Aufgaben zur Stammfunktion

1
Gegeben ist die Funktion $f (x) = x + 1$ .
$F (x)$ sei eine Stammfunktion von $f (x)$ und $G_{F}$ der Graph von $F (x)$ .
Bestimme diejenige Stammfunktion, für die gilt
1. $(0 | 0) \in G_{F}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Integration
  $f (x) = x + 1$
  Integriere nun die Funktion.
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
  $c$ bestimmen
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
  Setze den gegeben Punkt $(0 | 0)$ in $F (x)$ ein.
  $0 = \frac{1}{2} 0^{2} + 0 + c$
  $0 = c$
  Stammfunktion aufstellen
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
  Setze das gefundene $c$ ein.
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 0$
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$
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2. $(0 | 1) \in G_{F}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Integration
  $f (x) = x + 1$
  Integriere die Funktion.
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
  c bestimmen
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
  Setze den gegeben Punkt $(0 | 1)$ in $F (x)$ ein.
  $1 = \frac{1}{2} 0^{2} + 0 + c$
  $1 = c$
  Stammfunktion aufstellen
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
  Setze das gefundene $c = 1$ ein.
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 1$
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3. $(1 | 0) \in G_{F}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Integration
  $f (x) = x + 1$
  Integriere die Funktion.
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
  $c$ bestimmen
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
  Setze den gegeben Punkt $(1 | 0)$ in $F (x)$ ein.
  $0 = \frac{1}{2} 1^{2} + 1 + c$
  $0 = \frac{3}{2} + c$
  $c = - \frac{3}{2}$
  Stammfunktion aufstellen
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
  Setze das gefundene $c = - \frac{3}{2}$ ein.
  $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - \frac{3}{2}$
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2
Notiere die Menge aller Stammfunktionen zur gegebenen Funktion.
1. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
  $f (x)$ $=$ $x^{2}$
  $\int_{}^{} x^{n} d x$ $=$ $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
  $F (x)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{3} + C$ $(C \in ℝ)$
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2. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = 2 x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
  $f (x) = 2 x^{2}$
  Integriere die Funktion $f$ .
  1. Linearitätseigenschaft
  ↓
  $\int_{}^{} 2 x^{2} d x$ $=$ $2 \int_{}^{} x^{2} d x$
  ↓
  Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
  $=$ $\frac{2}{3} x^{3} + C$
  $F (x)$ $=$ $\frac{2}{3} x^{3} + C$ $(C \in ℝ)$
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3. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
  $f (x)$ $=$ $x$
  ↓
  Integriere
  $\int_{}^{} x d x$ $=$ $\frac{1}{2} x^{2} + C$
  $F (x)$ $=$ $\frac{1}{2} x^{2} + C$ $(C \in ℝ)$
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4. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = - 2 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
  $f (x)$ $=$ $- 2 x$
  ↓
  Integriere
  $\int_{}^{} - 2 x d x$ $=$
  ↓
  $ 1$ . Linearitätseigenschaft
  $=$ $- 2 \int_{}^{} x d x$
  ↓
  Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ mit $n = 1$
  $=$ $- 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $F (x)$ $=$ $- x^{2} + C$ $(C \in ℝ)$
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5. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
  $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$
  Integriere die Funktion $f$ :
  1. Linearitätseigenschaft
  ↓
  $\int_{}^{} \frac{1}{2} x^{2} d x$ $=$ $\frac{1}{2} \int_{}^{} x^{2} d x$
  ↓
  Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
  $=$ $\frac{1}{2 \cdot 3} x^{3} + C$
  $F (x)$ $=$ $\frac{1}{6} x^{3} + C$ $(C \in ℝ)$
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6. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = - \frac{1}{4} x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
  $f (x) = - \frac{1}{4} x$
  Integriere die Funktion $f$ :
  1.Linearitätseigenschaft
  ↓
  $\int_{}^{} - \frac{1}{4} x d x$ $=$ $- \frac{1}{4} \cdot \int_{}^{} x d x$
  ↓
  Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
  $=$ $- \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C$
  $F (x)$ $=$ $- \frac{1}{8} x^{2} + C$ $(C \in ℝ)$
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7. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = x^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
  $f (x) = x^{3}$
  Integriere die Funktion $f$ :
  Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
  ↓
  $\int_{}^{} x^{3} d x$ $=$ $\frac{1}{4} x^{4} + C$
  $F (x)$ $=$ $\frac{1}{4} x^{4} + C$ $(C \in ℝ)$
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8. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = 4 x^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
  $f (x) = 4 x^{3}$
  1.Linearitätseigenschaft
  ↓
  $\int_{}^{} 4 x^{3} d x$ $=$ $4 \cdot \int_{}^{} x^{3} d x$
  ↓
  Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$
  $=$ $4 \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$
  $F (x)$ $=$ $x^{4} + C$ $(C \in ℝ)$
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9. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
  $f (x) = 2$
  Integriere die Funktion $f$ :
  1.Linearitätseigenschaft
  ↓
  $\int_{}^{} 2 d x$ $=$ $2 \cdot \int_{}^{} x^{0} d x$
  ↓
  Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
  $=$ $2 x + C$
  $F (x)$ $=$ $2 x + C$ $(C \in ℝ)$
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10. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
  $f (x) = x + 1$
  Integriere die Funktion $f$ :
  2. Linearitätseigenschaft
  ↓
  $\int_{}^{} x + 1 d x$ $=$ $\int_{}^{} x d x + \int_{}^{} 1 d x$
  ↓
  Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
  $=$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + C$
  $F (x)$ $=$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + C$ $(C \in ℝ)$
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11. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = x^{2} + x - 3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
  $f (x) = x^{2} + x - 3$
  2.Linearitätseigenschaft
  ↓
  $\int_{}^{} x^{2} + x - 3 d x$ $=$ $\int_{}^{} x^{2} d x + \int_{}^{} x d x - \int_{}^{} 3 d x$
  ↓
  Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
  $=$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$
  $F (x)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$ $(C \in ℝ)$
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12. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $f (x) = x^{n}; n \in ℕ$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral
  $f (x)$ $=$ $x^{n}; n \in ℕ$
  ↓
  Integriere
  $\int_{}^{} x^{n} d x$ $=$ $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
  $F (x)$ $=$ $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ $(C \in ℝ)$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$x^{2}$
$\int_{}^{} x^{n} d x$	$=$	$\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} + C$	$(C \in ℝ)$

1. Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} 2 x^{2} d x$	$=$	$2 \int_{}^{} x^{2} d x$
	↓	Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{2}{3} x^{3} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{2}{3} x^{3} + C$	$(C \in ℝ)$

$f (x)$	$=$	$x$
	↓	Integriere
$\int_{}^{} x d x$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + C$	$(C \in ℝ)$

$f (x)$	$=$	$- 2 x$
	↓	Integriere
$\int_{}^{} - 2 x d x$	$=$
	↓	$ 1$ . Linearitätseigenschaft
	$=$	$- 2 \int_{}^{} x d x$
	↓	Beachte $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ mit $n = 1$
	$=$	$- 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$
	↓	Fasse zusammen.
$F (x)$	$=$	$- x^{2} + C$	$(C \in ℝ)$

1. Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} \frac{1}{2} x^{2} d x$	$=$	$\frac{1}{2} \int_{}^{} x^{2} d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{1}{2 \cdot 3} x^{3} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{6} x^{3} + C$	$(C \in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} - \frac{1}{4} x d x$	$=$	$- \frac{1}{4} \cdot \int_{}^{} x d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$- \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C$
$F (x)$	$=$	$- \frac{1}{8} x^{2} + C$	$(C \in ℝ)$

Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	↓
$\int_{}^{} x^{3} d x$	$=$	$\frac{1}{4} x^{4} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{4} x^{4} + C$	$(C \in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} 4 x^{3} d x$	$=$	$4 \cdot \int_{}^{} x^{3} d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$
	$=$	$4 \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$
$F (x)$	$=$	$x^{4} + C$	$(C \in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} 2 d x$	$=$	$2 \cdot \int_{}^{} x^{0} d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$2 x + C$
$F (x)$	$=$	$2 x + C$	$(C \in ℝ)$

2. Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} x + 1 d x$	$=$	$\int_{}^{} x d x + \int_{}^{} 1 d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + x + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + x + C$	$(C \in ℝ)$

2.Linearitätseigenschaft
	↓
$\int_{}^{} x^{2} + x - 3 d x$	$=$	$\int_{}^{} x^{2} d x + \int_{}^{} x d x - \int_{}^{} 3 d x$
	↓	Beachte, dass $\int_{}^{} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$	$(C \in ℝ)$

$f (x)$	$=$	$x^{n}; n \in ℕ$
	↓	Integriere
$\int_{}^{} x^{n} d x$	$=$	$\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$F (x)$	$=$	$\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$	$(C \in ℝ)$

Aufgaben zur Stammfunktion

Integration

c bestimmen

Stammfunktion aufstellen

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Integration

c bestimmen

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Integration

c bestimmen

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$c$ bestimmen

$c$ bestimmen