B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, x \in ℝ$ .

Die Funktion $f$ gehört zur Schar $h_{a}$ , die gegeben ist durch

$h_{a} (x) = 10 \cdot (x - a) \cdot e^{- x}, x \in ℝ, a \in ℝ$ .

Der Graph von $h_{a}$ besitzt genau einen Wendepunkt $W_{a}$ .

Ermitteln Sie die Wendestelle. (3 P)
$[$ Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich. $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Ermittle die Wendestelle
Gegeben ist $h_{a} (x) = 10 \cdot (x - a) \cdot e^{- x}$ .
Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist $h_{a}^{''} (x) = 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel zunächst die 1. Ableitung:
$h_{a}^{'} (x) = 10 \cdot (1 \cdot e^{- x} + (x - a) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)) = 10 \cdot (- x + a + 1) \cdot e^{- x}$
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
$h_{a}^{''} (x) = 10 \cdot ((- 1) \cdot e^{- x} + (- x + a + 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)) = 10 \cdot (x - a - 2) \cdot e^{- x}$
$h_{a}^{''} (x) = 0 \Rightarrow 0 = 10 \cdot (x - a - 2) \cdot e^{- x}$
Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$x - a - 2 = 0 \Rightarrow x = a + 2$
Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich, d.h. man erhält genau eine Wendestelle an der Stelle $x = a + 2$ .
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Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist $h_{a}^{''} (x) = 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und die 2. Ableitung.
Löse die Gleichung $h_{a}^{''} (x) = 0$ .
$t_{a}$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_{a} (a + 2 | h_{a} (a + 2))$ . Eine Gleichung für $t_{a}$ ist $y = - 10 \cdot e^{- a - 2} \cdot x + 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2}$ .
Für $a \neq - 4$ begrenzt $t_{a}$ mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Leiten Sie einen Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks her. (4 P)
$[$ Mögliche Lösung: $A_{D} (a) = 5 \cdot (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}$ $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Leite einen Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks her
Bestimme die Schnittpunkte von $t_{a}$ mit den Koordinatenachsen:
Schnitt mit der y-Achse: $x = 0 \Rightarrow y = - 10 \cdot e^{- a - 2} \cdot 0 + 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2} = 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2}$
$\Rightarrow S_{y} (0 | 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2})$
Schnitt mit der x-Achse:
$y = 0 \Rightarrow 0 = - 10 \cdot e^{- a - 2} \cdot x + 10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2}$
$\Rightarrow x = \frac{10 (a + 4) \cdot e^{- a - 2}}{10 \cdot e^{- a - 2}} = a + 4$
$\Rightarrow S_{x} (a + 4 | 0)$
Für den Flächeninhalt des Dreiecks erhält man dann:
$A_{D} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y = \frac{1}{2} \cdot (a + 4) \cdot (10 \cdot (a + 4) \cdot e^{- a - 2})$
$A_{D} = 5 \cdot (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}$
Der Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks lautet $A_{D} = 5 \cdot (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}$ .
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Bestimme die Schnittpunkte von $t_{a}$ mit den Koordinatenachsen $\Rightarrow x_{1}$ und $y_{1}$ .
Für den Flächeninhalt des Dreiecks erhält man dann $A_{D} = \frac{1}{2} \cdot x_{1} \cdot y_{1}$ .
Ermitteln Sie einen Wert von $a$ , für den die Dreiecksfläche die Größe $10 FE$ hat. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Ermittle einen Wert von $a$ , für den die Dreiecksfläche die Größe $10 FE$ hat
Es ist $A_{D} = 5 \cdot (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}$ .
Löse die Gleichung $10 = 5 \cdot (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2} \Rightarrow 2 = (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}$ .
$NLöse (2 = (a + 4)^{2} \cdot e^{- a - 2}, a)$ mit dem Ergebnis:
$a \approx - 4,4214 \lor a \approx - 3,2388 \lor a \approx 0,1559$
Man erhält drei Werte für $a$ , sodass die Dreiecksfläche den Flächeninhalt $10 FE$ hat.
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Aus Aufgabe c) $\Rightarrow A_{D}$ .
Löse mit dem CAS die Gleichung $A_{D} = 10$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Ermittle die Wendestelle

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Leite einen Term für den Flächeninhalt AD des Dreiecks her

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Ermittle einen Wert von a, für den die Dreiecksfläche die Größe 10FE hat

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Leite einen Term für den Flächeninhalt $A_{D}$ des Dreiecks her

Ermittle einen Wert von $a$ , für den die Dreiecksfläche die Größe $10 FE$ hat