Aufgaben zur Konstruktion von geometrischen Objekten

1
Teile die Strecken im angegebenen Verhältnis und bestimme die Längen der Teilstrecken.
1. $\overline{AB}=10cm$ im Verhältnis 1:4
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilung von Strecken
  Schritt 1
  Zeichne eine Gerade durch den Punkt A
  Schritt 2
  Zeichne einen Kreis um A mit irgendeinem Radius r und markiere den Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden.
  Schritt 3
  Zeichne einen Kreis mit gleich großem Radius um den gerade erhaltenen Schnittpunkt. Wiederhole dies so oft bis du insgesamt 4+1=5 Schnittpunkte hast.
  Schritt 4
  Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt B.
  Schritt 5
  Konstruiere eine Parallele zu der eben gezeichneten Strecke durch den 1. Schnittpunkt. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Strecke [AB] ist der Punkt T, der die Strecke im Verhältnis 1:4 teilt.
  Die Länge der Teilstrecken $\overline{TA}$ und $\overline{TB}$ berechnet man mit der Formel: $\overline{TA}=\frac a{a+b}\cdot\overline{AB}$ und $\overline{TB}=\frac b{a+b}\cdot\overline{AB}$
  $a=1$ , $b=4$ und $\overline{AB}=10cm$
  $\overline{TA}=\frac1{1+4}\cdot10cm=\frac15\cdot10cm=2cm$
  $\overline{TB}=\frac4{1+4}\cdot10cm=\frac45\cdot10cm=8cm$
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2. $\overline{CD}=12cm$ im Verhältnis 4:2
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilung von Strecken
  Schritt 1
  Zeichne eine Gerade durch den Punkt C
  Schritt 2
  Zeichne einen Kreis um C mit irgendeinem Radius r und makiere den Schnittpunk des Kreises mit der Gerade.
  Schritt 3
  Zeichne einen Kreis mit gleich großem Radius um den gerade erhaltenen Schnittpunkt. Wiederhole dies so oft bis du insgesamt 4+2=6 Schnittpunkte hast.
  Schritt 4
  Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt D.
  Schritt 5
  Konstruiere eine Parallele zu der eben gezeichneten Strecke durch den 4. Schnittpunkt. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Strecke [CD] ist der Punkt T, der die Strecke im Verhältnis 4:2 teilt.
  Die Länge der Teilstrecken $\overline{TC}$ und $\overline{TD}$ berechnet man mit der Formel: $\overline{TC}=\frac a{a+b}\cdot\overline{CD}$ und $\overline{TD}=\frac b{a+b}\cdot\overline{CD}$
  a=4, b=2 und $\overline{CD}=12cm$
  $\overline{TC}=\frac4{4+2}\cdot12cm=\frac46\cdot12cm=8cm$
  $\overline{TD}=\frac2{4+2}\cdot10cm=\frac26\cdot12cm=4cm$
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2
Entscheide, ob man aus folgenden Angaben eindeutig Dreiecke konstruieren kann.
Und wenn ja, konstruiere das Dreieck.
1. $c=5\;cm\;;\;\alpha=50^\circ\;;\;\beta=60^\circ$
  Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
  Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion von Dreiecken
  Skizze anfertigen
  Benenne ein beliebiges Dreieck
  Markiere die bekannten Größen. Man sieht in der Skizze, dass das Dreieck die Voraussetzung des WSW-Satzes erfüllt. Deshalb ist es eindeutig konstruierbar.
  Dreieck konstruieren
  Hier findest du das Applet zur Konstruktion mithilfe des WSW-Satzes.
  Zeichne eine Gerade und auf ihr irgendwo den Punkt A ein.
  Zeichne einen Kreis um A, dessen Radius genauso groß ist wie die Länge der Seite c.
  Der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden ist der Punkt B.
  Zeichne an A einen 50° Winkel.
  Zeichne an B einen 60° Winkel.
  Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist der Punkt C des Dreiecks.
  Somit hat man das Dreieck eindeutig konstruiert.
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2. $a=3cm\;;\;b=5cm;\;\;\gamma=30^\circ$
  Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
  Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion von Dreiecken
  Skizze anfertigen
  Benenne ein beliebiges Dreieck
  Markiere die bekannten Größen.
  Man sieht in der Skizze, dass das Dreieck die Voraussetzung des SWS-Satzes erfüllt.
  Deshalb ist es eindeutig konstruierbar.
  Dreieck konstruieren
  Hier findest du ein Applet zur Konstruktion mithilfe des SWS-Satzes.
  Zeichne eine Gerade und auf ihr irgendwo den Punkt C ein.
  Zeichne einen Kreis um C, dessen Radius genauso groß ist wie die Länge der Seite b.
  Der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden ist der Punkt A.
  Konstruiere an C einen 30° Winkel .
  Zeichne um C einen Kreis, dessen Radius so groß ist wie die Seite a.
  Der Schnittpunkt des Kreises mit dem eben konstruierten Schenkel ist der Punkt B.
  Verbinde die Punkte A und B. Diese Strecke ist die Seite c.
  Das Dreieck ABC ist das gesuchte Dreieck.
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3. $a=5\text{cm}\;;\;b=4\text{cm}\;;\;\;\alpha=45^\circ$
  Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
  Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion von Dreiecken
  Skizze anfertigen
  Benenne ein beliebiges Dreieck und markiere die bekannten Größen.
  Laut Skizze kommt nur der SsW-Satz in Frage. Es muss also noch überprüft werden, ob die Seite, die dem gegebenen Winkel gegenüberliegt größer ist als die andere Seite.
  Laut Angabe ist $a>b$ , weshalb die Voraussetzung des SsW-Satzes erfüllt ist.
  Deshalb ist es eindeutig konstruierbar.
  (VORSICHT: Würde man nur die Skizze betrachten, wäre $a<b$ )
  Dreieck konstruieren
  Hier findest du ein Applet zur Konstruktion mithilfe des SsW-Satzes.
  Zeichne einen Strahl von einem Punkt $A$ aus und konstruiere einen Winkel von $45^\circ$ mit dem Scheitel bei $A$ .
  Der Punkt $C$ liegt auf dem zweiten Schenkel des Winkels $4$ cm von $A$ entfernt.
  Zeichne einen Kreis um $C$ mit dem Radius $5$ cm. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit dem Strahl von $A$ aus ist der Punkt $B.$
  Die Strecke AB ist die Seite c.
  Verbinde den Punkt $B$ mit dem Punkt $C$ . Diese Strecke ist die Seite $a$ .
  Das Dreieck $ABC$ ist das gesuchte Dreieck
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4. $a=3cm\;;\;b=4cm\;;\;c=8cm$
  Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
  Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion von Dreiecken
  Skizze anfertigen
  Benenne ein beliebiges Dreieck
  Markiere die bekannten Größen.
  Man sieht in der Skizze, dass das Dreieck die Voraussetzung des SSS-Satzes erfüllt.
  Deshalb wäre es eindeutig konstruierbar.
  ABER:
  Artikel zum Thema
  Dreiecksungleichung überprüfen
  $a = 3cm$
  $b = 4cm$
  $a + b = 3cm + 4cm = 7cm$
  aber:
  $c=8cm$
  $\rightarrow c>a+b$
  Da die Seite c größer als die Summe der anderen beiden Seiten ist, existiert dieses Dreieck nicht!
  Versucht man das Dreieck dennoch zu konstruieren (ohne die Dreiecksungleichung beachtet zu haben), stellt man fest, dass sich die Kreise die den Seiten a und b entsprechen nicht schneiden, es also kein Punkt C gibt.
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Konstruiere einen $52{,}5°$ - Winkel nur mit Zirkel und Lineal.

4
Zeichne ein beliebiges Dreieck (wie im Bild rechts).
Konstruiere dann nacheinander folgende Linien:
Alle drei Mittelsenkrechten und den Umkreis.
Alle drei Winkelhalbierenden und den Inkreis
Alle drei Höhen.
Alle drei Seitenhalbierenden.
Teilaufgabe a
Schritt 1
Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke $\lbrack\mathrm A,\mathrm B\rbrack$ wie im Artikel erklärt.
Schritt 2
Konstruiere die Mittelsenkrechten der Strecken $\lbrack\mathrm A,\mathrm C\rbrack$ und $\lbrack\mathrm B,\mathrm C\rbrack$ wie in Schritt 1.
Schritt 3
Erhalte M als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Schritt 4
Erhalte den Umkreis als Kreis um den Mittelpunkt M mit Radius $\overline{\lbrack\mathrm M,\mathrm B\rbrack}$ .
Teilaufgabe b
Schritt 1
Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels bei A wie im Artikel beschrieben.
Schritt 2
Wiederhole Schritt 1 für die Punkte B,C. Erhalte V als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Schritt 3
Ziehe einen Kreis um V mit Radius $\overline{\lbrack\mathrm{VW}\rbrack}$ . Dies ist der Inkreis.
Teilaufgabe c
Schritt 1
Konstruiere das Lot durch C auf die Strecke [AB] wie im Artikel beschrieben.
Schritt 2
Konstruiere die anderen Höhen wie in Schritt 1.
Teilaufgabe d
Schritt 1
Konstruiere die Seitenhalbierende der Strecke [AB] wie im Artikel beschrieben.
Schritt 2
Konstruiere die Seitenhalbierenden der Strecken [BC] und [AC] wie in Schritt 1.
5
Das Quadrat $ABCD$ ist durch die Koordinaten von $A=(1|3)$ und $C=(6|6)$ eindeutig festgelegt.
1. Konstruiere die fehlenden Punkte $B$ und $D$ . Zeichne das Quadrat.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion von n-Ecken
  Konstruiere die Mittelsenkrechte durch die Strecke $\left[\mathrm A,\mathrm C\right]$ .
  Konstruiere einen Kreis um $M$ mit Radius $\overline{\left[\mathrm A,\mathrm M\right]}$ .
  
  Erhalte $B$ und $D$ als Schnittpunkte des Kreises mit der Mittelsenkrechte.
  Verbinde $A,B,C,D$ und erhalte das Quadrat $ABCD$ .
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2. Berechne den Schnittpunkt der Diagonalen und gib ihn in das Eingabefeld ein.
  Punkte kannst du wie "(3;-2,5)" in das Eingabefeld eingeben.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion von n-Ecken
  Wir bezeichnen $M$ als den Schnittpunkt der Diagonalen. Wir wissen: Die Diagonalen eines Quadrates schneiden sich gegenseitig in der Mitte. D.h. wir bekommen $M$ als den Mittelpunkt der Strecke [ $A,C$ ]. Wir können $M$ also berechnen, indem wir an den Punkt $A$ die Hälfte der Strecke $AC$ anhängen.
  $\mathrm M=\mathrm A+\frac12\cdot(\mathrm C-\mathrm A)=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\frac12\cdot\left[\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\frac12\cdot\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}5\\4{,}5\end{pmatrix}$
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6
Führe die folgenden Konstruktionen durch und achte dabei darauf, dass sämtliche Konstruktionslinien deutlichen erkennbar sind. Schreibe die einzelnen Konstruktionsschritte auf.
1. Zeichne einen Kreis $K$ mit dem Radius $4~\text{cm}$ und in diesen Kreis eine Sehne $s$ der Länge $7~\text{cm}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion von geometrischen Objekten
  Konstruktion der Sehne $s$ :
  Konstruktion des Kreises K (schwarz) mit dem Radius $r= 4 \, cm$ und dem Mittelpunkt $M$ .
  Zirkel entsprechend der Strecke $7 cm$ einstellen.
  Beliebig in den Umfang des Kreises K einstechen (hier: Punkt $E$ ) und Strecke $7 \, cm$ mit dem Zirkel abtragen (hier: größtenteils eingezeichnet).
  Einen der Schnittpunkte vom Kreis K und dem Zirkelradius $7 \, cm$ als weiteren Punkt wählen und mit dem Einstichpunkt verbinden (hier wurde der Schnittpunkt rechts vom Einstichpunkt $E$ gewählt).
  $\Rightarrow\;$ Sehne s mit $7 \, cm$ (blau)
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2. Konstruiere alle Sekanten durch $K$ , die mit $s$ einen Winkel von $70$ Grad einschließen und die Länge $5 \, cm$ besitzen.
  
  Einzeichnen der Gerade $g$ , die mit $s$ einen Winkel $70^\circ$ einschließt.
  An einem der beiden Punkte der vorher konstruierten Sehne, den Winkel $70^\circ$ abtragen.
  Gerade $g$ (grün), die den Winkel $70^\circ$ einschließt, zeichnen.
  Parallele der Gerade $g$ (ebenfalls grün), die durch den Kreismittelpunkt $M$ geht, einzeichnen.
  Kreis $K_{2}$ (lila) mit dem Radius $5 \, cm$ um den Mittelpunkt $M$ des ersten Kreises K konstruieren.
  Beliebig in einen Punkt (hier: $H$ ) auf dem Umfang des Kreises $K_{2}$ einstechen und einen Kreis $K_{3}$ mit $r = 4 \, cm$ (hier nur gestrichelt und in grau) konstruieren und $\overline{MH}=\;5\;cm$ einzeichen.
  Schnittpunkte des Kreis $K_{3}$ mit dem Kreis K benennen (Hier: $K,L$ ).
  Die Strecken $\overline{HK\;}bzw.\;\overline{HL}$ einzeichnen.
  Zu jeder dieser beiden Punkten jeweils eine Parallele zu der Strecke $\overline{HM}$ konstruieren (Hier: jeweils grau).
  Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem Kreis K mit z.B. $G$ und $J$ benennen.
  Diese Schnittpunkte mit jeweils $K$ bzw. $L$ verbinden.
  $\Rightarrow$ $\overline{KG\;}=5\,cm$ bzw. $\,\overline{LJ}=5\;cm\;$ sind somit die gesuchten Sekanten.
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7
Zeichne die Punkte $S_1(1|-1), A(-3|-1), U(-3|1), T(-1|1), O(0|2)$ und $S_2(1|2)$ in ein Koordinatensystem mit der Einheit $1\ cm$ .
1. Füge im Koordinatensystem einen nach oben geöffneten Halbkreis mit Mittelpunkt $M(-1|-1)$ und Radius $1\ cm$ hinzu.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatensystem
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2. Spiegle die Punkte $AUTO$ und den Halbkreis an der Gerade $S_1S_2$ . Zeichne das Auto ein!
  
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3. Verschiebe das Auto im Koordinatensystem um 2 Einheiten nach links und 5 Einheiten nach oben. Gib die Koordinaten der neu entstandenen Punkte an.
  
  $S_{1,neu}(-1|4), S_{2,neu}(-1|7), A_{neu}(-5|4), A_{neu}′(3∣4), U_{neu}(-5|6), U'_{neu}(3|6), T_{neu}(-3|6), T'_{neu}(1|6), O_{neu}(-2|7), O'_{neu}(0|7)$
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4. Formuliere eine Regel, wie man die Koordinaten der verschobenen Punkte berechnen kann.
  
  Verschiebung um n Einheiten nach links: n von x-Koordinate subtrahieren
  Verschiebung um n Einheiten nach rechts: n zur x-Koordinate addieren
  Verschiebung um n Einheiten nach unten: n von y-Koordinate subtrahieren
  Verschiebung um n Einheiten nach oben: n zur y-Koordinate addieren
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5. Welche Koordinaten haben die Punkte, wenn das Auto um 13 Einheiten nach rechts und um 7 Einheiten nach unten verschoben wird?
  
  $S_{1,neu_2}(14|-8),S_{2, neu_2}(14|-5),A_{neu_2}(10|-8),A'_{neu_2}(18|-8),U_{ne_u2}(10|-6),U'_{neu_2}(18|-6),T_{neu_2}(12|-6),T'_{neu_2}(16|-6),O_{neu_2}(13|-5),O'_{neu_2}(15|-5)$
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8
Gegeben ist eine Schar von (unendlich vielen) Vierecken $A_nBCD$ .
Alle Punkte $A_n(x|y)$ liegen auf der Geraden $g$ . Unter $x$ verstehen wir die $x$ -Koordinate eines Punktes $A_n$ . Unter $y$ seine $y$ -Koordinate.
1. Konstruiere das Viereck $A_1BCD$ , für $x = 2$ . Was ist die y-Koordinate des Punktes $A_1$ ?
2. Unter den Vierecken gibt es genau zwei Trapeze, die wir $A_2BCD$ und $A_3BCD$ nennen. Konstruiere sie und gib die Koordinaten der Punkte $A_2$ und $A_3$ an.
3. Unter den Vierecken gibt es auch ein Drachenviereck $A_4BCD$ . Konstruiere es und gib die Koordinaten des Punktes $A_4$ an.
4. Die Diagonalen des eben gezeichneten Drachenvierecks schneiden sich im Punkt $S$ . Berechne die Koordinaten vom Punkt $S$ .
5. Zeichne das Viereck $A_5BCD$ , das man für $x = -3$ erhält. Was ist an diesem Viereck anders als gewohnt?
6. Gibt es Werte von $x$ , für die man kein Viereck erhält? Bestimme sie durch Konstruktion.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$\displaystyle 52{,}5°$
$=$	$\displaystyle 30°+22{,}5°$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot60°+\frac{1}{2}\cdot45°$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot60°+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot90°$

Aufgaben zur Konstruktion von geometrischen Objekten

Schritt 1

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Dreieck konstruieren

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Dreiecksungleichung überprüfen

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In konstruierbare Teilwinkel aufteilen

Winkel konstruieren

Teilaufgabe a

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Schritt 4

Teilaufgabe b

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Teilaufgabe c

Schritt 1

Schritt 2

Teilaufgabe d

Schritt 1

Schritt 2

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Konstruktion der Sehne sss:

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Einzeichnen der Gerade ggg, die mit sss einen Winkel 70∘70^\circ70∘ einschließt.

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Konstruktion der Sehne $s$ :

Einzeichnen der Gerade $g$ , die mit $s$ einen Winkel $70^\circ$ einschließt.