Aufgaben
Berechne die Länge bzw. den Betrag des Vektors.
u=(215)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(215)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=22+(1)2+52=4+1+25=305,48\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}=\sqrt{4+1+25}=\sqrt{30}\approx 5,48
u=(1234)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(1234)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=122+32+42=144+9+16=13\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{12^2+3^2+4^2}=\sqrt{144+9+16}=13
u=(231)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(231)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=(2)2+32+12=4+9+1=143,74\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\approx 3,74
u=(124)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(124)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=12+(2)2+(4)2=1+4+16=214,58\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}\approx 4,58
u=(340)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(340)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=32+(4)2+02=9+16=5\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}=\sqrt{9+16}=5
u=(101)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(101)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=12+02+(1)2=21,41\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2\approx 1,41
u=(519)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(519)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=52+12+92=25+1+81=10710,34\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{5^2+1^2+9^2}=\sqrt{25+1+81}=\sqrt{107}\approx 10,34
u=(539)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(539)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=(5)2+32+92=25+9+81=11510,72\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{(-5)^2+3^2+9^2}=\sqrt{25+9+81}=\sqrt{115}\approx 10,72
u=(4230.2)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac23\\0.2\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(4230.2)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac23\\0.2\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=42+(23)2+0.22=16+49+0.044,06\displaystyle\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{4^2+\left(-{\frac23}\right)^2+0.2^2}=\sqrt{16+{\frac49}+0.04}\approx4,06
Berechne die Länge des Vektors:
v=(34)\vec v = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

v=(34)\vec v = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}
Bestimme die Länge mittels Satz des Pythagoras.
Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
v=(34)=32+42=9+16=25=5\begin{array}{rcl} \left| \vec v \right| = \left| \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} \right| &=& \sqrt{3^2+4^2} \\&=& \sqrt{9+16} \\&=& \sqrt{25} \\&=&5 \end{array}
v=(32)\vec v =\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

v=(32)\vec v = \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}
Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.
Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
v=(32)=32+(2)2=9+4=133,6\begin{array}{rcl} \left| \vec v \right| = \left| \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix} \right| &=& \sqrt{3^2+(-2)^2} \\&=& \sqrt{9+4} \\&=& \sqrt{13} \\&\approx& 3{,}6 \end{array}
v=(80) \vec v = \begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

v=(80)\vec v = \begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}
Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras
Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
v=(80)=82+(0)2=64+0=64=8\begin{array}{rcl} \left| \vec v \right| = \left| \begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix} \right| &=& \sqrt{8^2+(0)^2} \\&=& \sqrt{64+0} \\&=& \sqrt{64} \\&=& 8 \end{array}
v=(55)\vec v = \begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

v=(55)\vec v = \begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}
Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.
Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
v=(55)=(5)2+(5)2=25+25=252=52\begin{array}{rcl} \left| \vec v \right| = \left| \begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix} \right| &=& \sqrt{(-5)^2+(5)^2} \\&=& \sqrt{25+25} \\&=& \sqrt{25\cdot2} \\&=& 5\sqrt2 \end{array}
Lässt sich der Vektor w\vec{w} durch eine Streckung des Vektors v\vec{v} erzeugen? Wenn ja, bestimme den Faktor kk, um den v\vec{v} gestreckt wurde.
v=(25)\vec v = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} und w=(615)\vec w = \begin{pmatrix}-6\\-15\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen

Prüfe, ob die Formel w=kvw⃗ =k⋅ v⃗ für ein k erfüllt werden kann.
(615)=k (25)\begin{pmatrix}-6\\-15\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} \\
\,
Prüfe nun für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.
Für die x-Kompenente soll gelten:
6=k2k=6:2=3-6 = k \cdot 2 \\ k=-6: 2 =-3
Für die y-Komponente soll gelten:
15=k5k=15:5=3-15 = k \cdot 5 \\ k=-15:5=-3
k=3\Rightarrow\,k = -3
Für beide Gleichungen kommt dasselbe Ergebnis heraus. Das heißt, dass der Vektor w\vec w aus v\vec v durch Streckung um 3-3 entsteht.
v=(531)\vec v = \begin{pmatrix}-5\\31\end{pmatrix} und w=(17)\vec w = \begin{pmatrix}1\\-7\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen

Prüfe, ob die Formel w=kv \,\vec w = k \cdot \vec v \ \\ für ein kk erfüllt werden kann.
(17)=k (531)\begin{pmatrix}1\\-7\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}-5\\31\end{pmatrix} \\
Prüfe für jede Komponente des Vektors, ob diese Gleichung erfüllt werden kann:
Für die x-Komponente soll gelten:
1=k(5)k=151 = k \cdot (-5) \\k=-\frac15
Für die y-Komponente soll gelten:
7=k31k=731-7 = k \cdot 31\\ k=-\frac{7}{31}
15731\Rightarrow-\frac1 5 ≠ -\frac{7}{31}
Du erhältst für kk zwei verschiedene Werte.
Der Vektor w\vec{w} kann also nicht durch eine Streckung der Vektors v\vec v um eine reelle Zahl kk erzeugt werden.
Die Vektoren v\vec{v} und w\vec{w} zeigen somit weder in die gleiche noch in die entgegengesetzte Richtung.
v=(06,75)\vec v = \begin{pmatrix}0\\6,75\end{pmatrix} und w=(0576)\vec w = \begin{pmatrix}0\\-576\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen

Prüfe, ob die Formel w=kv\,\vec w = k \cdot \vec v \,\, für ein k erfüllt werden kann.
(0576)=k (06,75)\begin{pmatrix}0\\-576\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}0\\6,75\end{pmatrix} \\
Prüfe für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.
Für die x-Kompenente soll gelten:
0=k00 = k \cdot 0
\,Diese Gleichung ist für alle reellen Zahlen erfüllt.
Für die y-Komponente soll gelten:
576=k6,75-576 = k \cdot 6,75
k=2563k=-\frac{256}{3}
Da die erste Gleichung für beliebige reelle Zahlen erfüllt ist, gilt sie insbesondere auch für k=2563k= -\frac{256}{3}. Dies ist also der gesuchte Streckungsfaktor.
\Rightarrow Das heißt, dass der Vektor w\vec w aus v\vec v durch Streckung um k=2563k = -\frac{256}{3} entsteht.
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