Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Setz die Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ in $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ ein.

${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}5y-3(y+1)=1\backslash mathrm\{I\}\text{'}\backslash quad5y-3\backslash left(y+1\backslash right)=1$

Lös ${\text{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash text\{I\}\text{'}$nach $yy$ auf.

Nun kannst du $y=2y=2$ in $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ einsetzen und nach $xx$ auflösen.

Setz die Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ in $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ ein.

${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}4x+5\cdot (5x-11)=32\backslash mathrm\{I\}\text{'}\backslash quad\; 4x+5\backslash cdot\; \backslash left(5x-11\backslash right)=32$

Löse nach $xx$ auf.

Setz $x=3x=3$ in $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ ein und löse nach $yy$ auf.

Setz die Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ in $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ ein.

${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}15y-4(y+7)=-50\backslash mathrm\{I\}\text{'}\backslash quad15y-4\backslash left(y+7\backslash right)=-50$

Lös nach $xx$ auf.

Setz nun $y=-2y=-2$ in $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ ein und lös nach $xx$ auf.

$x=-2+7x=-2+7$

$x=5x=5$

Teile $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ durch 2, um nach der Variablen $xx$ aufzulösen.

$\mathrm{I}\mathrm{I}:2\to {\mathrm{I}\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}y-5=x\backslash mathrm\{II\}:2\backslash to\backslash mathrm\{II\}\text{'}\backslash quad\; y-5=\; x$

Setze ${\mathrm{I}\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\}\text{'}$ in $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ ein.

${\mathrm{I}\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\}\text{'}$ in $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ eingesetzt:

${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}3(y-5)=y+15\backslash mathrm\{I\}\text{'}\backslash quad3\backslash left(y-5\backslash right)=y+15$

Löse dann ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\}\text{'}$ nach $yy$ auf.

Setze anschließend $y=15y=15$ in ${\mathrm{I}\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\}\text{'}$ ein und löse nach $xx$ auf.

$y=15y=15$ in ${\mathrm{I}\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\}\text{'}$ eingesetzt:

$L=\left\{\left(x\mid y\right)\right\}=\left\{\left(10\mid 15\right)\right\}L=\backslash left\backslash \{\backslash left(x\backslash ;\backslash left|\backslash ;y\backslash right.\backslash right)\backslash right\backslash \}=\backslash left\backslash \{\backslash left(10\backslash ;\backslash left|\backslash ;15\backslash right.\backslash right)\backslash right\backslash \}$

Multipliziere $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ mit $\frac{3}{2}\backslash frac32$, um auf der rechten Seite $3x3x$ zu erzeugen.

Setze die rechte Seite von $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ mit der linken von ${\mathrm{I}\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{II\}\text{'}$ gleich und löse nach $yy$ auf.

Setze $y=15y=15$ in $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ (oder auch $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$) ein und löse nach $xx$ auf.

$L=\left\{\left(x\mid y\right)\right\}=\left\{\left(10\mid 15\right)\right\}L=\backslash left\backslash \{\backslash left(x\backslash ;\backslash left|\backslash ;y\backslash right.\backslash right)\backslash right\backslash \}=\backslash left\backslash \{\backslash left(10\backslash ;\backslash left|\backslash ;15\backslash right.\backslash right)\backslash right\backslash \}$

Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.

Da die erste Gleichung nun nach $xx$ aufgelöst ist, kann man wieder das Einsetzungsverfahren anwenden.

Setze dazu ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\}\text{'}$ in $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ ein und löse nach $yy$ auf.

Setze $y=15y=15$ in ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\}\text{'}$ ein und löse nach $xx$ auf.

$x=-15+25x=-15+25$

$x=10x=10$

Gegeben:   $\begin{array}{c}(\text{I})2y=2x-40\\ (\text{II})3x=10-2y\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}(\backslash text\; I)\backslash ;2y=2x-40\backslash \backslash (\backslash text\{II\})\backslash ;3x=10-2y\backslash end\{array\}$

Gleichung $(\text{I})(\backslash text\; I)$ ist nach $2y2y$ aufgelöst. Dieser Term kommt auch in Gleichung $(\text{II})(\backslash text\{II\})$ vor. Setze also die Gleichung $(I)(I)$ in $(II)(II)$ ein.

$L=\left\{\left(x\mid y\right)\right\}=\left\{\left(10\mid -10\right)\right\}L=\backslash left\backslash \{\backslash left(x\backslash left|y\backslash right.\backslash right)\backslash right\backslash \}=\backslash left\backslash \{\backslash left(10\backslash ;\backslash left|\backslash ;-10\backslash right.\backslash right)\backslash right\backslash \}$

Lösung mithilfe der anderen Verfahren

Gegeben:   $\begin{array}{c}(I)\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}y=3\\ (\text{II})\frac{1}{4}x+y=8\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}(I)\backslash ;\backslash ;\backslash frac\; 12x-\backslash frac\{3\}5y=3\backslash \backslash (\backslash text\{II\})\backslash ;\backslash frac\; 14x+y=8\backslash end\{array\}$

Forme $(\text{II})(\backslash text\{II\})$ so um, dass auf der einen Seite $yy$ steht.