Der Streckenverlauf wird durch eine gebrochenrationale Funktion erfasst, so dass deren Steigungsverhalten zu untersuchen ist.

Die Funktion $h$ ist wegen $h(x) = h(-x)$ achsensymmetrisch zu $x = 0$ und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag. Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung von $h$ in den Wendepunkten höchstens 6 % beträgt.

$h(x)=\dfrac{3}{x^2+6}$

Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel $h'(x)$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcc}h'(x) &=& \dfrac{0\cdot(x^2+6)-3\cdot2x}{(x^2+6)^2}\\ &=&-\dfrac{6x}{\left(x^2+6\right)^2} \end{array}$

Bilde jetzt die 2. Ableitung $h''(x)$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c} h''(x) &=&-\dfrac{6(x^2+6)^2-24x^2(x^2+6)}{(x^2+6)^4} \\ \\ &=&-\dfrac{6(x^2+6)\left[(x^2+6)-4x^2\right]}{(x^2+6)^4} \\ \\&=&-\dfrac{6(x^2+6)(6-3x^2)}{(x^2+6)^4} \\ \\&=&+\dfrac{18(x^2+6)(x^2-2)}{(x^2+6)^4} \\ \\&=&\dfrac{18(x^2-2)}{(x^2+6)^3} \end{array}$

Löse jetzt die Gleichung $h''(x) = 0$ um die Wendepunkte und somit die Stellen des größten Steigungsbetrags der Funktion $h$ zu bestimmen

$\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x_1=-\sqrt2\;\text{und}\;x_2=+\sqrt2$

$x_1$ und $x_2$ liefern Wendepunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da $h''(x)$ bei $x_{1{,}2}=\pm\sqrt2$ das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.

Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt:

Ergebnis:

Damit kann die Autobahnteilstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.

Für diese Teilaufgabe muss die Steigung einer quadratischen Funktion untersucht werden.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}h:y=\dfrac3{x^2+6}\end{array} \\$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}p:y=-\dfrac3{484}(x^2-38)\end{array}$

Bestimme die Funktionswerte von $h$ und $p$ an den Stellen $-4$ und $4$, an denen die beiden Funktionen aneinandergefügt sind.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}h(\pm4)=p(\pm4)=\dfrac3{22}\end{array}$

Die Funktionswerte stimmen also überein. Die Straße hat keinen "Sprung"

Berechne die ersten beiden Ableitungen von $p$.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}p':\;y=-\dfrac{6x}{484}\end{array} \\$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}p'':\;y=-\dfrac{6}{484}\end{array}$

Bestimme nun die Werte von $p'$ am Rand der Definitionsmenge von $p$

Da $p''$ eine konstante Funktion und $<0$ ist, liegen die Werte der Steigung von $p$ im Intervall $[-4;4]$ im Bereich $\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}[-\dfrac6{121};\dfrac6{121}]\end{array}$. Der Betrag der Steigung ist also immer $\le 5\%$.

Ergebnis:

Diese Autobahnteilstrecke kann im Hinblick auf den Höhenverlauf gebaut werden.

Tipp: Mit einem Programm wie Geogebra kannst du den graphischen Verlauf der Autobahnstrecke "nachbauen" und mit dem Steigungsverhalten experimentieren und deine Rechenergebnisse bestätigen.

Verschiebe im Geogebra-Applet die Punkte A, B, C, D und bestätige mit den jeweils abzulesenden Steigungswerten deine Rechenergebnisse aus den Teilaufgaben a und b.