Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}$

Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.

$\mathrm{I}'\quad5y-3\left(y+1\right)=1$

Lös $\text{I}'$nach $y$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}5y-3y-3&=&1&\\2y-3&=&1&|+3\\2y&=&4&|:2\\y&=&2\end{array}$

Nun kannst du $y=2$ in $\mathrm{II}$ einsetzen und nach $x$ auflösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}5\cdot2-3x&=&1&|-10\\-3x&=&-9&|:(-3)\\x&=&3\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}$

Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.

$\mathrm{I}'\quad 4x+5\cdot \left(5x-11\right)=32$

Löse nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccc}4x+25x-55&=&32&\\29x-55&=&32&|+55\\29x&=&87&&|:29\\x&=&3\end{array}$

Setz $x=3$ in $\mathrm{II}$ ein und löse nach $y$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}y&=&5\cdot3-11\\y&=&4\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}$

Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.

$\mathrm{I}'\quad15y-4\left(y+7\right)=-50$

Lös nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}15y-4y-28&=&-50&\\11y-28&=&-50&|+28\\11y&=&-22&|:11\\y&=&-2\end{array}$

Setz nun $y=-2$ in $\mathrm{II}$ ein und lös nach $x$ auf.

$x=-2+7$

$x=5$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}$

Teile $\mathrm{II}$ durch 2, um nach der Variablen $x$ aufzulösen.

$\mathrm{II}:2\to\mathrm{II}'\quad y-5= x$

Setze $\mathrm{II}'$ in $\mathrm{I}$ ein.

$\mathrm{II}'$ in $\mathrm{I}$ eingesetzt:

$\mathrm{I}'\quad3\left(y-5\right)=y+15$

Löse dann $\mathrm{I}'$ nach $y$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}3y-15&=&y+15&|-y; +15\\2y&=&30&|:2\\y&=&15\end{array}$

Setze anschließend $y=15$ in $\mathrm{II}'$ ein und löse nach $x$ auf.

$y=15$ in $\mathrm{II}'$ eingesetzt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}15-5&=&x\\10&=&x\end{array}$

$L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}$

Multipliziere $\mathrm{II}$ mit $\frac32$, um auf der rechten Seite $3x$ zu erzeugen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}'&3y&-&15&=&3x\end{array}$

Setze die rechte Seite von $\mathrm{I}$ mit der linken von $\mathrm{II}'$ gleich und löse nach $y$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}y+15&=&3y-15&|-y;\;+15\\30&=&2y&|:2\\y&=&15\end{array}$

Setze $y=15$ in $\mathrm{I}$ (oder auch $\mathrm{II}$) ein und löse nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}3\cdot x&=&y+15&\\3\cdot x&=&15+15&\\3\cdot x&=&30&|:3\\x&=&10\end{array}$

$L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}$

Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}'&x&=&-y&+&25\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}$

Da die erste Gleichung nun nach $x$ aufgelöst ist, kann man wieder das Einsetzungsverfahren anwenden.

Setze dazu $\mathrm{I}'$ in $\mathrm{II}$ ein und löse nach $y$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crcll}\mathrm{II}'&2\cdot(-y+25)&=&2y-10&\\&-2y+50&=&2y-10&|-2y \;\;|-50\\&-4y&=&-60&|:(-4)\\&y&=&15\end{array}$

Setze $y=15$ in $\mathrm{I}'$ ein und löse nach $x$ auf.

$x=-15+25$

$x=10$

Gegeben:   $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I)\;2y=2x-40\\(\text{II})\;3x=10-2y\end{array}$

Gleichung $(\text I)$ ist nach $2y$ aufgelöst. Dieser Term kommt auch in Gleichung $(\text{II})$ vor. Setze also die Gleichung $(I)$ in $(II)$ ein.

$L=\left\{\left(x\left|y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}$

Lösung mithilfe der anderen Verfahren

Gegeben:   $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(I)\;\;\frac 12x-\frac{3}5y=3\\(\text{II})\;\frac 14x+y=8\end{array}$

Forme $(\text{II})$ so um, dass auf der einen Seite $y$ steht.