Gemischte Aufgaben den Grundrechenarten für natürliche Zahlen

Gliedere den Term $\left(153+12\right)-\left[53-\left(18+33\right)\right]$ und berechne seinen Wert.

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Mache zunächst eine Überschlagsrechnung. Führe dann die Rechnung aus und vergleiche die Ergebnisse.
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  $876+54321+1234+56789$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Überschlagsrechnung
  Überschlag
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} 876+54321+1234+56789 &\approx &1000+54000+1000+57000\\ &=& 113000 \end{array}$
  Exakte Berechnung
  $876+54321+1234+56789=55197+58023=113220$
  Unterschied zum Überschlag
  Um den Unterschied zwischen der exakten Berechnung und dem Überschlag zu ermitteln, musst du beide Ergebnisse voneinander abziehen:
  Also ist der Unterschied zwischen den beiden Ergebnissen $220$ .
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $10133\cdot12345$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Überschlagsrechnung
  Überschlagsrechnung
  $10133\cdot12345\approx10\,000\cdot12\;000=120\,000\;000$
  Exakte Berechnung
  $10133\cdot12345 = 125\,091\,885$
  Unterschied zum Überschlag
  Um den Unterschied zwischen der exakten Berechnung und dem Überschlag zu ermitteln, musst du beide Ergebnisse voneinander abziehen:
  Also ist der Unterschied zwischen den beiden Ergebnissen $5\,091\,885$ .
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  $12345:823$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Überschlagsrechnung
  Überschlag
  $12345:823\approx$
  Dividend und Divisor beide etwa um ein Viertel aufrunden.
  $\approx15.000:1.000 = 15$
  Exakte Berechnung
  $12345:823=15$
  $\implies$ Überschlag und Ergebnis stimmen überein!
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Ergänze - falls nötig - die Regel. Wende den Trick auf das Beispiel an, um das Ergebnis zu berechnen.

Aufgabe	Trick	Beispiel
Multipliziere mit 4	Verdoppeln und nochmals verdoppeln	$18\cdot4= ?$
Multipliziere mit 1000	?	$27 \cdot 1000 = ?$
Multipliziere mit 5	Rechne mal 10 und halbiere	$456\cdot 5=?$
Multipliziere mit 11	Mal 10 und einmal dazuzählen	$456 \cdot 11 =?$
Multipliziere mit 9	?	$456 \cdot 9 = 4560 - 456 = ?$
Multipliziere mit 15	Einen Faktor halbieren, anderen 2-fach	$44 \cdot 15 = ?$
Multipliziere mit 15	Mal 10 und die Hälfte davon dazuzählen	$44 \cdot 15 =?$
Multiplizieren mit 25	einen Faktor vierteln, den anderen vervierfachen	$44 \cdot 25 =?$
Dividieren durch 100	?	$1700 : 100 =?$
Dividieren durch 5	?	$325:5=325\cdot2:10=?$
Dividieren durch 25	Mal 100 geteilt durch 4	$325:25=?$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten

Aufgabe	Trick	Beispiel
Multipliziere mit 4	Verdoppeln und nochmals verdoppeln	$18\cdot4= 72$
Multipliziere mit 1000	3 Nullen an die Zahl anhängen	$27 \cdot 1000 = 27000$
Multipliziere mit 5	Rechne mal 10 und halbiere	$456\cdot 5=2280$
Multipliziere mit 11	Mal 10 und einmal dazuzählen	$456 \cdot 11 =5016$
Multipliziere mit 9	Mal 10 und einmal abziehen	$456 \cdot 9 = 4560 - 456 = 4104$
Multipliziere mit 15	Einen Faktor halbieren, anderen 2-fach	$44 \cdot 15 = 660$
Multipliziere mit 15	Mal 10 und die Hälfte davon dazuzählen	$44 \cdot 15 =660$
Multiplizieren mit 25	einen Faktor vierteln, den anderen vervierfachen	$44 \cdot 25 =1100$
Dividieren durch 100	2 Nullen von der Zahl wegstreichen	$1700 : 100 =17$
Dividieren durch 5	Mal 2 und dann durch 10 teilen	$325:5=325\cdot2:10=65$
Dividieren durch 25	Mal 100 geteilt durch 4	$325:25=13$

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Welcher Fehler wurde bei folgender Rechnung gemacht?

$"123+\left(321\cdot213-132\right)=321\cdot213=68373-132=68241+123=68364"$

Für die folgenden Terme befolge diese Arbeitsanweisungen:

Mache jeweils eine Überschlagsrechnung!
Berechne den Wert des Terms!
Überlege, ob man Klammern weglassen kann, ohne den Wert des Terms zu ändern!

$\left[4531-\left(2143-1824\right)\right]-3213$

$2005-\left[\left(715-309\right)-\left(284-197\right)\right]$

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Als Schüler musste der Mathematiker Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 addieren. Er schrieb:
$1+2+3+\dots+98+99+100\\=\left(1+100\right)+\left(2+99\right)+\dots+\left(50+51\right)\\=101\cdot50\\=5050$
Addiere mit einem ähnlichem Trick die ungeraden Zahlen von 1 bis 999.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
Von 1 bis 1000 gibt es je 500 gerade und ungerade Zahlen. Die 500 ungeraden Zahlen lässen sich zu 250 solcher Klammerausdrücke zusammenfassen. Dabei ist die Summe in jeder Klammer 1000
$1+3+…+997+999$
$=\underbrace{\left(1+999\right)}_{1000}+\underbrace{\left(3+997\right)}_{1000}+…+\underbrace{\left(499+501\right)}_{1000}\\\\=1000\cdot 250\\=250\,000$
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Löse die folgenden Aufgaben.
1. Überprüfe durch Berechnen von $144:4$ und $100:4+44:4$ , ob das Distributivgesetz auch bei Aufteilung des Dividenden eines Quotienten gilt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  $144:4=36$
  Probe des Distributivgesetzes
  $\displaystyle 100:4+44:4$
  $=$ $\displaystyle 25+11$
  $=$ $\displaystyle 36$
  Die Ergebnisse beider Berechnungswege sind gleich.
  ⇒ Das Distributivgesetz gilt auch bei Aufteilung des Dividenden eines Quotienten.
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2. Überpüfe durch Berechnung von $1440:10$ und $1440:18-1440:8$ , ob das Distributivgesetz auch bei Aufteilung des Divisors eines Quotienten gilt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  $1440:10=144$
  Probe des Distributivgesetzes
  $=$ $\displaystyle 1440:18-1440:8$
  $=$ $\displaystyle 80-180$
  $=$ $\displaystyle -100$
  Die Ergebnisse beider Rechnungen stimmen nicht überein.
  $\;\Rightarrow$ Das Distributivgestz gilt nicht bei Aufteilung des Divisors eines Quotienten.
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$\displaystyle (153+12)−[53−(18+33)]$	$=$
	↓	In den inneren Klammern addieren.
	$=$	$\displaystyle 165−(53−51)$
	↓	Die Klammer subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 165−2$
	↓	Subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 163$

$\displaystyle 123+\left(321\cdot213-132\right)$	$=$
	↓	In der Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle =123+\left(68373-132\right)$	$=$
	↓	Klammer ausrechnen.
$\displaystyle =123+68241$	$=$	$\displaystyle 68364$
	↓	Addition

$\displaystyle 3-x$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Stelle nach $x$ um.
$\displaystyle 3-1$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle x-2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Stelle nach $x$ um.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1+2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Überprüfung:
$\displaystyle 3-2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	3 ist somit das richtige Ergebnis.

$\displaystyle x:5$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Stelle nach $x$ um.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 10$
$\displaystyle 10:5$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	10 ist somit das richitge Ergebnis.

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 9\cdot223$
	$=$	$\displaystyle 2007$
	↓	Überprüfung.
$\displaystyle 2007:223$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	2007 ist somit das richtige Ergebnis.

$\displaystyle 2\cdot x$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	Stelle nach $x$ um.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 10:2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Überprüfung.
$\displaystyle 2\cdot5$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	5 ist somit das richtige Ergebnis.

$\displaystyle 9876-\left[876-\left(76-6\right)\right]$	$=$	$\displaystyle 9876-\left[876-70\right]$
	↓	Innerste Klammer berechnen.
	$=$	$\displaystyle 9876-806$
	$=$	$\displaystyle 9070$

$\displaystyle 3+7\cdot\left(26-16-12:2\right)$	$=$
	↓	Berechne erst $12:2$ , da Punkt vor Strich gilt.
	$=$	$\displaystyle 3+7\cdot\left(26-16-6\right)$
	↓	Berechne die Klammer.
	$=$	$\displaystyle 3+7\cdot4$
	↓	Multipliziere zuerst.
	$=$	$\displaystyle 3+28$
	↓	Addiere dann.
	$=$	$\displaystyle 31$

$\displaystyle 432\cdot588-588\cdot32$	$=$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 588\cdot\left(432-32\right)$
	↓	Subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 588\cdot400$
	↓	Multiplikation.
	$=$	$\displaystyle 235.200$

$\displaystyle \left(162+25\right)\cdot4-4\cdot162$	$=$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 25\cdot4+162\cdot4-4\cdot162$
	↓	Subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 25\cdot4$
	$=$	$\displaystyle 100$

$\displaystyle \left[12.625-\left(2.977+8.133\right)\right]:5$	$=$
	↓	Addiere.
	$=$	$\displaystyle \left[12.625-11.110\right]:5$
	↓	Subtrahiere.
	$=$	$\displaystyle 1515:5$
	$=$	$\displaystyle 303$

$\displaystyle 17.000:125$	$=$
	↓	17.000 zerlegen in 17 mal 1000.
	$=$	$\displaystyle 17\cdot1000:125$
	↓	Dividiere.
	$=$	$\displaystyle 17\cdot8$
	$=$	$\displaystyle 136$

$\displaystyle \left(168\cdot87+13+87\cdot832\right)\cdot1$	$=$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle 168\cdot87+13+87\cdot832$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$\displaystyle \left(168+832\right)\cdot87+13$
	↓	Addiere.
	$=$	$\displaystyle 1000\cdot87+13$
	$=$	$\displaystyle 87000+13$
	$=$	$\displaystyle 87013$

$\displaystyle 1234-987+766-113$	$=$
	↓	Wende das Kommutativgesetz an.
	$=$	$\displaystyle 1234+766-987-113$
	↓	Setze eine Klammer.
	$=$	$\displaystyle 1234+766-\left(987+113\right)$
	↓	Addiere die beiden einzelnen Summen.
	$=$	$\displaystyle 2000-1100$
	$=$	$\displaystyle 900$

$\displaystyle 65432-\left[\left(2264-675\right)-\left(123+432+1\right)\right]-10$	$=$	$\displaystyle 65432-\left[1589-556\right]-10$
	↓	Subtrahiere in der Klammer.
	$=$	$\displaystyle 65432-1033-10$
	↓	Subtrahiere.
	$=$	$\displaystyle 64389$

$\displaystyle 5763+\left[\left(1342-43\right)-\left(234+32+1\right)-10\right]$	$=$	$\displaystyle 5763+\left[1299-267-10\right]$
	↓	Subtrahiere in der Klammer.
	$=$	$\displaystyle 5763+1022$
	$=$	$\displaystyle 6785$

$\displaystyle 13513-\left[\left(555-132\right)-\left(400+1962+4\right)+15\right]$	$=$	$\displaystyle 13513-\left[423-2366+15\right]$
	↓	Subtrahiere in der Klammer.
	$=$	$\displaystyle 13513+1928$
	↓	Addiere.
	$=$	$\displaystyle 15441$

$\displaystyle \left[4531-\left(2143-1824\right)\right]-3213$	$=$
	↓	Überschlage und rechne die Klammern aus
$\displaystyle \left[4531-\left(2100-1800\right)\right]-3200$	$=$
$\displaystyle \left[4500-300\right]-3200$	$=$	$\displaystyle 4200-3200$
	$=$	$\displaystyle 1000$

$\displaystyle \left[4531-\left(2143-1824\right)-3213\right]$	$=$
	↓	Löse die Klammern auf
$\displaystyle \left[4531-319\right]-3213$	$=$	$\displaystyle 4212-3213$
	$=$	$\displaystyle 999$

$\displaystyle 2005-\left[\left(715-309\right)-\left(284-197\right)\right]$	$=$
	↓	Überschlage und rechne alle Klammern aus
$\displaystyle 2000-\left[\left(700-300\right)-\left(300-200\right)\right]$	$=$
$\displaystyle 2000-\left(400-100\right)$	$=$
$\displaystyle 2000-300$	$=$	$\displaystyle 1700$

$\displaystyle 2005-\left[\left(715-309\right)-\left(284-197\right)\right]$	$=$
	↓	Löse die Klammern auf
$\displaystyle 2005-\left(406-87\right)$	$=$
$\displaystyle 2005-319$	$=$	$\displaystyle 1686$

	$\displaystyle 100:4+44:4$
$=$	$\displaystyle 25+11$
$=$	$\displaystyle 36$

	$=$	$\displaystyle 1440:18-1440:8$
	$=$	$\displaystyle 80-180$
	$=$	$\displaystyle -100$

Gemischte Aufgaben den Grundrechenarten für natürliche Zahlen

Überschlag

Exakte Berechnung

Unterschied zum Überschlag

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Überschlagsrechnung

Exakte Berechnung

Unterschied zum Überschlag

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Überschlag

Exakte Berechnung

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Probe des Distributivgesetzes

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