Prüfungsteil 2 2025

$$V_{Kugel}={\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot r^3}$$

$$V_{Kugel}={\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot {\mathrm{8,9}}^3=\mathrm{2952,9...}}$$

Das Volumen der Kugel beträgt ungefähr $2950{\text{ cm}}^3$.

Der horizontale Umfang und damit der Durchmesser ist kleiner als der vertikale Umfang, also die Höhe des Ballons.

Deswegen ist das Volumen des Ballons größer als das einer Kugel mit dem Durchmesser aus der horizontalen Messung.

$V_{Zylinder}=G\cdot h$

$${\displaystyle h={\displaystyle \frac{V}{G}}}$$

Volumeneinheiten: $1\text{ l}=1000{\text{ cm}}^3$

Volumen des Wassers: $8\text{ l}=8000{\text{ cm}}^3$

Grundfläche des Zylinders: $G=530{\text{ cm}}^3$

$${\displaystyle h={\displaystyle \frac{8000}{530}}=\mathrm{15,09....}\approx \mathrm{15,1}}$$

Das Wasser steht im Glaszylinder ca. $\mathrm{15,1}\text{ cm}$ hoch.

Berechne den Zuwachs des Volumens, der durch die Verdängung der Wassermenge entsteht.

$V=G\cdot h$

$V=530\cdot \mathrm{5,7}=3021$

Der Luftballon hat ein Volumen von etwa $3020{\text{ cm}}^3$.

p: Prozentsatz

W: Prozentwert

G: Grundwert

$${\displaystyle p={\displaystyle \frac{W}{G}}}$$

$${\displaystyle p={\displaystyle \frac{2590}{3020}}=\mathrm{0,9768...}\approx \mathrm{0,977}}$$

$100\%-\mathrm{97,7}\%=\mathrm{2,3}\%$

Die Näherung über die Kugel ist um $\mathrm{2,3}\%$ kleiner als die Messung des Volumens durch das Eintauchen des Ballons ins Wasser.

Wenn man einen Karton mit Luftballons füllt, bleiben zwischen den einzelnen Ballons immer Zwischenräume frei. Teilt man den Rauminhalt des Kartons durch das Volumen eines Ballons, erhält man eine größere Anzahl Ballons.

1. Aussage:

Anzahl der Bienenvölker in Tausend.

Anzahl Bienenvölker im Jahr 2007: 670

Anzahl Bienenvölker im Jahr 2022: 996

$670\cdot \mathrm{0,50}=335$

$670+335=1005\ne 996$

Die 1. Aussage ist falsch.

2. Aussage:

Anzahl der Bienenvölker in Tausend.

Die Aussage ist falsch, weil die Anzahl der Bienenvölker zwischen 2010 und 2013 von 695 auf 685 gesunken ist.

3. Aussage:

Die Aussage ist richtig, denn mit 996 000 Bienenvölkern gab es 2022 fast

1 Million Bienenvölker in Deutschland.

4. Aussage:

Wachstum von 2007 auf 2010: $695-670=25$

Wachstum von 2010 auf 2013: $685-695=-10$

Wachstum von 2013 auf 2016: $822-685=137$

Wachstum von 2016 auf 2019: $942-822=120$

Wachstum von 2019 auf 2022: $996-942=54$

Die Ausage ist richtig.

Von 2016 auf 2019 kommen 120 Tsd. Bienenvölker hinzu.

Von 2019 auf 2022 kommen 54 Tsd. Bienenvölker hinzu.

Da von 2019 auf 2022 die absolute Anzahl der Bienenvölker, die dazu gekommen sind, abgenommen hat, kann der prozentuale Zuwachs nicht gleichgeblieben sein. Daher ist die Behauptung falsch.

$1{\text{ dm}}^2$ besteht aus $850$ Zellen.

Eine Zelle kann mit bis zu $\mathrm{0,42}$ g Honig gefüllt sein.

=>

$3{\text{ dm}}^2$ bestehen aus $2550$ Zellen.

$2550\cdot \mathrm{0,42}=1071$

$1071g=\mathrm{1,071}kg$ $>1kg$

$3{\text{ dm}}^2$ können also ausreichen um 1 Kilo Honig zu enthalten.

Bereits in den abgebildeten Waben mit einem und mit zwei Ringen erhöht sich die Anzahl der Zellen einmal um sechs und einmal um zwölf, also nicht gleichmäßig. Daher liegt kein lineares Wachstum vor.

$s_n=1+3\cdot n+3\cdot n^2$

Berechnung für $n=3$.

$s_3=1+3\cdot 3+3\cdot 3^2=1+9+27=37$

Eine Wabe aus 3 Ringen besteht aus 37 Zellen.

Wabe mit 5 Ringen: $s_5=1+3\cdot 5+3\cdot 5^2=1+15+75=91$

Wabe mit 6 Ringen: $s_6=1+3\cdot 6+3\cdot 6^2=1+18+108=127$

$127-91=36$

Eine Wabe mit 6 Ringen hat 36 Zellen mehr, als eine Wabe mit 5 Ringen.

Bereits bekannt: $s_6$ besteht aus $127$ Zellen.

$s_7=1+3\cdot 7+3\cdot 7^2=1+21+147=169$

$s_8=1+3\cdot 8+3\cdot 8^2=1+24+192=217$

Eine Wabe mit $217$ Zellen besteht aus $8$ Ringen.

$${\displaystyle A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h}$$

$$A={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 6\cdot \mathrm{4,5}=\mathrm{13,5}}$$

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $\mathrm{13,5}{\text{ cm}}^2$.

Umfang des Dreiecks: $U=$ $\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}\overline{}$

$\overline{AC}=\overline{BC}$

Länge der Strecke $\overline{AB}$: $|AB|=6\text{ cm}$

Länge der Strecke $\overline{AC}$:

Verwende für die Berechnung den Satz des Pythagoras.

$|AC|=\sqrt{3^2+{\mathrm{4,5}}^2}=\mathrm{5,408...}$

Länge der Strecke $\overline{AC}$: $|AC|=\mathrm{5,408...}\text{ cm}$

$U=|AB|+2\cdot |AC|$

$U=6+2\cdot \mathrm{5,408...}=\mathrm{16,816...}\approx \mathrm{16,8}$

Das Dreieck hat einen Umfang von rund $\mathrm{16,8}\text{ cm}$.

Das Dreieck mit den Punkten $A$, dem Ursprung $(0|0)$ und $C$ ist rechtwinklig.

Es gilt:

$$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$$

$$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}}{3}=\mathrm{1,5}}$$

$\alpha \approx \mathrm{56,3}°$

In der Zeichnung kannst du erkennen, dass die Parabel bei $x=3$ und $x=-3$ eine Nullstelle hat.

Überprüfe die Funktionsgleichung für x = 3 und x = −3.

$f(3)=a\cdot (3+3)\cdot (3-3)=a\cdot 6\cdot 0=0$

$f(-3)=a\cdot (-3+3)\cdot (-3-3)=a\cdot 0\cdot (-6)=0$

Die dargestellte Parabel ist nach unten geöffnet, daher ist $a<0$.

Lies die Koordinaten des Punktes $C$ aus der Zeichnung ab: $C(0|\mathrm{4,5})$

$\Rightarrow$ $f(0)=\mathrm{4,5}$

Für die Funktionsgleichung ergibt sich:

$\mathrm{4,5}=a\cdot (0+3)\cdot (0-3)$

$\mathrm{4,5}=a\cdot 3\cdot (-3)$

$\mathrm{4,5}=a\cdot (-9)$

$$a={\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}}{-9}=-\frac{1}{2}}$$

$$a={\displaystyle -\frac{1}{2}}$$

(1) Eine Möglichkeit besteht darin, die Punkte A und B entlang der x-Achse nach außen zu verschieben, sodass ein gleichschenkliges Dreieck entsteht mit den Basiswinkeln von jeweils 45°. Dadurch wird der Winkel bei C genau 90° groß.

Da in diesem Fall die Höhe des Dreiecks jeweils dem Abstand der Punkte A und B von der y-Achse entsprechen, ergeben sich die Koordinaten A (–4,5 | 0) und

B (4,5 | 0) als Nullstellen der Parabel.

(2) Über den Ansatz

$g(x)=a\cdot (x+\mathrm{4,5})\cdot (x-\mathrm{4,5})$ siehe Teilaufgabe d)

$g(0)=\mathrm{4,5}$ Scheitelpunkt der Parabel

=> $\mathrm{4,5}=a\cdot \mathrm{4,5}\cdot (-\mathrm{4,5})$

$$a={\displaystyle -\frac{1}{\mathrm{4,5}}}$$

=> $$g(x)={\displaystyle -\frac{1}{\mathrm{4,5}}\cdot (x+\mathrm{4,5})\cdot (x-\mathrm{4,5})}$$