Aufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck

Extremwertaufgaben der Flächenberechnung von Dreiecken

In den folgenden Aufgaben werden verschiedene Dreiecke beobachtet. Ziel der gesamten Aufgabe ist es, dasjenige Dreieck zu finden, das die maximale ( = größtmögliche ) Fläche hat.

Zeichne das gleichschenklige Dreieck $ABC$ mit $A(1|0), B(5|0)$ und Höhe $h = 3\;\text{LE}$ in ein Koordinatensystem ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Konstruktion des gleichschenkligen Dreiecks $ABC$ mit $A(1|0)$ , $B(5|0)$ und der Höhe $h = 3\;\text{LE}.$
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Nun sollen Dreiecke $A_x B_x C_x$ aus dem Dreieck $ABC$ entstehen, indem die Grundseite $\overline{AB}$ von beiden Seiten um $0{,}2x\ cm$ verkürzt werden und die Höhe $h$ um $\frac{1}{2}x$ verlängert wird.
Zeichne die Dreiecke $A_x B_x C_x$ für $x = 1$ , $x = 5$ und $x = 6$ in dasselbe Koordinatensystem wie das Dreieck $ABC$ ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenklige Dreiecke
Konstruktion der Dreiecke $A_1B_1C_1$ , $A_5B_5C_5$ und $A_6B_6C_6$ .
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Für welchen Wert von $x$ hat das Dreieck $A_x B_x C_x$ die maximale Fläche?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche

Das Dreieck $ABC$ hat die Grundseite $4\;\text{LE}$ und die Höhe $h=3\;\text{LE}$ .

$|\overrightarrow{AB}|=|\vec B-\vec A|=\Big \vert\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\Big \vert=4$

Die Grundseite der Dreiecke $A_x B_x C_x$ wird um $2\cdot 0{,}2x$ verkleinert und die Höhe um $0{,}5x$ vergrößert.

Die neue Grundseite der Dreiecke ist dann $g_x=4-2\cdot 0{,}2x=4-0{,}4x$ und die neue Höhe der Dreiecke ist dann $h_x=3+0{,}5x.$

Die Fläche $A_x$ berechnet sich dann zu:

$\displaystyle A_x(x)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot g_x\cdot h_x$
	↓	Setze die Grundseite und die Höhe ein.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot (4-0{,}4x)\cdot(3+0{,}5x)$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5(12+2x-1{,}2x-0{,}2x^2)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5(12+0{,}8x-0{,}2x^2)$
	↓	Multipliziere.
	$=$	$\displaystyle 6+0{,}4x-0{,}1x^2$

Du hast für die Dreiecksfläche eine quadratische Funktion erhalten:

$A_x(x)=-0{,}1x^2+0{,}4x+6$

Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel, die nach unten geöffnet ist (negativer Vorfaktor vor dem $x^2$ ).

Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist dann das gesuchte Maximum für die Dreiecksflächen $A_x B_x C_x$ .

Wandle die allgemeine Form in die Scheitelform um.

$\displaystyle A_x(x)$	$=$	$\displaystyle -0{,}1x^2+0{,}4x+6$
	↓	Klammere $-0{,}1$ aus.
	$=$	$\displaystyle -0{,}1(x^2-4x-60)$
	↓	Ergänze die Funktion quadratisch.
	$=$	$\displaystyle -0{,}1(x^2-4x+4-4-60)$
	↓	Benutze die 2. binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -0{,}1((x-2)^2-4-60)$
	↓	Fasse in der Klammer zusammen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}1((x-2)^2-64)$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle -0{,}1\cdot(x-2)^2+6{,}4$

Lies den Scheitelpunkt ab:

$S(2|6{,}4)$

Für $x=2$ haben die Dreiecke $A_x B_x C_x$ das maximale Volumen von $6{,}4\;\text{FE}$ .

Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Ergebnisses.

Das braune Dreieck $A_2B_2C_2$ hat den maximalen Flächeninhalt von $6{,}4\;\text{FE}$ .

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