Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Lösung zu Teilaufgabe a)

Um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwendest du das Prinzip von Laplace. Das heißt, die Wahrscheinlichkeiten sind gegeben durch die relativen Häufigkeiten.

Du liest aus dem Text, dass es insgesamt $2 \; 000\; 000$ Flaschen gibt. Davon sind $100 \; 000$ Flaschen mit Gewinnmarke.

Es folgt für die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$:

Weiter liest man im Text, dass es $12 \; 000$ Gewinnmarken im Wert von $5$ € gibt. Der Rest sind Gewinnmarken mit dem Wert $1$ €. Also: $100 \; 000 - 12 \; 000 = 88 \; 000$

Es folgt für die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $B$:

Lösung zu Teilaufgabe b)

Im Urnenmodell betrachtet ist das vorliegende Zufallsexperiment der Fall "Ziehen ohne Zurücklegen". Eine Flasche wird aus der "Urne" gezogen, deren "Farbe" geprüft und anschließend nicht zurückgelegt.

Nun musst du begründen, warum man in diesem Fall das Zufallsexperiment auch als "Ziehen mit Zurücklegen" betrachten kann.

Beim "Ziehen ohne Zurücklegen" ändert sich im Gegensatz zum "Ziehen mit Zurücklegen" die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ bei jeder Ziehung. Allerdings bleibt hier die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ selbst nach mehreren Ziehungen näherungsweise konstant.

Um das zu sehen, betrachtest du zum Beispiel $20$ gezogene und mit Gewinnkorken versehene Flaschen. Das ist der schlimmst mögliche Fall, der eintreten kann und die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ maximal ändert.

Du berechnest nun das Ereignis $A$ für eine $21.$ Flasche.

Es folgt: $P(A)$ ist bei kleiner Anzahl gezogener Flaschen konstant. Das Zufallsexperiment kann auch als "Ziehen mit Zurücklegen" betrachtet werden, deren Wahrscheinlichkeitsfunktion eine Bernoullikette ist.

Lösung zu Teilaufgabe c)

Zunächst stellst du aus den vorherigen Aufgaben fest, dass du das Zufallsexperiment als "Ziehen mit Zurücklegen" betrachten kannst. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ nimmst du daher als konstant an.

Betrachte nun das Ereignis:

$C$: Die ersten $4$ Flaschen sind ohne Gewinnmarke, die $5.$ Flasche mit.

Ereignis $C$ kann als Produkt der Ereignisse $A$ und dessen Gegenereignis $\overline{A}$ geschrieben werden.

Es gilt:

Lösung zu Teilaufgabe d)

Als Erstes musst du dir eine Zufallsgröße definieren. Betrachte:

$X:$ Anzahl der Gewinnmarken unter $n$ Flaschen.

Für jedes $n$ gilt: Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit der von $n$-abhängigen Wahrscheinlichkeitsfunktion $B(n;0{,}05)$. Das folgt aus Teilaufgabe $b)$.

Nun möchtest du wissen, wie groß $n$ mindestens sein muss, damit gilt:

Als Nächstes nutzt du aus, dass $P(X\geq2) = 1 - P(X\leq1)$ ist. Dann folgt:

Da die Zufallsgröße $X$ binomialverteilt ist, folgt weiter:

$\binom{n}{0}\cdot0{,}05^0\cdot0{,}95^n +\binom{n}{1}\cdot 0{,}05^1\cdot 0{,}95^{n-1} < 0{,}95$

Jetzt kommt das Tafelwerk zum Einsatz. Dort siehst du unter Binomialverteilung zur Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}05$ nach und suchst den passenden Wert für $n$. Alternativ kann man auch verschiedene Werte für $n$ einsetzen und schauen, wann die Gleichung erstmals erfüllt wird.

Mit beiden Methoden folgt: $n \geq 8$.

Lösung zu Teilaufgabe e)

Dieser Aufgabenteil fragt nach dem Mittel des Gesamtwertes der Marken bei $20$ Flaschen. "Im Mittel" gibt dir das Stichwort Erwartungswert.

Aus diesem Grund musst du eine Zufallsvariable definieren, dessen Erwartungswert du bestimmen sollst. Diese Zufallsvariable soll den Geldgewinn durch Gewinnmarken angeben:

$Y$: Geldgewinn durch Gewinnmarken bei $20$ Flaschen

Dies gestaltet sich als relativ schwierig. Du solltest deshalb für jede gezogene Flasche $i \; (1\leq i \leq 20)$ eine weitere Zufallsgröße definieren:

$Y_i:$ Geldgewinn durch Gewinnmarke bei Flasche $i$.

Nach Annahme gilt für alle $i$ Flaschen:

• Die Zufallsgröße nimmt mit Wahrscheinlichkeit $0{,}95$ den Wert $\color{#CC0000}{0}$ (die Flasche enthält keine Gewinnmarke),

• mit Wahrscheinlichkeit $0{,}044$ den Wert $\color{#CC0000}{1}$ (die Flasche enthält eine Gewinnmarke im Wert von $1$ €) und

• mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05 - 0{,}044 = 0{,}006$ den Wert $\color{#CC0000}{5}$ (die Flasche enthält eine Gewinnmarke im Wert von $5$ €) an.

Du schreibst dir das am besten in eine übersichtliche Tabelle:

Nun berechnest du für ein beliebiges $Y_i$ den Erwartungswert mittels der Formel aus der Merkhilfe.

Es gilt:

Du möchtest jetzt aber wissen, wie groß der Erwartungswert von $Y$ ist. Da alle $Y_i$ den gleichen Erwartungswert haben, multiplizierst du dazu den Erwartungswert $E(Y_i)$ mit $20$.

Antwort: Im Durchschnitt erhältst du bei $20$ Flaschen einen Gesamtwert der Gewinnmarken von $1{,}48$ €.

Lösung zu Teilaufgabe 2)

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten musst du den Ablehnungsbereich der Nullhypothese zum Signifikanzniveau $0{,}01$ herausfinden. Im zweiten Teil sollst du den Fehler 2. Art bestimmen, für den Fall, dass die Nullhypothese irrtümlich angenommen wird.

Ablehnungsbereich herausfinden

Zunächst definierst du dir die Zufallsgröße $Z$ aus der Aufgabenstellung:

$Z:$ Anzahl von Gewinnmarken unter $200$ Flaschen

Die Zufallsgröße $Z$ ist laut dem Getränkehersteller binomialverteilt, mit dem Parameter $p\geq 0{,}05$ (Stichwort: Die Wahrscheinlichkeit einer Gewinnmarke beträgt mindestens $0{,}05$). Die Nullhypothese lautet deshalb:

$H_0: p \geq 0{,}05$

Beachte: Um den Fehler 1. Art (das Signifikanzniveau) sicher einzuhalten, wählt man implizit im Folgenden $H_0: p = 0{,}05$.

Es soll gelten, dass die $B(200;0{,}05)$-verteilte Zufallsgröße $Z$ mit höchstens der Wahrscheinlichkeit von $0{,}01$ im Ablehnungsbereich $\overline{A} = \{0; \; \ldots;a\}$ liegt. Den Wert von $a$ musst du herausfinden. Diese Bedingung lautet mathematisch ausgedrückt:

Nun weißt du, dass $Z$ nach der Nullhypothese $B(200;0{,}05)$ verteilt ist. Es folgt also:

Mithilfe des Tafelwerks findest du heraus, dass $a = 3$ ist. Der Ablehnungsbereich lautet also $\overline {A} = \{0; \; 1; \; 2; \;3\}$.

Fehler 2. Art berechnen

Du liest nun aus der Aufgabenstellung, dass $Z$ nicht wie oben angenommen $B(200;0{,}05)$ verteilt ist, sondern tatsächlich $B(200;0{,}03)$. Du möchtest jetzt wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Nullhypothese von oben trotzdem angenommen wird. Es folgt:

Den letzten Schritt erhältst du wieder mittels des Tafelwerkes.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Werbeaktion kommt, beträgt also ungefähr $85$ Prozent.