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Gemischte Aufgaben zu Abbildungen in der Ebene

  1. 1

    Verschiebe den Punkt A(32)A(3|2) um den Vektor v=(14)\vec v=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix} zu AA' und strecke anschließend den Ortsvektor OA\overrightarrow{OA'} um den Faktor k=12k=\frac12. Gib die Koordinaten des Punktes AA^* an, der sich bei dieser Streckung ergibt.

  2. 2

    Die Gerade hh mit der Gleichung y=xy=x (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}) ist Symmetrieachse von Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n. Die Diagonalen [BnDn][B_nD_n] der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n liegen auf der Geraden hh. Die Punkte An(x2x+3)A_n(x|2x+3) liegen auf der Geraden gg mit der Gleichung y=2x+3y=2x+3 (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Die Abszisse der Punkte DnD_n ist stets um vier größer als die Abszisse xx der Punkte AnA_n. Dabei gilt: x]x \in ]-3;5[3 ; 5[.

    Runde im folgenden auf zwei Nachkommastellen!

    1. Zeichne die Geraden gg und hh sowie die Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=0,5x=-0{,}5 und die Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=2,5x=2{,}5 in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm1 cm; 4x9;3y9-4\leq x \leq 9; -3\leq y \leq 9.

    2. Zeige, dass für die Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4)! Bestätige sodann durch Rechnung die untere Intervallgrenze x=3x=-3 der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n!

    3. Begründe, warum sich für [AnDn]h[A_nD_n]\perp h die obere Intervallgrenze x=5x=5 ergibt und bestätige diese durch Rechnung!

    4. Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n!

    5. Berechne den Flächeninhalt AA der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n!

    6. Die Seite [C3D3][C_3D_3] der Raute A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 verläuft senkrecht zur xx-Achse. Berechne die Koordinaten des Punktes D3D_3!

    7. In der Raute A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 hat die Diagonale [A4C4][A_4C_4] die gleiche Länge wie die Seite [A4D4][A_4D_4]. Begründe, dass für die Diagonale [B4D4][B_4D_4] gilt: B4D4=A4D43\overline{B_4D_4}=\overline{A_4D_4}\cdot \sqrt3!

  3. 3

    Die Eckpunkte CnC_n der Drachenvierecke ABnCnDnAB_nC_nD_n liegen auf der Geraden g mit y=0,5x+6,5y=0{,}5x+6{,}5. Die Punkte ZnZ_n sind die Diagonalenschnittpunkte, die Geraden ACnAC_n sind die Symmetrieachsen der Drachenvierecke.

    Es gilt: A(00)A(0|0); DnABn=90;AZn:ZnCn=3:2\sphericalangle D_nAB_n=90^\circ; \overline{AZ_n} : \overline {Z_nC_n}=3:2

    1. Zeichne die Drachenvierecke AB1C1D1AB_1C_1D_1 und AB2C2D2AB_2C_2D_2 für x=2x=-2 und x=1x=1 in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung:

      6x6;1y9-6 \leqq x \leqq 6; -1 \leqq y \leqq 9

      1LE=^1cm1 \,LE \,\, \widehat{=} \, 1 \,\, cm

    2. Berechne die Koordinaten der Punkte ZnZ_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte CnC_n!

    3. Zeige, dass gilt: AZn:ABn=1:2\overline{AZ_n} : \overline{AB_n} = 1 : \sqrt2!

    4. Ermittle die Gleichung des Trägergraphen tt der Punkte BnB_n!

    5. Berechne den Wert für xx, für den die Symmetrieachse AC3AC_3 senkrecht zur Geraden gg steht!

    6. Unter den Drachenvierecken ABnCnDnAB_nC_nD_n besitzt das Drachenviereck AB0C0D0AB_0C_0D_0 einen extremen Flächeninhalt. Berechnen sie dazu die xx-Koordinate des Punktes B0B_0!

    7. Der Punkt Z4Z_4 liegt auf der Parabel pp mit y=116x2+12x+4,5y=-\frac{1}{16}x^2+\frac{1}{2}x+4{,}5.

      Berechne die Koordinaten des Punktes C4C_4 und das Maß des Winkels D4C4B4\sphericalangle D_4C_4B_4!


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