Aufgaben zur zentrischen Streckung

1
Strecke den Punkt $A$ um den Faktor $k$ um den Ursprung
1. $A (2 ∣ 3), k = 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& k\cdot x\\y' &=& k\cdot y\end{array}$
  Setze den Faktor $k = 2$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& 2\cdot x\\y' &=& 2\cdot y\end{array}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $A = (2 ∣ 3)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& 2\cdot 2 &=& 4\\y' &=& 2\cdot 3 &=& 6\end{array}$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k & 0\\0 & k\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze den Faktor $k = 2$ in die Matrix ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze die Koordinaten des Punkte $A = (2 ∣ 3)$ .
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$
  Führe Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$
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2. $A (4 ∣ - 1), k = - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& k\cdot x\\y' &=& k\cdot y\end{array}$
  Setze den Faktor $k = - 1$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& -1\cdot x\\y' &=& -1\cdot y\end{array}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $A = (4 ∣ - 1)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& -1\cdot 4 &=& -4\\y' &=& -1\cdot (-1) &=& 1\end{array}$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k & 0\\0 & k\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze den Faktor $k = - 1$ in die Matrix ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze die Koordinaten des Punkte $A = (4 ∣ - 1)$ .
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-4\\1\end{pmatrix}$
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3. $A (5 ∣ 1), k = 0,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $x'=k\cdot x$
  $y'=k\cdot y$
  Setze den Faktor $k = - 1$ in das Gleichungssystem ein.
  $x'=0{,}5\cdot x$
  $y'=0{,}5\cdot y$
  Setze die Koordinaten des Punktes $A = (5 ∣ 1)$ in das Gleichungssystem ein.
  $x'=0{,}5\cdot5=2{,}5$
  $y'=0{,}5\cdot 1=0{,}5$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze den Faktor $k = 0,5$ in die Matrix ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}5&0\\0&0{,}5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze die Koordinaten des Punkte A=(5|1).
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}5&0\\0&0{,}5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}$
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4. $A\left(\frac{3}{4}|-1\right), k=-\frac{4}{5}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $x'=k\cdot x$
  $y'=k\cdot y$
  Setze den Faktor $k=-\frac{4}{5}$ in das Gleichungssystem ein.
  $x'=-\frac{4}{5}\cdot x$
  $y'=-\frac{4}{5}\cdot y$
  Setze die Koordinaten des Punktes $A=\left(\frac{3}{4}|−1\right)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=&-\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4}&=& -\frac{3}{5}\\y'&=&-\frac{4}{5}\cdot (-1)&= & \frac{4}{5}\end{array}$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze den Faktor $k=−\frac45$ in die Matrix ein.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{4}{5}&0\\0&-\frac{4}{5}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
  Setze die Koordinaten des Punkte $A=\left(\frac34|−1\right)$ .
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{4}{5}&0\\0&-\frac{4}{5}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac34\\-1\end{pmatrix}$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}\end{pmatrix}$
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Strecke die Gerade, die durch die Gleichung $2\cdot x+3\cdot y=6$ gegeben ist, um den Faktor $k = - 2$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung

$2\cdot x + 3 \cdot y = 6$

Wähle zwei Punkte auf der Geraden, zum Beispiel den $x$ - und den $y$ -Achsenabschnitt.

$A (0 ∣ 2)$ und $B (3 ∣ 0)$

Strecke die Punkte $A$ und $B$ um den Faktor $k = - 2$ .

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\displaystyle x_{A'}$	$=$	$\displaystyle k \cdot x_A$
$\displaystyle y_{A'}$	$=$	$\displaystyle k\cdot y_A$
$\displaystyle x_{B'}$	$=$	$\displaystyle k \cdot x_B$
$\displaystyle y_{B'}$	$=$	$\displaystyle k\cdot y_B$

Setze den Faktor $k = - 2$ in das Gleichungssystem ein.

$\displaystyle x_{A'}$	$=$	$\displaystyle -2 \cdot x_A$
$\displaystyle y_{A'}$	$=$	$\displaystyle -2\cdot y_A$
$\displaystyle x_{B'}$	$=$	$\displaystyle -2 \cdot x_B$
$\displaystyle y_{B'}$	$=$	$\displaystyle -2\cdot y_B$

Setze die Koordinaten der Punkte $A (0 ∣ 2)$ und $B (3 ∣ 0)$

$\displaystyle x_{A'}$	$=$	$\displaystyle -2 \cdot 0$
$\displaystyle y_{A'}$	$=$	$\displaystyle -2\cdot 2$
$\displaystyle x_{B'}$	$=$	$\displaystyle -2 \cdot 3$
$\displaystyle y_{B'}$	$=$	$\displaystyle -2\cdot 0$

Damit sind die gestreckten Punkte $A^{'} (0 ∣ - 4)$ und $B^{'} (- 6 ∣ 0)$ .

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$\begin{pmatrix}x_{A'}\\y_{A'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k & 0 \\0 & k\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_A\\y_A\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x_{B'}\\y_{B'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k & 0 \\0 & k\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_B\\y_B\end{pmatrix}$

Setze den Faktor $k = - 2$ in die Matrizen ein.

$\begin{pmatrix}x_{A'}\\y_{A'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 0 \\0 & -2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_A\\y_A\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x_{B'}\\y_{B'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 0 \\0 & -2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_B\\y_B\end{pmatrix}$

Setze die Koordinaten der Punkte $A (0 ∣ 2)$ und $B (3 ∣ 0)$ in die Vektoren ein.

$\begin{pmatrix}x_{A'}\\y_{A'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 0 \\0 & -2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x_{B'}\\y_{B'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 0 \\0 & -2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikationen aus.

$\begin{pmatrix}x_{A'}\\y_{A'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x_{B'}\\y_{B'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\0\end{pmatrix}$

Damit sind die gestreckten Punkte $A^{'} (0 ∣ - 4)$ und $B^{'} (- 6 ∣ 0)$ .

Aufstellen der Geradengleichung:

$y=m\cdot x + t$

Den $y$ -Achsenabschnitt $t$ kannst du von dem Punkt $A^{'} (0 ∣ - 4)$ ablesen.

$t = - 4$ $\Rightarrow y = m\cdot x -4$

Die Steigung $m$ kannst du durch die Koordinaten der Punkte $A^{'}$ und $B^{'}$ bestimmen.

$m = \frac{-4}{-6} = \frac23 \Rightarrow y = \frac23 \cdot x -4 \Leftrightarrow \frac23 \cdot x- y = 4$

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Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

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Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

Aufstellen der Geradengleichung: