Aufgaben zum Skalarprodukt
- 1
Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
u=2−15 und v=672 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen. Du erhältst durch Verwendung der Formel:
u∘v====2−15∘6722⋅6+(−1)⋅7+5⋅212+(−7)+1015
Das Skalarprodukt von u und v ist also 15.
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u=1234 und v=60−8 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
u∘v=1234∘60−8=12⋅6+3⋅0+4⋅(−8)=72−32=40
Das Skalarprodukt von u und v ist also 40.
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u=−231 und v=−11−2 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
u∘v=−231∘−11−2=(−2)⋅(−1)+3⋅1+1⋅(−2)=2+3−2=3
Das Skalarprodukt von u und v ist also 3.
Hast du eine Frage oder Feedback?
u=1−2−4 und v=−33−1 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
u∘v=1−2−4∘−33−1=1⋅(−3)+(−2)⋅3+(−4)⋅(−1)=−3−6+4=−5
Das Skalarprodukt von u und v ist also −5.
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u=3−40 und v=8112 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
u∘v=3−40∘8112=3⋅8+(−4)⋅1+0⋅12=24−4=20
Das Skalarprodukt von u und v ist also 20.
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u=10−1 und v=00−3 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
u∘v=10−1∘00−3=1⋅0+0⋅0+(−1)⋅(−3)=3
Das Skalarprodukt von u und v ist also 3.
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u=519 und v=28−2 .
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:
u∘v=519∘28−2=5⋅2+1⋅8+9⋅(−2)=10+8−18=0
Das Skalarprodukt von u und v ist also 0. Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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u=−539 und v=28−1 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel, erhältst du:
u∘v=−539∘28−1=(−5)⋅2+3⋅8+9⋅(−1)=−10+24−9=5
Das Skalarprodukt von u und v ist also 5.
Hast du eine Frage oder Feedback?
u=0,2535 und v=4−320,2 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel, erhältst du:
u∘v=0,2535∘4−320,2=0,25⋅4+3⋅(−32)+5⋅0,2=1−2+1=0
Das Skalarprodukt von u und v ist also 0. Die Vektoren stehen somit senkrecht aufeinander.
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- 2
Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
a=(−22) und b=(−1−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
a∘b=(−22)∘(−1−1)=(−2)⋅(−1)+2⋅(−1)=2−2=0
Das Skalarprodukt von a und b ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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a=(64) und b=(0.5−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
a⊙b=(64)⊙(0,5−1)=6⋅0,5+4⋅(−1)=3−4=−1
Das Skalarprodukt von a und b ist −1.Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.
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a=(2π7) und b=(−3.5π)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
a⊙b =(2π7)⊙ (−3.5π) =2π⋅(−3.5)+7⋅π=7π−7π=0
Das Skalarprodukt von a und b ist 0.Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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a=(6−3) und b=(22)
Orthogonalität von Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
a⊙b=(6−3)⊙(22)=6⋅2+(−3)⋅2=12−23
Falls du einen Taschenrechner benutzt, ist die Rechnung natürlich kein Problem. Mit einer kleinen Nebenrechnung kommst du aber auch ohne Nebenrechnung weiter.
Nebenrechnung: 23=4⋅3=4⋅3=12
Damit ergibt sich insgesamt: 12−23=12−12=0
Das Skalarprodukt von a und b ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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- 3
Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor und nicht der Nullvektor ist.
u=2−15
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v Null ist.
Es lässt sich (zur Vereinfachung) v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u∘v=2−15∘0v2v3=2⋅0+(−1)⋅v2+5⋅v3=−v2+5v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
v2=5v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=5 und v3=1. Du erhältst also:
v=051
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v∘u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅2+5⋅(−1)+1⋅5=0+(−5)+5=0
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u=1234
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=1234⊙0v2v3=12⋅0+3⋅v2+4⋅v3=3v2+4v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
3v2=−4v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=4 und v3=−3. Du erhältst also:
v=04−3
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅12+4⋅3+(−3)⋅4=0+12−12=0
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u=−231
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=−231⊙0v2v3=(−2)⋅0+3⋅v2+1⋅v3=3v2+v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
3v2=−v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=1 und v3=−3. Du erhältst also:
v=01−3
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅(−2)+1⋅3+1⋅(−3)=0+3+(−3)=0
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u=1−2−4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=1−2−4⊙0v2v3=1⋅0+(−2)⋅v2+(−4)⋅v3=−2v2−4v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
2v2=−4v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=−4 und v3=2. Du erhältst also:
v=0−42
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅1+(−4)⋅(−2)+2⋅(−4)=0+8+(−8)=0
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u=3−40
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v3=0 annehmen, wegen u3=0. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=3−40⊙v1v20=3⋅v1+(−4)⋅v2+0⋅0=3v1+(−4)v2
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
3v1=4v2
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=−4 und v2=−3. Du erhältst also:
v=−4−30
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=(−4)⋅3+(−3)⋅(−4)+0⋅0=(−12)+12+0=0
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u=10−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v2=0 annehmen, wegen u2=0. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=10−1⊙v10v3=1⋅v1+0⋅0+(−1)⋅v3=v1−v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
3v1=v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=1 und v2=1. Du erhältst also:
v=101
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=1⋅1+0⋅0+1⋅(−1)=1−1=0
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u=519
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=519⊙0v2v3=5⋅0+1⋅v2+9⋅v3=v2+9v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
v2=−9v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=−9 und v3=1. Du erhältst also:
v=0−91
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅5+(−9)⋅1+1⋅9=0+(−9)+9=0
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u=−139
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v2=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=−139⊙0v2v3=(−1)⋅v1+3⋅0+9⋅v3=−v1+9v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
v1=9v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=9 und v3=1. Du erhältst also:
v=901
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=9⋅(−1)+3⋅0+1⋅9=(−9)+0+9=0
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u=4−650.4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v2=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=4−650,4⊙v10v3=4⋅v1+(−65)⋅0+0,4⋅v3=4v1+0,4v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
v3=−10v1
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=1 und v3=−10. Du erhältst also:
v=10−10
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=1⋅4+(−65)⋅0+(−10)⋅0,4=4+0−4=0
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- 4
Bestimme jeweils das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:
v1=(−27) und v2=(53)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
a∘b=(a1a2)∘(b1b2)=a1⋅b1+a2⋅b2.Hier also:
v1∘v2=(−27)∘(53)=(−2)⋅5+7⋅3=−10+21=11.Das heißt: Das Skalarprodukt von v1 und v2 ist 11.
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w1=(13) und w2=(−93)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
a∘b=(a1a2)∘(b1b2)=a1⋅b1+a2⋅b2.Hier also:
w1∘w2=(13)∘(−93)=1⋅(−9)+3⋅3=−9+9=0Hier stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, da das Skalarprodukt 0 ist.
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c1=(−81) und c2=(06)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
a⊙b=(a1a2)⊙(b1b2)=a1⋅b1+a2⋅b2.Hier also:
c1⊙c2=(−81)⊙(06)=(−8)⋅0+1⋅6=6Das Skalarprodukt von c1 und c2 ist 6.
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d1=(0107) und d2=(−3420)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
a⊙b=(a1a2)⊙(b1b2)=a1⋅b1+a2⋅b2.Hier also:
d1⊙d2=(0107)⊙(−3420)=0⋅(−342)+107⋅0=0.Das Skalarprodukt von d1 und d2 ist 0. Die Vektoren stehen somit senkrecht aufeinander.
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u=(0,5−1) und v=(42)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Benutze die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts:
u∘v