Aufgaben zur Stammfunktion

1
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x+1$ .
$F(x)$ sei eine Stammfunktion von $f(x)$ und $G_F$ der Graph von $F(x)$ .
Bestimme diejenige Stammfunktion, für die gilt
1. $\left(\left.0\right|0\right)\ \in G_F$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Integration
  $f\left(x\right)=x+1$
  Integriere nun die Funktion.
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c$
  $c$ bestimmen
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c$
  Setze den gegeben Punkt $\left(\left.0\right|0\right)$ in $F\left(x\right)$ ein.
  $0=\frac120^2+0+c$
  $0=c$
  Stammfunktion aufstellen
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c$
  Setze das gefundene $c$ ein.
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x+0$
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x$
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2. $\left(\left.0\right|1\right)\in G_F$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Integration
  $f\left(x\right)=x+1$
  Integriere die Funktion.
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c$
  c bestimmen
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c$
  Setze den gegeben Punkt $\left(0\vert1\right)$ in $F\left(x\right)$ ein.
  $1=\frac120^2+0+c$
  $1=c$
  Stammfunktion aufstellen
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c$
  Setze das gefundene $c=1$ ein.
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x+1$
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3. $\left(\left.1\right|0\right)\in G_F$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Integration
  $f\left(x\right)=x+1$
  Integriere die Funktion.
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c$
  $c$ bestimmen
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c$
  Setze den gegeben Punkt $\left(1\vert0\right)$ in $F\left(x\right)$ ein.
  $0=\frac121^2+1+c$
  $0=\frac32+c$
  $c=-\frac32$
  Stammfunktion aufstellen
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x+c$
  Setze das gefundene $c=-\frac{3}{2}$ ein.
  $F\left(x\right)=\frac12x^2+x-\frac32$
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Notiere die Menge aller Stammfunktionen zur gegebenen Funktion.

$f\left(x\right)=x^2$

$f\left(x\right)=2x^2$

$f\left(x\right)=x$

$f\left(x\right)=-2x$

$f\left(x\right)=\frac12x^2$

$f\left(x\right)=-\frac14x$

$f\left(x\right)=x^3$

$f\left(x\right)=4x^3$

$f\left(x\right)=2$

$f\left(x\right)=x+1$

$f\left(x\right)=x^2+x-3$

$f\left(x\right)=x^n;\;n\in ℕ$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle \int_{ }^{ }x^n\mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^3+C$	$\displaystyle (C\inℝ)$

1. Linearitätseigenschaft
	↓
$\displaystyle \int_{ }^{ }2x^2\mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle 2\int_{ }^{ }x^2\mathrm{d}x$
	↓	Beachte $\int x^n\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}x^3+C$
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}x^3+C$	$\displaystyle (C\inℝ)$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Integriere
$\displaystyle \int_{ }^{ }x\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+C$
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+C$	$\displaystyle (C\in ℝ)$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -2x$
	↓	Integriere
$\displaystyle \int_{ }^{ }-2x\ \mathrm{d}x$	$=$
	↓	$1$ . Linearitätseigenschaft
	$=$	$\displaystyle -2\int_{ }^{ }x\ dx$
	↓	Beachte $\int x^n\,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ mit $n=1$
	$=$	$\displaystyle -2\cdot\frac{1}{2}x^2+C$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+C$	$\displaystyle (C\in ℝ)$

1. Linearitätseigenschaft
	↓
$\displaystyle \int_{ }^{ }\frac{1}{2}x^2\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\int_{ }^{ }x^2dx$
	↓	Beachte, dass $\int_{ }^{ }x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\cdot3}x^3+C$
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}x^3+C$	$\displaystyle (C\in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\displaystyle \int_{ }^{ }-\frac{1}{4}x\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\cdot\int_{ }^{ }x\ \mathrm{d}x$
	↓	Beachte, dass $\int_{ }^{ }x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4\cdot2}x^2+C$
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{8}x^2+C$	$\displaystyle (C\in ℝ)$

Beachte, dass $\int_{ }^{ }x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
	↓
$\displaystyle \int_{ }^{ }x^3\mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}x^4+C$
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}x^4+C$	$\displaystyle (C\in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\displaystyle \int_{ }^{ }4x^3\mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle 4\cdot\int_{ }^{ }x^3\mathrm{d}x$
	↓	Beachte, dass $\int_{ }^{ }x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$
	$=$	$\displaystyle 4\cdot\frac{1}{4}x^4+C$
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4+C$	$\displaystyle (C\in ℝ)$

1.Linearitätseigenschaft
	↓
$\displaystyle \int_{ }^{ }2\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\int_{ }^{ }x^0\ \mathrm{d}x$
	↓	Beachte, dass $\int_{ }^{ }x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
	$=$	$\displaystyle 2x+C$
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x+C$	$\displaystyle (C\in ℝ)$

2. Linearitätseigenschaft
	↓
$\displaystyle \int_{ }^{ }x+1\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \int_{ }^{ }x\ \mathrm{d}x+\int_{ }^{ }1\ \mathrm{d}x$
	↓	Beachte, dass $\int_{ }^{ }x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+x+C$
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+x+C$	$\displaystyle (C\in ℝ)$

2.Linearitätseigenschaft
	↓
$\displaystyle \int_{ }^{ }x^2+x-3\ \mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \int_{ }^{ }x^2\ \mathrm{d}x+\int_{ }^{ }x\ \mathrm{d}x-\int_{ }^{ }3\ \mathrm{d}x$
	↓	Beachte, dass $\int_{ }^{ }x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-3x+C$
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-3x+C$	$\displaystyle (C\in ℝ)$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^n\ ;\ n\ ∈\ ℕ$
	↓	Integriere
$\displaystyle \int_{ }^{ }x^ndx$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$	$\displaystyle (C\in ℝ)$

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ccc bestimmen

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$c$ bestimmen

$c$ bestimmen