Aufgaben zum Rechnen mit e und Logarithmen

…

Löse die folgenden Gleichungen jeweils nach $x$ auf.

$2^x=8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

$\displaystyle 2^x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \log_2\left(\right)$
	↓	Wende den Logarithmus mit Basis $2$ auf beiden Seiten an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_2\left(8\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

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$7^{2x}=2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

$\displaystyle 7^{2x}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \log_7\left(\right)$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis $7$ an.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \log_7(2)$
	↓	Dividiere auf beiden Seiten durch 2.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\log_72$

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$10^{x^2}=100$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

$\displaystyle 10^{x^2}$	$=$	$\displaystyle 100$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis $10$ auf beiden Seiten an.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \log_{10}(100)$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2}$

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Gesucht ist die Basis $b$ .

$\log_b2=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen
$\displaystyle \log _b2$ $=$ $\displaystyle 0$
↓
Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle b^0$ $=$ $\displaystyle 2$
Dies widerspricht den Umformungsregel für Potenzen.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Unwahre Aussage da $x^0=1$
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$\log_b5=0{,}5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen

$\displaystyle \log_b5$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$
	↓	Wende die Definition des Logarithmus an.
$\displaystyle b^{0{,}5}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Quadriere beide Seiten.
$\displaystyle \left( b^{0{,}5} \right)^2$	$=$	$\displaystyle 5^2$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\left(a^{x}\right)^y=a^{x \cdot y}$ .
$\displaystyle b^{0{,}5 \cdot 2}$	$=$	$\displaystyle 25$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 25$

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$\log_b\left(\frac1{25}\right)=2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen

$\displaystyle \log_b\left(\frac{1}{25}\right)$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle \frac1{25}$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass die Basis $b$ positiv sein muss.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac15$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 0{,}2$

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Ersetze die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus und vereinfache diesen so weit wie möglich.

$\log_k\left(m^4\right)-2\log_k\left(m\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

Ein mögliches Vorgehen ist:

	$\displaystyle \log_k\left(m^4\right)-2\log_k\left(m\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_bu$
$=$	$\displaystyle 4\log_k\left(m\right)-2\log_km$
	↓ Subtrahiere
$=$	$\displaystyle 2\log_k\left(m\right)$

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$2\log_a\left(x+1\right)+\log_a\left(\frac{1}{x^2-1}\right)$

Ein mögliches Vorgehen kann so aussehen:

	$\displaystyle 2\log_a\left(x+1\right)+\log_a\left(\frac{1}{x^2-1}\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_bu$
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\left(x+1\right)^2\right)+\log_a\left(\frac{1}{x^2-1}\right)$
	↓ Verwende $\log_bu+\log_bv=\log_b\left(u\cdot v\right)$
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\left(x+1\right)^2\cdot\frac{1}{x^2-1}\right)$
	↓ Schreibe als einen Bruch und wende die 3. binomische Formel an
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\frac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right)$
	↓ Kürze
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

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$2\log(u)+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus

Wende die Potenzregel des Logarithmus an.

$\displaystyle \;2\log\;u+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]$	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]$
	↓	Wende die Produktregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\frac12\left[\log\left(\left(u+v\right)\cdot\left(u-v\right)\right)\right]$
	↓	Wende die 3. Binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\frac12\log\left(u^2-v^2\right)$
	↓	Wende die Potenzregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\log(u^2-v^2)^\frac12$
	↓	Wende $x^\frac12=\sqrt x$ an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\log(\sqrt{u^2-v^2})$
	↓	Wende die Produktregel für Logarithmus an und fasse somit beide Logarithmen zu einem Logarithmus zusammen.
	$=$	$\displaystyle \log\left(u^2\sqrt{u^2-v^2}\right)$

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$\left(n+1\right)\cdot\log(x)-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus

Wende die Potenzregel des Logarithmus an.

$\displaystyle \left(n+1\right)\cdot\log\;x-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)$	$=$	$\displaystyle \;\log\;x^{n+1}-\log\;x^{2n}$
	↓	Wende die Quotientenregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\frac{x^{n+1}}{x^{2n}}$
	↓	Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.
	$=$	$\displaystyle \log\;x^{1-n}$

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$\log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus

Wende die Produktregel des Logarithmus an.

$\displaystyle \log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \log\left(\frac{a\cdot b\cdot a}b\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2$
	↓	Kürze den Logarithmus und ziehe das Quadrat in die Klammer.
	$=$	$\displaystyle \log\;a^2-\log\left(a^2b^2\right)$
	↓	Wende die Quotientregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\frac{a^2}{a^2b^2}$
	↓	Kürze den Logarithmus.
	$=$	$\displaystyle \log\frac1{b^2}$

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Forme um.

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$\left(e^x+e^{-x}\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze

$\displaystyle \left(e^x+e^{-x}\right)^2$	$=$
	↓	1. Binomische Formel anwenden
	$=$	$\displaystyle e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle e^{2x}+2e^{x-x}+e^{-2x}$
	$=$	$\displaystyle e^{2x}+2e^0+e^{-2x}$
	↓	Benutze $e^0=1$
	$=$	$\displaystyle e^{2x}+2+e^{-2x}$

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$\left(e^x-e^{-x}+5\right)\cdot e^x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze

$\displaystyle \left(e^x-e^{-x}+5\right)\cdot e^x$	$=$
	↓	ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle e^x\cdot e^x-e^{-x}\cdot e^x+5e^x$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle e^{x+x}-e^{-x+x}+5e^x$
	$=$	$\displaystyle e^{2x}-e^0+5e^x$
	↓	$e^0=1$
	$=$	$\displaystyle e^{2x}+5e^x-1$

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$\dfrac{e^{3x+1}}{e^{-x+2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze

$\displaystyle \frac{e^{3x+1}}{e^{-x+2}}$	$=$
	↓	2. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \textstyle e^{3x+1}\cdot e^{-(-x+2)}$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$\displaystyle \textstyle e^{3x+1+x-2}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle e^{4x-1}$

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$e^{-x}\cdot e^{-x+2}\cdot e^{2x-3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze

$\displaystyle e^{-x}\cdot e^{-x+2}\cdot e^{2x-3}$	$=$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle e^{-x+(-x+2)+(2x-3)}$
	$=$	$\displaystyle e^{-x-x+2+2x-3}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle e^{-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{e}$

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$\frac{1}{e^{2x}}+3(e^{-x})^2-(\frac{2}{e^x})^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze

$\displaystyle \frac{1}{e^{2x}}+3\left(e^{-x}\right)^2-\left(\frac{2}{e^x}\right)^2$	$=$
	↓	6. Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle e^{-2x}+3e^{-2x}-\left(\frac4{e^{2x}}\right)$
	↓	Zusammenfassen und umformen.
	$=$	$\displaystyle 4e^{-2x}-4e^{-2x}$
	$=$	$\displaystyle 0$

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→ Was bedeutet das?

$\displaystyle \log _b2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle b^0$	$=$	$\displaystyle 2$