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Aufgaben zum Rechnen mit e und Logarithmen

  1. 1

    Löse die folgenden Gleichungen jeweils nach xx auf.

    1. 2x=82^x=8

    2. 72x=27^{2x}=2

    3. 10x2=10010^{x^2}=100

  2. 2

    Gesucht ist die Basis bb.

    1. logb2=0\log_b2=0

    2. logb5=0,5\log_b5=0{,}5

    3. logb(125)=2\log_b\left(\frac1{25}\right)=2

  3. 3

    Ersetze die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus und vereinfache diesen so weit wie möglich.

    1. logk(m4)2logk(m)\log_k\left(m^4\right)-2\log_k\left(m\right)

    2. 2loga(x+1)+loga(1x21)2\log_a\left(x+1\right)+\log_a\left(\frac{1}{x^2-1}\right)

    3. 2log(u)+12[log(u+v)+log(uv)]2\log(u)+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]

    4. (n+1)log(x)13    log(x6n)\left(n+1\right)\cdot\log(x)-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)

    5. log(ab)+log(ab)log(ab)2\log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2

  4. 4

    Forme um.

    1. (ex+ex)2\left(e^x+e^{-x}\right)^2

    2. (exex+5)ex\left(e^x-e^{-x}+5\right)\cdot e^x

    3. e3x+1ex+2\dfrac{e^{3x+1}}{e^{-x+2}}

    4. exex+2e2x3e^{-x}\cdot e^{-x+2}\cdot e^{2x-3}

    5. 1e2x+3(ex)2(2ex)2\frac{1}{e^{2x}}+3(e^{-x})^2-(\frac{2}{e^x})^2


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