Wahlteil B - lernen mit Serlo!

An einem Drachen ist eine Schnur mit vier unterschiedlich farbigen Schleifen befestigt.
- Bestimme die Anzahl der verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten der Schleifen.
In einem Karton befinden sich $150$ Schleifen. $\frac{1}{5}$ davon sind rot und $12$ sind gelb. Der Rest der Schleifen ist blau. Es wird zweimal blind ohne Zurücklegen gezogen.
- Bestimme, mit welcher prozentualen Wahrscheinlichkeit zwei blaue Schleifen gezogen werden.
Ein Drachenviereck hat einen Flächeninhalt von $1,35 m^{2}$ . Die Diagonale $e$ des Drachen ist um $20 %$ länger als die Diagonale $f$ .
- Bestimme die Längen der Diagonalen $e$ und $f$ .
[5 Pkt]
Anordnungsmöglichkeiten
Die Anzahl der Permutationen wird mit der Fakultät berechnet.
$Anzahl Anordnungsmöglichkeiten = n! = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
Es gibt $24$ Anordnungsmöglichkeiten der Schleifen.
Wahrscheinlichkeit
Anzahl roter Schleifen: $150 \cdot \frac{1}{5} = 30$
Anzahl gelber Schleifen: 12
Anzahl blauer Schleifen: $150 - 30 - 12 = 108$
Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug eine blaue Schleife zu ziehen, beträgt:
$P (1. Zug blau) = \frac{108}{150}$
Da die Schleife nach dem ersten Zug nicht zurückgelegt wird, befinden sich noch insgesamt $149$ Schleifen im Karton. Davon sind $29$ Schleifen blau.
Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug eine blaue Schleife zu ziehen, beträgt:
$P (2. Zug blau) = \frac{107}{149}$
Nach der Produktregel wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, zweimal blaue Schleifen zu ziehen.
$P (2 blaue Schleifen) = \frac{108}{150} \cdot \frac{107}{149} \approx 0,517 \hat{=} 51,7 %$
Drachenviereck
Die Diagonale $e$ ist um $20 %$ länger als die Diagonale $f$ .
Ihre Länge beträgt
$e = 1,2 \cdot f$
Die Länge der Diagonale $f$ kann jetzt über die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts bestimmt werden.
Flächeninhalt eines Drachenvierecks
↓
$A$ $=$ $\frac{e \cdot f}{2}$
$A$ $=$ $\frac{1,2 \cdot f \cdot f}{2}$
$A$ $=$ $\frac{1,2 \cdot f^{2}}{2}$
↓
bekannten Wert einsetzen
$1,35$ $=$ $0,6 \cdot f^{2}$ $: 0,6$
$2,25$ $=$ $f^{2}$ $\sqrt{}$
$1,5$ $=$ $f$
Länge der Diagonalen $e$
$e = 1,2 \cdot f$
$e = 1,2 \cdot 1,5 = 1,8$
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Lisa möchte ihr E-Bike (Neupreis: $2500,00 €$ ) nach drei Jahren verkaufen. Im Internet liest sie, dass ein E-Bike im ersten Jahr $25 %$ und in den folgenden Jahren jeweils $10 %$ an Wert verliert.
- Bestimme, wie viel Euro das E-Bike nach drei Jahren noch wert ist.
- Bestimme jeweils den Wertverlust pro Jahr.
- Erkläre, warum der Wertverlust in Euro jedes Jahr weniger wird.
Gegeben ist der Halbkreis über $A B$ mit dem Mittelpunkt $M$ .
Es gilt: $α = 50^{\circ}$ $A C = 10,3 c m$
- Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises.
[5 Pkt]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozent
E-Bike
Das E-Bike ist nach 3 Jahren noch $1 518,75$ € wert.
Zur Berechnung des Wertverlusts eines Jahres muss jeweils der prozentuale Anteil des Verlusts vom Anfangswert des Jahres abgezogen werden.
Der Wertverlust verringert sich von Jahr zu Jahr, weil der Anfangswert von Jahr zu Jahr geringer ist.
Halbkreis
1. Schritt: Berechnung der Länge von $A B$
Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck $A B C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $A B$ . Die Hypotenuse ist der Durchmesser des Kreises.
$A B$ kann mit dem Kosinus berechnet werden.
↓
$\cos α$ $=$ $\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
↓
Werte einsetzen
$\cos 50^{\circ}$ $=$ $\frac{10,3}{A B}$ $\cdot A B$
$A B \cdot \cos 50^{\circ}$ $=$ $10,3$ $: \cos 50^{\circ}$
$A B$ $=$ $\frac{10,3}{\cos 50^{\circ}}$
$A B$ $\approx$ $16,03$
2. Schritt: Berechnung des Flächeninhalts des Halbkreises
Der Flächeninhalt eines Kreises beträgt
$A_{Kreis} = π \cdot r^{2}$
$A B$ ist der Durchmesser des Kreises.
Der Radius $r$ beträgt dann:
$r = \frac{A B}{2} = \frac{16,03}{2} \approx 8,02$
Durchmesser des gesamten Kreises
$A_{Kreis} = π \cdot {8,02}^{2} \approx 202,07$
Durchmesser des Halbkreises
$A_{Halbkreis} = \frac{A_{Kreis}}{2} = \frac{202,07}{2} \approx 101,04$
Der Flächeninhalt des Halbkreises beträgt $101,04 {cm}^{2}$ .
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Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Flächeninhalt eines Drachenvierecks
	↓
$A$	$=$	$\frac{e \cdot f}{2}$
$A$	$=$	$\frac{1,2 \cdot f \cdot f}{2}$
$A$	$=$	$\frac{1,2 \cdot f^{2}}{2}$
	↓	bekannten Wert einsetzen
$1,35$	$=$	$0,6 \cdot f^{2}$	$: 0,6$
$2,25$	$=$	$f^{2}$	$\sqrt{}$
$1,5$	$=$	$f$

$A B$ kann mit dem Kosinus berechnet werden.
	↓
$\cos α$	$=$	$\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
	↓	Werte einsetzen
$\cos 50^{\circ}$	$=$	$\frac{10,3}{A B}$	$\cdot A B$
$A B \cdot \cos 50^{\circ}$	$=$	$10,3$	$: \cos 50^{\circ}$
$A B$	$=$	$\frac{10,3}{\cos 50^{\circ}}$
$A B$	$\approx$	$16,03$

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