Termumformung mit Zahlen

Dieser Artikel befasst sich mit Termen, in denen neben Rechenzeichen ausschließlich Zahlen, aber keine Variablen vorkommen. Im Artikel Termumformung mit Variablen werden Terme mit (mehreren) Variablen behandelt.

Termumformung bezeichnet das Verändern der Gestalt eines Terms, bei dem sich dessen Wert aber nicht ändert.

Man benötigt das Umformen von Termen zum Beispiel zum geschickten Rechnen.

Umordnen

Aufgrund des Kommutativgesetzes darf man die Summanden bzw. Faktoren eines Terms beliebig vertauschen. Dies kann das Berechnen des Werts des Terms vereinfachen:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lccc}&37+56&+&23+891&-&6-231\\=&37+23&+&56-6&+&891-231\\=&60&+&50&+&660\\=&770\end{array}

Klammern auflösen

In Termen gibt es häufig Klammern. Es gibt mehrere Wege, mit Klammern umzugehen.

Klammern zuerst berechnen

Klammern zeigen an, dass der Ausdruck in ihnen zuerst berechnet werden soll. Das ist beispielsweise bei der Punkt-vor-Strich-Regel wichtig:

Beispiel


Wegen "Punkt vor Strich" wird zuerst $13\cdot 12$ berechnet. Dann wird $7$ vom Ergebnis subtrahiert.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&13\cdot 12-7\\=&156-7\\=&149\end{array}$
Hier steht die Differenz in Klammern, deswegen wird zuerst $12-7$ gerechnet. Dann wird das Ergebnis mit $13$ multipliziert.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&13\cdot (12-7)\\=&13\cdot5\\=&65\end{array}$

Ausmultiplizieren

In manchen Fällen kann es auch geschickter sein, die Klammer auszumultiplizieren.

Beispiel


Hier wurde die Strategie "Klammer zuerst" angewendet. Deswegen muss man die relativ schwierige Multiplikation $25\cdot14$ durchführen.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&25\cdot (10+4)\\=&25\cdot14\\=&350\end{array}$
Geschickter ist es hier, das Distributivgesetz anzuwenden. So sind die Rechnungen weniger schwierig.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&25\cdot (10+4)\\=&25\cdot10+25\cdot4\\=&250+100\\=&350\end{array}$

Spezialfall Minusklammer

Eine Minusklammer ist genau genommen ein Term, der mit $-1$ multipliziert wird. Will man den Term in der Klammer nicht zuerst berechnen, kann man den ganzen Ausdruck gemäß dem Distributivgesetzes ausmultiplizieren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&-\left(12-15\right)\\=&-1\cdot\left(12-15\right)\\=&-1\cdot12+(-1)\cdot\left(-15\right)\\=&-12+15\end{array}$

Schneller ist die Merkregel: Bei "Minus" vor der Klammer drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lccc}&37+56&+&23+891&-&6-231\\=&37+23&+&56-6&+&891-231\\=&60&+&50&+&660\\=&770\end{array}

"Klammer mal Klammer"

Das Multiplizieren mehrerer Klammern, in denen Summen (oder Differenzen) stehen, kann ebenfalls als Sonderfall des Distributivgesetzes angesehen werden.

Beispiel


Man lässt die erste Klammer "fest" und multipliziert sie mit der zweiten Klammer gemäß des Distributivgesetzes.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\hphantom{=}&\left(10+2\right)\cdot(100-5)\end{array}$
Dann wendet man das Distributivgesetz wieder an, um die letzten beiden Klammern auszumultiplizieren.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&\left(10+2\right)\cdot 100+\left(10+2\right)\cdot(-5)\end{array}$
	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}=&10\cdot 100+2\cdot 100 +10\cdot(-5)+2\cdot(-5)\\=&1000+200-50-10=1140\end{array}$

Assoziativgesetz

In Fällen gemäß dem Assoziativgesetz dürfen Klammern auch einfach weggelassen werden.

Beispielaufgabe


Man kann zunächst $7\cdot(3-19)$ mit dem Distributivgesetz auflösen.	$\hphantom{=}[7\cdot(3-19)+37]-(17+41)$
Die eckige Klammer kann man weglassen, die runde Klammer wird gemäß der Merkregel für Minusklammern aufgelöst.	$=[21-133+37]-(17+41)$
Die Summanden ordnet man dann so um, dass ein geschicktes Rechnen möglich ist. Um anzuzeigen, was man zuerst berechnet, kann man Klammern setzen.	$=21-133+37-17-41$
Nun kann man den Wert des Terms berechnen.	$=(21-41)+(37-17)-133$
	$=(-20+20)-133=-133$

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