Teil 1 Analysis: ohne Hilfsmittel

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto \frac{- x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)^{2}}$ mit ihrer maximalen Definitionsmenge $D_{f} \subseteq ℝ$ . Der Graph von $f$ wird mit $G_{f}$ bezeichnet.
Geben Sie die maximale Definitionsmenge $D_{f}$ , die jeweilige Art aller Definitionslücken von $f,$ die Nullstelle von $f$ sowie jeweils Art und Gleichung aller Asymptoten von $G_{f}$ an. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Gib die maximale Definitionsmenge $D_{f}$ an
$N (x) = 0 \Rightarrow$ benutze den Satz vom Nullprodukt.
$(x + 2) \cdot (x - 2)^{2} = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x_{1} = - 2$ und $(x - 2)^{2} = 0 \Rightarrow x_{2} = 2$
Demnach ist $D_{f} = ℝ \ {- 2; 2}$ .
Gib die jeweilige Art aller Definitionslücken von $f$ an
$x_{1} = - 2$ ist eine hebbare Definitionslücke, da der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist.
$x_{2} = 2$ ist eine Polstelle 2. Ordnung ohne Vorzeichenwechsel.
Gib die Nullstelle von $f$ an
$Z (x) = 0 \Rightarrow - x \cdot (x + 2) = 0 \Rightarrow$ benutze den Satz vom Nullprodukt.
$x_{3} = 0$ und $x_{4} = - 2 \notin D_{f}$
$x_{3} = 0$ ist die einzige Nullstelle.
Gib jeweils Art und Gleichung aller Asymptoten von $G_{f}$ an
Es gibt eine senkrechte Asymptote bei $x = 2$ .
Der Zählergrad ist kleiner als der Nennergrad, d.h. es gibt eine waagrechte Asymptote $\Rightarrow y_{A} = 0$ .
Teil 1
Setze den Nenner gleich null.
Teil 2
Beachte, dass eine Nullstelle sowohl im Zähler als auch im Nenner auftritt. Achte auch auf die Vielfachheit der Nullstelle.
Teil 3
Betrachte die Nullstellen des Zählers. Achte darauf, ob die Nullstellen in $D_{f}$ liegen.
Teil 4
Eine Polstelle ergibt eine senkrechte Asymptote.
Vergleiche den Zählergrad mit dem Nennergrad. Was folgt daraus?
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Abbildung zeigt den Ausschnitt des Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion $g$ mit $D_{g} = ℝ$ . Der Graph von $g$ wird mit $G_{g}$ bezeichnet. Die Funktion $g$ besitzt genau zwei Nullstellen. Diese sind ganzzahlig. Der Graph $G_{g}$ hat den absoluten Hochpunkt $H (0 | 1)$ .
1. Entscheiden Sie durch ankreuzen, ob die folgenden Terme Werte haben, die größer, kleiner oder gleich Null sind:
  Terme
  $< 0$
  $= 0$
  $> 0$
  $g^{'} (0)$
  $g^{''} (0)$
  $\int_{- 1}^{1} g (x) d x$
  Hinweis: Jede falsch beantwortete Aussage wird mit -0,5 BE und jede richtig bewertete Aussage mit +1 BE gewertet. Im ungünstigsten Fall wird die Aufgabe mit 0 BE gewertet. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  $g^{'} (0)$ ist die Steigung im Ursprung. Hier liegt der $H P (0 | 1) \Rightarrow g^{'} (0) = 0$
  $g^{''} (0) < 0 \Rightarrow$ bei einer rechtsgekrümmten Kurve (auch konkav oder im Uhrzeigersinn gekrümmt genannt) ist die zweite Ableitung $g^{''} (x)$ negativ, also kleiner Null.
  $\int_{- 1}^{1} g (x) d x > 0$ , da $G_{g}$ in $] - 1; 1 [$ vollständig oberhalb der x-Achse verläuft.
  Kreuze entsprechend an.
  Terme
  $< 0$
  $= 0$
  $> 0$
  $g^{'} (0)$
  $x$
  $g^{''} (0)$
  $x$
  $\int_{- 1}^{1} g (x) d x$
  x
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  Teil 1
  Bei $x = 0$ gibt es einen $H P$ . Was folgt für die Steigung?
  Teil 2
  Welche Krümmung hat $G_{g}$ ? Was folgt daraus für $g^{''} (0)$ ?
  Teil 3
  Wie verläuft $G_{g}$ innerhab der Integrationsgrenzen?
2. In Abhängigkeit des Funktionsterms $g (x)$ der Funktion $g$ werden weitere Terme wie folgt definiert: $h (x) = \frac{1}{g (x)} j (x) = x^{2} \cdot e^{g (x)}$
  Die zugehörigen Funktionen $h$ und $j$ haben jeweils die maximale Definitionsmenge $D_{h} \subseteq ℝ$ und $D_{j} \subseteq ℝ$ . Bestimmen Sie mithilfe des Graphen $G_{g}$ diese zwei Definitionsmengen. [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich einer Funktion
  Bestimme mithilfe des Graphen $G_{g}$ diese zwei Definitionsmengen
  $h (x) = \frac{1}{g (x)}$ , hier muss $g (x) \neq 0$ sein.
  $g (x) = 0$ (siehe Abbildung) für $x = - 1$ und $x = 1 \Rightarrow D_{h} = ℝ \ {- 1; 1}$
  $j (x) = x^{2} \cdot e^{g (x)}$ , als Exponent der e-Funktion darf alles eingesetzt werden $\Rightarrow D_{j} = ℝ$ .
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  $h (x) = \frac{1}{g (x)}$ , hier muss $g (x) \neq 0$ sein (siehe Abbildung).
  $j (x) = x^{2} \cdot e^{g (x)}$ , was darf als Exponent der e-Funktion eingesetzt werden?
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Lösen Sie die beiden folgenden Gleichungen über der Grundmenge der reellen Zahlen. [4 BE]
1. $(3 x - \frac{1}{13}) \cdot (e^{x - 4} - 1) = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
  Verwende den Satz vom Nullprodukt:
  $(3 x - \frac{1}{13}) \cdot (e^{x - 4} - 1) = 0 \Rightarrow 3 x - \frac{1}{13} = 0$ oder $e^{x - 4} - 1 = 0$
  $3 x - \frac{1}{13} = 0 \Rightarrow 3 x = \frac{1}{13} \Rightarrow x = \frac{1}{39}$
  $e^{x - 4} - 1 = 0 \Rightarrow e^{x - 4} = 1 \Rightarrow x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$
  $L = {\frac{1}{39}; 4}$
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  Verwende den Satz vom Nullprodukt.
2. $\ln (x - 4) = e$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmusfunktion
  $\ln (x - 4)$ $=$ $e$ $e^{()}$
  ↓
  Löse die $\ln$ -Funktion auf.
  $x - 4$ $=$ $e^{e}$ $+ 4$
  $x$ $=$ $e^{e} + 4$
  $L = {e^{e} + 4}$
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  Löse die $\ln$ -Funktion auf.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die untenstehende Abbildung zeigt modellhaft den Querschnitt (grau gekennzeichnet) einer insgesamt vier Meter breiten Skateboardrampe. Die obere Begrenzungslinie des Querschnitts verläuft für $0 \leq x \leq 1$ parallel zur x-Achse und für $1 \leq x \leq 4$ entlang des Graphen der Funktion $q$ in der Definitionsmenge $D_{q}$ .
Es gilt: $q : x \mapsto \frac{2}{x^{2}}; D_{q} = [1; 4]$ .
Der zugehörige Graph wird in einem kartesischen Koordinatensystem mit $G_{q}$ bezeichnet. Die Koordinaten $x$ und $y$ sind Längenangaben in der Einheit Meter.
Berechnen Sie die Maßzahl der Querschnittsfläche der abgebildeten Skateboardrampe.
Der Abbildung dürfen ganzzahlige Werte entnommen werden.
[5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne die Maßzahl der Querschnittsfläche der abgebildeten Skateboardrampe
Die Querschnittsfläche der Skateboardrampe besteht aus zwei Teilflächen.
$A_{ges} = A_{Rechteck} + \int_{1}^{4} \frac{2}{x^{2}} d x$
$A_{Rechteck} = 2 \cdot 1 = 2$
$\int_{1}^{4} \frac{2}{x^{2}} d x = {[- \frac{2}{x}]}_{1}^{4} = (- \frac{2}{4} - (- \frac{2}{1})) = - 0,5 + 2 = 1,5$
$A_{ges} = 2 + 1,5 = 3,5$
Die Maßzahl der Querschnittsfläche der abgebildeten Skateboardrampe beträgt $3,5 m^{2}$ .
Die Querschnittsfläche der Skateboardrampe besteht aus zwei Teilflächen.
$A_{ges} = A_{Rechteck} + \int_{1}^{4} \frac{2}{x^{2}} d x$

Terme	$< 0$	$= 0$	$> 0$
$g^{'} (0)$		$x$
$g^{''} (0)$	$x$
$\int_{- 1}^{1} g (x) d x$			x

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\ln (x - 4)$	$=$	$e$	$e^{()}$
	↓	Löse die $\ln$ -Funktion auf.
$x - 4$	$=$	$e^{e}$	$+ 4$
$x$	$=$	$e^{e} + 4$

Teil 1 Analysis: ohne Hilfsmittel

Gib die maximale Definitionsmenge Df an

Gib die jeweilige Art aller Definitionslücken von f an

Gib die Nullstelle von f an

Gib jeweils Art und Gleichung aller Asymptoten von Gf an

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Bestimme mithilfe des Graphen Gg diese zwei Definitionsmengen

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Berechne die Maßzahl der Querschnittsfläche der abgebildeten Skateboardrampe

Gib die maximale Definitionsmenge $D_{f}$ an

Gib die jeweilige Art aller Definitionslücken von $f$ an

Gib die Nullstelle von $f$ an

Gib jeweils Art und Gleichung aller Asymptoten von $G_{f}$ an

Bestimme mithilfe des Graphen $G_{g}$ diese zwei Definitionsmengen