Schwierigere Aufgaben zum Faktorisieren

Aufgaben

Durch geschicktes Ausklammern Brüche vermeiden! Klammere so aus, dass in der Klammer keine Brüche mehr stehen.

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%%\frac34\mathrm{bx}-\frac34\mathrm{by}+\frac34\mathrm{bz}%%

%%\frac12\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac34\mathrm{xz}%%

Ausklammern

%%\frac12\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac34\mathrm{xz}%%

Du kannst %%x%% ausgeklammern, da es in allen drei Summanden vorkommt. Wenn du alle Brüche auf den Hauptnenner erweiterst, erkennst du, dass du gleichzeitig einen Bruch mit ausklammern kannst.

%%=\frac48\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac68\mathrm{xz}%%

Klammere den Faktor %%\frac18x%% aus.

%%=\frac18x\cdot\left(4u-v+6z\right)%%

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%%\dfrac23a-\dfrac56b%%

Klammere den Ausdruck in der Klammer aus.

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%%\left(-1\right)%% aus: %%a+b%%

%%\left(-1\right)%% aus:  %%b-a%%

%%\left(-1\right)%% aus: %%-a-b-1%%

%%\left(-1\right)%% aus: %%a-b-1%%

%%\left(-\mathrm{ab}^2\right)\;\;%% aus %%-\mathrm{ab}^4+a^2b^3-a^3b^2%%

Ausklammern

%%-{ab}^4+a^2b^3-a^3b^2%%

suche den Faktor %%(-ab^2)%% in jedem Summanden

%%\color{red}{-{ab}^2}\cdot b^2- a\cdot(\color{red}{-{ab}^2})\cdot b+a^2\cdot(\color{red}{-{ab}^2})%%

Klammere %%\left(-{ab}^2\right) %% aus.

%%=(-{ab}^2)\cdot\left(b^2-{ab}+a^2\right)%%

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%%\left(-2\mathrm{ab}\right)\;\;%% aus %%2\mathrm{ab}^2-4a^2b%%

%%\left(\frac12x^2y\right)\;\;%% aus %%\frac12x^4y-\frac52x^3y-x^2y^3%%

Auch Klammern kann man ausklammern! Faktorisiere den Term.

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%%m(r-s)-n(s-r)%%

%%4a(2x+3y)+2b(2x+3y)%%

%%s(a+x)+b(a+x)%%

%%-y(x+a)+v(x+a)%%

%%8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)%%

Terme faktorisieren

%%8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)%%

Verwende %%\left(a+b\right)=1\cdot\left(a+b\right)%%.

%%=8\cdot\left(a+b\right)+1\cdot\left(a+b\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(a+b\right)%% aus.

%%=\left(a+b\right)\cdot\left(8+1\right)%%

Fasse zusammen.

%%=9\cdot\left(a+b\right)%%

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%%x\cdot\left(u-v\right)-y\cdot\left(u-v\right)%%

%%a\cdot\left(3m-n\right)-b\cdot\left(3m-n\right)%%

%%x\cdot\left(3-r\right)-\left(3-r\right)%%

%%5u\cdot\left(a-2b\right)+v\cdot\left(a-2b\right)%%

%%2x\cdot\left(3u+v\right)-\left(3u+v\right)%%

Terme faktorisieren

%%2x\cdot\left(3u+v\right)-\left(3u+v\right)%%

Verwende %%\left(3u+v\right)=1\cdot\left(3u+v\right)%%

%%=2x\cdot\left(3u+v\right)-1\cdot\left(3u+v\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(3u+v\right)%% aus.

%%=\left(3u+v\right)\cdot\left(2x-1\right)%%

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Faktorisiere die folgenden Terme.

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%%\mathrm{av}+\mathrm{au}+v+u%%

Lösung in Arbeit (es fehlen noch Überschrift am Anfang, Satz am Anfang und ggf. Verlinkungen zu Begriffen/Methoden)

  %%av+au+v+u%%

 

%%=a(v+u)+v+u =a(v+u)+1(v+u) =(1+a)(u+v)%%

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%%\mathrm{ba}-\mathrm{by}+\mathrm{xa}-\mathrm{yx}%%

%%\mathrm{cq}+\mathrm{cr}-q-r%%

%%\mathrm{ax}+\mathrm{ay}+\mathrm{bx}+\mathrm{by}%%

Terme faktorisieren

%%\mathrm{ax}+\mathrm{ay}+\mathrm{bx}+\mathrm{by}%%

Klammere die Faktoren %%a%% und %%b%% aus den entsprechenden Summanden aus.

%%=a\cdot\left(x+y\right)+b\cdot\left(x+y\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(x+y\right)%% aus.

%%=\left(x+y\right)\cdot\left(a+b\right)%%

Sortiere nach Variabeln.

%%=\left(a+b\right)\cdot\left(x+y\right)%%

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%%2m+2n+3m+3n%%

%%3\mathrm{am}-\mathrm{mv}+3a-v%%

%%4\mathrm{uv}-u+12\mathrm{vy}-3y%%

Terme faktorisieren

%%4\mathrm{uv}-u+12\mathrm{vy}-3y%%

Teile in Teilsummanden auf.

%%=4\mathrm{uv}-u+4v\cdot3y-3y%%

Klammere die Faktoren %%u%% und %%3y%% aus.

%%=u\cdot\left(4v-1\right)+3y\cdot\left(4v-1\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(4v-1\right)%% aus.

%%=\left(4v-1\right)\cdot\left(u+3y\right)%%

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Faktorisiere und klammere aus soweit möglich. Für diese Aufgabe musst du schon die binomischen Formeln kennen.

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Zu text-exercise-group 3881:
ast19 2019-10-03 11:51:25+0200
Im bayerischen Lehrplan des Gymnaisiums werden die binomischen Formeln zur Faktorisierung verbindlich erst in der 9. Jahrgangsstufe behandelt. Ich würde Aufgabe Nr 1 komplett streichen, das fängt für die SchülerInnen zu schwer an.
wolfgang 2019-10-06 14:25:52+0200
Hallo ast19,
vielen Dank für deinen Hinweis!

In der Tat ist diese Aufgabe nicht für den Einstieg geeignet. In einem Aufgabenordner auf unserer Plattform sollten die Aufgaben von oben nach unten schwieriger werden. Deshalb habe ich die Aufgabe ganz ans Ende des Ordners verschoben und in die Angabe mitaufgenommen, dass dafür die binomischen Formeln benötigt werden.

Weiteres Feedback gerne jederzeit als Kommentar hinterlassen.

Herzliche Grüße
Wolfgang
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%%m(2r+2s)(2r-2s)%%

%%\mathrm{sm}^2-\mathrm{sn}^2%%

%%6a(7x-5y)+9b(-7x+5y)%%

%%(\mathrm{gt}-\mathrm{ht})+(2g-2h)%%

Verwandle den Term in ein Produkt. Verwende dabei eine der binomischen Formeln.
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a2−4b2a^2-4b^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren

Wende die dritte Binomische Formel an.
a2−4b2a^2-4b^2
=(a−2b)⋅(a+2b)=\left(a-2b\right)\cdot\left(a+2b\right)
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25x2−925x^2-9

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren

Wende die dritte Binomische Formel an.
25x2−925x^2-9
=(5x−3)⋅(5x+3)=\left(5x-3\right)\cdot\left(5x+3\right)
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x2+14x+49x^2+14x+49

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren

Wende die erste Binomische Formel an.
x2+14x+49x^2+14x+49
=(x+7)2=\left(x+7\right)^2
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1−2x+x21-2x+x^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren

1−2x+x21-2x+x^2
Sortiere nach Variabeln.
=x2−2x+1=x^2-2x+1
Wende die zweite Binomische Formel an.
=(x−1)2=\left(x-1\right)^2
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4k2−4k+14k^2-4k+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren

Wende die zweite Binomische Formel an.
4k2−4k+14k^2-4k+1
=(2k−1)2=\left(2k-1\right)^2
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49a2+ab+916b2\dfrac49a^2+\mathrm{ab}+\dfrac9{16}b^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren

Wende die erste Binomische Formel an.
49a2+ab+916b2\dfrac49a^2+\mathrm{ab}+\dfrac9{16}b^2
=(23a+34b)2=(\dfrac23a+\dfrac34b)^2
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Faktorisiere.

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%%4x^2-8x+4%%

%%\frac15x^2+2x+5%%

%%-x^2+6x-9%%

%%\frac12x^2-8%%

%%\frac14x^2-3x+9%%

%%\frac{x^2}2-\mathrm{kx}+\frac{k^2}2%%

%%-\frac14+x^2%%

%%u^4-4u^3+4u^2%%

%%x^4+2x^2+1%%

Faktorisiere den Term. Wende dabei eine Zerlegung in zwei Klammerterme oder Linearfaktoren an.

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%%y^2+7y+12%%

Überlege welche beiden Zahlen addiert 7 und multipliziert 12 ergeben.
y²+7y+12=(y+3)(y+4)y²+7y+12=(y+3)(y+4)
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%%\mathrm{ab}+5a+7b+35%%

%%x^2+6x+8%%

%%z^2+17z+60%%

%%a^2-a-12%%

%%21a+3a^2+30%%

%%a^2-26\mathrm{ab}+165b^2%%

%%20x^2-21\mathrm{xy}+4y^2%%

%%x^2-16x+48%%

%%x^2-3\mathrm{xy}+2y^2%%

%%a^2+a-12%%

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