Aufgaben zum Lösen linearer Gleichungssysteme

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 5y& -& 3x& =& 1\\ \mathrm{II}& x& =& y& +& 1\end{array}$

Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.

${\mathrm{I}}^{\prime }5y-3(y+1)=1$

Lös ${\text{I}}^{\prime }$nach $y$ auf.

$\begin{array}{rccc}5y-3y-3& =& 1& \\ 2y-3& =& 1& |+3\\ 2y& =& 4& |:2\\ y& =& 2& \end{array}$

Nun kannst du $y=2$ in $\mathrm{II}$ einsetzen und nach $x$ auflösen.

$\begin{array}{rccc}5\cdot 2-3x& =& 1& |-10\\ -3x& =& -9& |:(-3)\\ x& =& 3& \end{array}$

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 4x& +& 5y& =& 32\\ \mathrm{II}& y& =& 5x& -& 11\end{array}$

Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.

${\mathrm{I}}^{\prime }4x+5\cdot (5x-11)=32$

Löse nach $x$ auf.

$\begin{array}{rccc}4x+25x-55& =& 32& \\ 29x-55& =& 32& |+55\\ 29x& =& 87& & |:29\\ x& =& 3& \end{array}$

Setz $x=3$ in $\mathrm{II}$ ein und löse nach $y$ auf.

$\begin{array}{rcl}y& =& 5\cdot 3-11\\ y& =& 4\end{array}$

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 15y& -& 4x& =& -50\\ \mathrm{II}& x& =& y& +& 7\end{array}$

Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.

${\mathrm{I}}^{\prime }15y-4(y+7)=-50$

Lös nach $x$ auf.

$\begin{array}{rcll}15y-4y-28& =& -50& \\ 11y-28& =& -50& |+28\\ 11y& =& -22& |:11\\ y& =& -2& \end{array}$

Setz nun $y=-2$ in $\mathrm{II}$ ein und lös nach $x$ auf.

$x=-2+7$

$x=5$

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 3x& =& y& +& 15\\ \mathrm{II}& 2y& -& 10& =& 2x\end{array}$

Teile $\mathrm{II}$ durch 2, um nach der Variablen $x$ aufzulösen.

$\mathrm{II}:2\to {\mathrm{II}}^{\prime }y-5=x$

Setze ${\mathrm{II}}^{\prime }$ in $\mathrm{I}$ ein.

${\mathrm{II}}^{\prime }$ in $\mathrm{I}$ eingesetzt:

${\mathrm{I}}^{\prime }3(y-5)=y+15$

Löse dann ${\mathrm{I}}^{\prime }$ nach $y$ auf.

$\begin{array}{rcll}3y-15& =& y+15& |-y;+15\\ 2y& =& 30& |:2\\ y& =& 15& \end{array}$

Setze anschließend $y=15$ in ${\mathrm{II}}^{\prime }$ ein und löse nach $x$ auf.

$y=15$ in ${\mathrm{II}}^{\prime }$ eingesetzt:

$\begin{array}{rcl}15-5& =& x\\ 10& =& x\end{array}$

$L=\left\{\left(x|y\right)\right\}=\left\{\left(10|15\right)\right\}$

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 3x& =& y& +& 15\\ \mathrm{II}& 2y& -& 10& =& 2x\end{array}$

Multipliziere $\mathrm{II}$ mit $\frac{3}{2}$, um auf der rechten Seite $3x$ zu erzeugen.

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 3x& =& y& +& 15\\ {\mathrm{II}}^{\prime }& 3y& -& 15& =& 3x\end{array}$

Setze die rechte Seite von $\mathrm{I}$ mit der linken von ${\mathrm{II}}^{\prime }$ gleich und löse nach $y$ auf.

$\begin{array}{rcll}y+15& =& 3y-15& |-y;+15\\ 30& =& 2y& |:2\\ y& =& 15& \end{array}$

Setze $y=15$ in $\mathrm{I}$ (oder auch $\mathrm{II}$) ein und löse nach $x$ auf.

$\begin{array}{rcll}3\cdot x& =& y+15& \\ 3\cdot x& =& 15+15& \\ 3\cdot x& =& 30& |:3\\ x& =& 10& \end{array}$

$L=\left\{\left(x|y\right)\right\}=\left\{\left(10|15\right)\right\}$

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}& 3x& =& y& +& 15\\ \mathrm{II}& 2x& =& 2y& -& 10\end{array}$

Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.

$\begin{array}{cccccc}{\mathrm{I}}^{\prime }& x& =& -y& +& 25\\ \mathrm{II}& 2x& =& 2y& -& 10\end{array}$

Da die erste Gleichung nun nach $x$ aufgelöst ist, kann man wieder das Einsetzungsverfahren anwenden.

Setze dazu ${\mathrm{I}}^{\prime }$ in $\mathrm{II}$ ein und löse nach $y$ auf.

$\begin{array}{crcll}{\mathrm{II}}^{\prime }& 2\cdot (-y+25)& =& 2y-10& \\ & -2y+50& =& 2y-10& |-2y|-50\\ & -4y& =& -60& |:(-4)\\ & y& =& 15& \end{array}$

Setze $y=15$ in ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein und löse nach $x$ auf.

$x=-15+25$

$x=10$

Gegeben:   $\begin{array}{l}(\text{I})2y=2x-40\\ (\text{II})3x=10-2y\end{array}$

Gleichung $(\text{I})$ ist nach $2y$ aufgelöst. Dieser Term kommt auch in Gleichung $(\text{II})$ vor. Setze also die Gleichung $(I)$ in $(II)$ ein.

$L=\left\{\left(x|y\right)\right\}=\left\{\left(10|-10\right)\right\}$

Lösung mithilfe der anderen Verfahren

Gegeben:   $\begin{array}{l}(I)\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}y=3\\ (\text{II})\frac{1}{4}x+y=8\end{array}$

Forme $(\text{II})$ so um, dass auf der einen Seite $y$ steht.

1. Beide Gleichungen nach y auflösen

$\begin{array}{rrcll}\text{II})& 4y& =& 2x+10& |:4\\ \Rightarrow {\text{ II}}^{\prime })& y& =& \mathrm{0,5}x+\mathrm{2,5}& \end{array}$

2. Gleichsetzen

$\Rightarrow \mathrm{1,5}x+2=\mathrm{0,5}x+\mathrm{2,5}$

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

$\begin{array}{l}y=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}+\mathrm{2,5}\\ =\mathrm{0,25}+\mathrm{2,5}\\ =\mathrm{2,75}\end{array}$

Gib die Lösungsmenge an.

1. Beide Gleichungen nach x auflösen

$\begin{array}{lrcll}\text{II})& 2y-2& =& 5x-1& |+1\\ {\text{II}}^{\prime })& 2y-1& =& 5x& |:5\\ {\text{II}}^{\prime \prime })& \mathrm{0,4}y-\mathrm{0,2}& =& x& \end{array}$

2. Gleichsetzen

$\Rightarrow \mathrm{0,5}y-2=\mathrm{0,4}y-\mathrm{0,2}$

3. Gleichung nach y auflösen

4. $y$ einsetzen, um $x$ heraus zu finden

$\mathrm{0,5}\cdot 18-2=x=9-2=7$

Gib die Lösungsmenge an

1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen

$$$\begin{array}{lrll}\phantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})& 2x+3y& =& 4x-5|-2x\\ \phantom{\mathrm{I}}{\mathrm{I}}^{\prime })& 3y& =& 2x-5|:3\\ \phantom{\mathrm{I}}{\mathrm{I}}^{\prime \prime })& y& =& \frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\end{array}$

$\begin{array}{lrcll}\mathrm{II})& 3x-2y& =& 2y+8& |+2y-8\\ {\mathrm{II}}^{\prime })& 3x-8& =& 4y& |:4\\ {\mathrm{II}}^{\prime \prime })& \frac{3}{4}x-2& =& y& \end{array}$

2. Gleichsetzen

$\begin{array}{lrll}\Rightarrow & \frac{3}{4}x-2& =& \frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\end{array}$

3. Nach der einen Variable auflösen

$\begin{array}{rcll}\frac{3}{4}x-2& =& \frac{2}{3}x-\frac{5}{3}& |-\frac{2}{3}x\\ \frac{3}{4}x-\frac{2}{3}x-2& =& -\frac{5}{3}& |+2\\ \frac{9}{12}x-\frac{8}{12}x& =& -\frac{5}{3}+2& \\ \frac{1}{12}x& =& \frac{1}{3}& |\cdot 12\\ x& =& 4& \end{array}$

4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden

$\begin{array}{rll}\frac{3}{4}\cdot (4)-2& =& y\\ 3-2& =& y\\ y& =& 1\end{array}$

$4$ wird für $x$ eingesetzt.

Lösungsmenge angeben!

Wähle die Variable $w$ und berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von $w$:

Nun multiplizierst du jede der Gleichungen so, dass jedes $w$ den Koeffizienten 5 hat.

Dann addierst du ${\mathrm{I}}^{\prime }$ zu $\mathrm{II}$ und ${\mathrm{I}}^{\prime }$ zu ${\mathrm{III}}^{\prime }$.

Du löst nun das "kleine" Gleichungssystem, das aus $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }$ besteht.

Dazu wählst du die Variable $v$ und bestimmst das kgV ihrer Koeffizienten:

Multipliziere nun die Gleichungen entsprechend:

Subtrahiere $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }$ von $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(4)}$, um $v$ zu eliminieren.

Nun löst du $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(5)}$ nach $u$ auf und setzt seinen Wert in ${\mathrm{II}}^{\prime \prime }$ ein.

Nun setzt du die beiden Werte in ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein und löst nach $w$ auf.

$\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I}& 2x& +& 10y& -& 5z& =& -1\\ \mathrm{II}& 10x& -& 30y& +& 3z& =& -1\\ \mathrm{III}& -4x& +& 15y& -& 2z& =& 1\end{array}$

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von $y$ (alternativ: von $x$ oder $z$).

Dann multiplizierst du die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von $y$ 30 sind.

$\begin{array}{rrcrcrcr}3\cdot \mathrm{I}\to {\mathrm{I}}^{\prime }& 6x& +& 30y& -& 15z& =& -3\\ \mathrm{II}& 10x& -& 30y& +& 3z& =& -1\\ 2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}\to \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& -8x& +& 30y& -& 4z& =& 2\end{array}$

Addiere ${\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{II}$ und subtrahiere ${\mathrm{I}}^{\prime }$ von $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$, um die Terme mit $y$ zu eliminieren.

$\begin{array}{rrcrcrcr}{\mathrm{I}}^{\prime }& 6x& +& 30y& -& 15z& =& -3\\ \mathrm{I}\mathrm{I}+{\mathrm{I}}^{\prime }\to \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& 16x& & & -& 12z& =& -4\\ \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }-{\mathrm{I}}^{\prime }\to \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }& -14x& & & +& 11z& =& 5\end{array}$

Löse nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }$ besteht.

Dafür bestimmst du zunächst das kgV der Koeffizienten von $z$ und multiplizierst dann die Gleichungen so, dass vor dem $z$ das kgV steht.

$\begin{array}{rccccr}11\cdot \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }\to \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }& 176x& -& 132z& =& -44\\ 12\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }\to \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime \prime }& -168x& +& 132z& =& 60\end{array}$

Dann addierst du $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime \prime }$ und $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }$, um den Term mit $z$ zu eliminieren.

$\begin{array}{rccccr}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }& 176x& -& 132z& =& -44\\ \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime \prime }+\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }\to \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(4)}& 8x& & & =& 16\end{array}$

Nun löst du $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(4)}$ nach $x$ auf und setzt den Wert in $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }$ ein.

$\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(4)}x=2$

$\begin{array}{rrcr}x=2\text{ in }\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }\to \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime \prime }& 176\cdot 2-132z& =& -44\\ & 352-132z& =& -44& |-352\\ & -132z& =& -396& |:(-132)\\ & z& =& 3\end{array}$

$\begin{array}{rrcr}{\mathrm{I}}^{\prime }\to {\mathrm{I}}^{\prime \prime }& 6\cdot 2+30y-15\cdot 3& =& -3\\ & -33+30y& =& -3& |+33\\ & 30y& =& 30& |:30\\ & y& =& 1\end{array}$

Nun kannst du die Lösungsmenge aufschreiben: