Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Lösung zu 1)

Betrachte folgende Ereignisse:

$A:$ Einwohner ist Allergiker.

$B:$ Einwohner ist gegen Tierhaare allergisch.

Wir wissen bereits aus den Informationen im Text:

$P(A)_{min} = 0{,}2$ bis $P(A)_{max} = 0{,}25$

("…jeder vierte bis fünfte Einwohner…Allergie.")

$P_A(B) = 0{,}41$

("…41 Prozent aller Allergiker…Tierhaare.")

Du möchtest nun wissen, ob gilt:

$P(B) \geq 0{,}1$

("…10 Prozent der Einwohner…Tierhaare allergisch.")

Berechne nun zunächst die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A\cap B$ (Einwohner ist Allergiker und gegen Tierhaare allergisch).

Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gilt:

Du rechnest nun die maximale und minimale Wahrscheinlichkeit von $P(A\cap B)$ aus, in dem du jeweils $P(A)_{min}$ bzw. $P(A)_{max}$ für $P(A)$ in die Formel von oben einsetzt. Es folgt:

Im vorliegenden Fall gilt weiter die Beziehung $P(A\cap B) = P(B)$, da das Ereignis $P(\overline{A}\cap B)$ die Wahrscheinlichkeit $0$ hat (jeder Tierhaarallergiker ist schließlich allergisch). Solltest du das nicht sehen, dann kannst du auch mit einer Vierfeldertafel darauf kommen.

Es gilt also:

Antwort: Aus den beiden Aussagen kann nicht gefolgert werden, dass mindestens $10$ Prozent aller Einwohner auf Tierhaare allergisch sind.

Lösung zu Aufgabe 2a)

Definiere zunächst eine geeignete Zufallsgröße:

$X:$ Anzahl der Personen mit Allergie unter $n$ Einwohner.

Es gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person eine Allergie hat, beträgt $0{,}25$. Weiter handelt es sich beim vorliegenden Zufallsexperiment im Urnenmodell betrachtet um den Fall "Ziehen mit Zurücklegen".

Aus diesen Überlegungen folgt, dass die Zufallsgröße $X$ binomialverteilt ist mit den Parametern $n$ und $0{,}25$.

Nun möchtest du $n$ bestimmen, so dass gilt:

Mit der Beziehung $P(X\geq 1) = 1 - P(X=0)$ folgt:

Nun setzt du für $P(X=0)$ die entsprechende Bernoulli-Kette ein.

Du erhältst:

$\binom{n}{0}\cdot 0{,}25^0\cdot 0{,}75^{n-0} < 0{,}01$

Nun muss noch nach $n$ aufgelöst werden:

Antwort: Man benötigt mindestens $17$ Personen.

Lösung zu Aufgabe 2b)

Du entnimmst aus der Aufgabenstellung, dass $X$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion $B(200;0{,}25)$ hat.

Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass $X$ höchstens um eine Standardabweichung $\sigma_X$ vom Erwartungswert $E(X)$ abweicht. Mathematisch ausgedrückt:

Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen

Für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße $Y$ gilt $E(Y) = n\cdot p$. Es folgt:

Für die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße $Y$ gilt $\sigma_Y = \sqrt{np(1-p)}$. Es folgt:

$\sigma_X = \sqrt{200\cdot0{,}25\cdot 0{,}75} = \sqrt{37{,}5} \approx 6{,}1$

Wahrscheinlichkeit ausrechnen

Du formst jetzt $P(|X-E(X)|\leq \sigma_X)$ um, so dass du das Tafelwerk verwenden kannst.

Es gilt:

$P(|X-E(X)|\leq \sigma_X) = P(-\sigma_X + E(X)\leq X\leq \sigma_X + E(X)) = P(X\leq \sigma_X + E(X)) - P(X\lt E(X) - \sigma_X)$

Mit eingesetzten Werten also:

$P(X\leq 56{,}1) - P(X\lt 43{,}9)=P(X\leq 56) - P(X\le 43) = 0{,}8555 - 0{,}1438 \approx 0{,}71$.

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $71$ Prozent.

Lösung zu Teilaufgabe 3a)

Das Stichwort zu dieser Aufgabe ist das Baumdiagramm.

Zunächst musst du dir überlegen, welche beiden Ereignisse hier betrachtet werden. Man liest aus dem Text:

$A:$ Person leidet an Tierhaarallergie.

$B:$ Hauttest liefert positives Testergebnis.

Erstelle nun ein Baumdiagramm und trage die Wahrscheinlichkeiten aus dem Text dort ein.

$\;$

$P(B) = 0{,}395$

$P_A(B) = 0{,}85$

$P_{\overline{A}}(B) = 0{,}35$

$P(A) = p$

Du möchtest den Wert $p$ der Wahrscheinlichkeit $P(A)$ berechnen. Verwende dafür die zweite Pfadregel:

Aus dem Baumdiagramm kannst du dir die relevanten Wahrscheinlichkeiten rauslesen. Es folgt:

Stelle noch nach $p$ um. Du erhältst:

Antwort: Die Anteil der Bevölkerung mit Tierhaarallergie beträgt $9$ Prozent.

Lösung zu Teilaufgabe 3b)

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ für den Fall, dass Ereignis $B$ schon eingetreten ist. In mathematischer Schreibweise ausdrückt also die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$.

Nun gilt per Definition für bedingte Wahrscheinlichkeiten folgende Beziehung:

Aus dem Baumdiagramm der vorherigen Aufgabe lässt sich $P(B\cap A)$ einfach ausrechnen. $P(B)$ ist bereits bekannt. Es folgt:

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich an einer Tierallergie leidet, beträgt ungefähr $19$ Prozent.

Lösung zu Teilaufgabe 3d)

Betrachte die linke und rechte Seite des Terms $0{,}09\cdot0{,}15 + 0{,}91\cdot 0{,}35$ zunächst seperat.

Es ist in diesem Fall hilfreich, das Baumdiagramm aus der Teilaufgabe $a)$ zu verwenden.

linker Term

Die linke Seite des Terms entspricht laut Baumdiagramm dem Ereignis $A\cap \overline{B}$.

Interpretation: Eine Person leidet an einer Tierallergie und hat ein negatives Testergebnis.

rechter Term

Die rechte Seite des Terms entspricht laut Baumdiagramm dem Ereignis $\overline{A}\cap B$:

Interpretation: Eine Person leidet nicht an der Tierallergie und hat ein positives Testergebnis.

gesamter Term

Die Summe der beiden Terme entspricht also dem Ereignis $(A\cap \overline{B})\cup(\overline{A}\cap B)$.

Interpretation: Eine Person erhält ein falsches Testergebnis.