Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein geschlossenes Zelt, das auf horizontalem Untergrund steht, hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die von der Zeltspitze ausgehenden Seitenkanten werden durch vier gleich lange Stangen gebildet. Das Zelt ist $6 m$ hoch, die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt $5 m$ . Das Zelt wird in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) modellhaft durch eine Pyramide $A B C D S$ mit der Spitze $S (2,5 | 2,5 | 6)$ dargestellt. Der Punkt $A$ liegt im Koordinatenursprung, $C$ hat die Koordinaten $(5 | 5 | 0)$ . Der Punkt $B$ liegt auf der $x_{1}$ -Achse, $D$ auf der $x_{2}$ -Achse. Das Dreieck $C D S$ liegt in der Ebene $E : 12 x_{2} + 5 x_{3} = 60$ . Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
$a)$ Geben Sie die Koordinaten der Punkte $B$ und $D$ an und zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem ein. (3 BE)
$b)$ Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene $F$ , in der das Dreieck $D A S$ liegt, in Normalenform. (3 BE)
(mögliches Ergebnis: $F : 12 x_{1} - 5 x_{3} = 0$ )
$c)$ Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Inneren des Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermitteln Sie die Größe des Winkels. (3 BE)
$d)$ Im Zelt ist eine Lichtquelle so aufgehängt, dass sie von jeder der vier Wände einen Abstand von $50 cm$ hat. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts, der im Modell die Lichtquelle darstellt. (4 BE)
$e)$ Bestimmen Sie eine Gleichung der Symmetrieachse $g$ des Dreiecks $C D S$ . (2 BE)
$f)$ Ein Teil der Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck $C D S$ dargestellt wird, kann mithilfe zweier vertikal stehender Stangen der Länge $1,80 m$ zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende $1,40 m$ breite Öffnung in der Zeltwand wird im Modell durch ein Rechteck dargestellt, dass symmetrisch zu $g$ liegt. Dabei liegt eine Seite dieses Rechtecks auf der Strecke $[C D]$ . Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vordachs. (5 BE)

Lösung zur Teilaufgabe a)
Ermittlung von $B$ und $D$
Die Grundfläche der Pyramide ist ein Quadrat mit der Ecke $A$ im Ursprung und der Ecke $C$ bei $(5 | 5 | 0)$ . Da $B$ auf der $x_{1}$ -Achse liegt, sind die $x_{2}$ -Koordinate und die $x_{3}$ -Koordinate Null. Die $x_{1}$ -Koordinate muss $5$ sein, damit die Grundfläche quadratisch ist. Also hat $B$ die Koordinaten $(5 | 0 | 0)$ . Zur Ermittlung des Punkts $D$ kannst du ähnlich vorgehen und erhältst die Koordinaten $(0 | 5 | 0)$ .
Zeichnen der Pyramide
Trage jetzt die Punkte $A$ , $B$ , $C$ , $D$ und $S$ in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein und verbinde sie zur Pyramide $A B C D S$ .
Lösung zur Teilaufgabe b)
Du kannst die Ebene durch die drei Punkte $A$ , $D$ und $S$ aufstellen. Berechne zunächst den Normalenvektor der Ebene $F$ .
Berechnung des Normalenvektors
$\vec{A D} \times \vec{A S} = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2,5 \\ 2,5 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 30 \\ 0 \\ - 12,5 \end{array})$
Durch Kürzen erhältst du den Normalenvektor $(\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ - 5 \end{array})$ .
Bestimmung der Ebenengleichung
Diesen kannst du in die allgemeine Ebenengleichung in Normalform einsetzen. $A$ kannst du als Aufpunkt benutzen. Durch Ausmultiplizieren erhältst du die gewünschte Koordinatenform.
$(\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} - 0 \\ x_{2} - 0 \\ x_{3} - 0 \end{array}) = 0$
$12 x_{1} - 5 x_{3} = 0$
Lösung zur Teilaufgabe c)
Der Winkel zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren der Ebenen.
Ermittlung der Normalenvektoren
Den Normalenvektor der Ebene $E$ kannst du aus der Ebenengleichung ablesen, er ist $(\begin{array}{c} 0 \\ 12 \\ 5 \end{array})$ . Der Normalenvektor der Ebene $F$ ist $(\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ - 5 \end{array})$ (in Teilaufgabe b) berechnet).
Berechnung des Winkels
Benutze nun die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren.
$\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 0 \\ 12 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ - 5 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 0 \\ 12 \\ 5 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ - 5 \end{array}) |} = \frac{- 25}{169}$
$\Rightarrow α \approx 98,51 °$
Lösung zur Teilaufgabe d)
Vorüberlegungen
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität, die Lichtquelle (hier genannt $L$ ) soll also von allen Zeltwänden eine halbe Längeneinheit entfernt sein. Damit die Lichtquelle von allen Wänden den gleichen Abstand hat, muss sie in der Mitte des Zelts hängen; sie hat also die Koordinaten $L (2,5 | 2,5 | x)$ . Wir kennen die Ebenengleichungen für zwei der Zeltwände, $E$ und $F$ .
Anwendung des Projektionsverfahren
Um den Abstand von $L$ zu $F$ (oder $E$ ) zu bestimmen, kannst du das Projektionsverfahren verwenden.Die Hesse-Normalform von $F$ ist:
$F : \frac{1}{13} (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ - 5 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})]$
Jetzt kannst du $L$ in die Formel zur Berechnung des Abstands einsetzen und nach $x$ auflösen.
$d (F, L) = 0,5 = | \frac{1}{13} (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ - 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2,5 \\ 2,5 \\ x \end{array}) |$
$0,5 = | \frac{30 - 5 x}{13} |$
$\Rightarrow x = 4,7$ oder $x = 7,3$
Für $x = 7,3$ würde $L$ außerhalb des Zelts liegen, deshalb ist $x = 4,7$ und $L$ hat die Koordinaten $(2,5 | 2,5 | 4,7)$ .
Um deine Antwort zu überprüfen, kannst du $L$ in die Hesse-Normalform von $E$ einsetzen.
Lösung zur Teilaufgabe e)
Da $S$ über der Mitte der Grundfläche der Pyramide liegt, ist das Dreieck $C D S$ gleichschenklig mit den Schenkeln $[C S]$ und $[D S]$ . Die Symmetrieachse muss also durch $S$ und den Mittelpunkt (hier genannt $M$ ) der Seite $[C D]$ verlaufen. Stelle eine Gerade durch diese Punkte auf.
Berechnung des Mittelpunkts
$\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{C} + \vec{D}) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ 5 \\ 0 \end{array})$
Berechnung des Richtungsvektors
Als Richtungsvektor kannst du $\vec{M S}$ verwenden.
$\vec{M S} = \vec{S} - \vec{M} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2,5 \\ 6 \end{array})$
Aufstellen der Symmetriegerade
Setze den Richtungsvektor und einen Aufpunkt (entweder $M$ oder $S$ in die allgemeine Geradengleichung in der analytischen Geometrie ein.
$g : \vec{x} = \vec{p} + λ \vec{u}$
$\vec{x} = \vec{S} + λ \vec{M S}$
$\vec{x} = (\begin{array}{c} 2,5 \\ 2,5 \\ 6 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 0 \\ - 2,5 \\ 6 \end{array})$
Lösung zur Teilaufgabe f)
Die Fläche des Vordachs entspricht der Fläche des Eingangs. Eine Seitenlänge dieses Rechtecks ist bekannt ( $1,4 m = 1,4$ Längeneinheiten), die andere Seitenlänge gilt es zu berechnen. Die Höhe des Eingangs ist $1,8 m$ , also auch $1,8$ Längeneinheiten. Da der Eingang symmetrisch zur Symmetriegerade $g$ ist, liegt die unbekannte Seite im rechten Winkel zur Strecke $[C D]$ .
Berechne zunächst einen Punkt $P$ , der auf $E$ liegt und die Höhe $x_{3} = 1,8$ besitzt. Dann kannst du den Abstand von $P$ zu der Gerade $C D$ berechnen. Dieser Abstand ist die Länge der zweiten Seite.
Berechnung von $P$
$P$ hat die Koordinaten $(x_{1} | x_{2} | 1,8)$ . Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung von $E$ ein.
$E : 12 x_{2} + 5 \cdot 1,8 = 60 \Rightarrow x_{2} = 4,25$
Die $x_{1}$ -Koordinate von $P$ kannst du frei wählen ( $P$ liegt für jede beliebige $x_{1}$ -Koordinate auf $E$ ); der Einfachheit halber wurde hier $x_{1} = 0$ gewählt. $P$ hat dann die Koordinaten $(0 | 4,25 | 1,8)$ .
Berechnung des Abstands
Hierzu gibt es mehrere Möglichkeiten.
1. Möglichkeit
Bestimme die Gleichung der Gerade $C D$ .
$C D : \vec{x} = \vec{C} + λ \cdot \vec{C D}$
$C D : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
Benutze die Formel zur Bestimmung des Abstands.
$d = \frac{| ((\begin{array}{c} 0 \\ 4,25 \\ 1,8 \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 0 \end{array})) \times (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) |}{\sqrt{(- 5)^{2} + 0^{2} + 0^{2}}}$
$= \frac{| (\begin{array}{c} - 5 \\ - 0,75 \\ 1,8 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) |}{5}$
$= \frac{| (\begin{array}{c} 0 \\ - 9 \\ 3,75 \end{array}) |}{5}$
$= \frac{\sqrt{(- 9)^{2} + {3,75}^{2}}}{5}$
$= 1,95$
2. Möglichkeit
Berechne den Lotpunkt $L$ von $P$ auf $C D$ . Da $L$ auf der Gerade $C D$ liegt, ist $x_{2} = 5$ und $x_{3} = 0$ . Da $[P L]$ parallel zur Symmetriegerade $g$ liegt, muss $L$ die gleiche $x_{1}$ -Koordinate wie $P$ haben ( $\Rightarrow x_{1} = 0$ ). $L$ hat also die Koordinaten $(0 | 5 | 0)$ .Die zweite Seitenlänge ist die Länge der Strecke $[P L]$ . $[P L] = | \vec{P Q} | = | (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 4,25 \\ 1,8 \end{array}) | = 1,95$
Berechnung des Flächeninhalts
Der Flächeninhalt ist: $A = 1,95 \cdot 1,4 = 2,73$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Lösung zur Teilaufgabe a)

Ermittlung von B und D

Zeichnen der Pyramide

Lösung zur Teilaufgabe b)

Berechnung des Normalenvektors

Bestimmung der Ebenengleichung

Lösung zur Teilaufgabe c)

Ermittlung der Normalenvektoren

Berechnung des Winkels

Lösung zur Teilaufgabe d)

Vorüberlegungen

Anwendung des Projektionsverfahren

Lösung zur Teilaufgabe e)

Berechnung des Mittelpunkts

Berechnung des Richtungsvektors

Aufstellen der Symmetriegerade

Lösung zur Teilaufgabe f)

Berechnung von P

Berechnung des Abstands

1. Möglichkeit

2. Möglichkeit

Berechnung des Flächeninhalts

Ermittlung von $B$ und $D$

Berechnung von $P$