Weil ${\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\ne }0\backslash mathrm\{e\}^\{-x\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$x-a-2=0\Rightarrow x=a+2x-a-2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=a+2$

Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich, d.h. man erhält genau eine Wendestelle an der Stelle $x=a+2x=a+2$.

Leite einen Term für den Flächeninhalt $A_{D}A\_\{D\}$ des Dreiecks her

Bestimme die Schnittpunkte von $t_{a}t\_a$ mit den Koordinatenachsen:

• Schnitt mit der y-Achse: $x=0\Rightarrow y=-10\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2}\cdot 0+10(a+4)\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2}=10(a+4)\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2}x=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;y=-10\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}\; \backslash cdot\; 0+10(a+4)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}=10(a+4)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}$

$\Rightarrow S_y(0\mathrm{\mid }10(a+4)\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2})\backslash Rightarrow\backslash ;S\_y\backslash left(0|10(a+4)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}\backslash right)$

• Schnitt mit der x-Achse:

$y=0\Rightarrow 0=-10\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2}\cdot x+10(a+4)\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2}y=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=-10\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}\; \backslash cdot\; x+10(a+4)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}$

$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\cancel{10}(a+4)\cdot \cancel{{\mathrm{e}}^{-a-2}}}{\cancel{10}\cdot \cancel{{\mathrm{e}}^{-a-2}}}}=a+4\backslash Rightarrow\backslash ;x=\backslash dfrac\{\backslash cancel\{10\}(a+4)\; \backslash cdot\; \backslash cancel\{\backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}\}\}\{\backslash cancel\{10\}\; \backslash cdot\; \backslash cancel\{\backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}\}\}=a+4$

$\Rightarrow S_x(a+4\mathrm{\mid }0)\backslash Rightarrow\backslash ;S\_x(a+4|0)$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks erhält man dann:

$A_D={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x\cdot y={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (a+4)\cdot (10\cdot (a+4)\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2})A\_D=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; x\backslash cdot\; y=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot(a+4)\backslash cdot\; \backslash left(10\backslash cdot(a+4)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}\backslash right)$

$A_D=5\cdot (a+4{)}^2\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2}A\_D=5\backslash cdot\; (a+4)^2\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}$

Der Term für den Flächeninhalt $A_{D}A\_\{D\}$ des Dreiecks lautet $A_D=5\cdot (a+4{)}^2\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2}A\_D=5\backslash cdot\; (a+4)^2\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}$.

Ermittle einen Wert von $aa$, für den die Dreiecksfläche die Größe $10\mathrm{F}\mathrm{E}10\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$ hat

Es ist $A_D=5\cdot (a+4{)}^2\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2}A\_D=5\backslash cdot\; (a+4)^2\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}$.

Löse die Gleichung $10=5\cdot (a+4{)}^2\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2}\Rightarrow 2=(a+4{)}^2\cdot {\mathrm{e}}^{-a-2}10=5\backslash cdot\; (a+4)^2\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;2=(a+4)^2\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-a-2\}$.

$\text{NL}\ddot{\text{o}}\text{se}(2=(a+4{)}^2\cdot e^{-a-2},a)\backslash text\{NLöse\}(2=(a+4)^\{2\}\backslash cdot\; e^\{-a-2\},a)$ mit dem Ergebnis:

$a\approx -\mathrm{4,4214}\vee a\approx -\mathrm{3,2388}\vee a\approx \mathrm{0,1559}a\backslash approx-4\{,\}4214\backslash vee\; a\backslash approx-3\{,\}2388\backslash vee\; a\backslash approx\; 0\{,\}1559$

Man erhält drei Werte für $aa$, sodass die Dreiecksfläche den Flächeninhalt $10\mathrm{F}\mathrm{E}10\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$ hat.