Aufgaben zum Sinus und Kosinus am Einheitskreis

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Überlege am Einheitskreis: Für welche Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ gilt $\sin\left(\alpha\right)=0{,}5$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einheitskreis
Verwende eine Skizze des Einheitskreises und zeichne eine Hilfslinie bei $y=0{,}5$ .
Markiere die Schnittpunkte der Hilfslinie mit dem Kreis.
Miss die Winkel zwischen der x-Achse und den Schenkeln, die zu diesen Schnittpunkten führen.
Das sind die gesuchten Winkel.
Für die Winkel $30°$ und $150°$ gilt : $\ \text{sin}(\alpha)=0{,}5$
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen im Bereich $\gamma\in\left[-180^\circ;720^\circ\right]$ ( Teilaufgabe (a) ) bzw. $x\in\left[-2\mathrm\pi;\;6\mathrm\pi\right]$ ( ) (Teilaufgaben (b) - (c) )
1. $\cos\left(\gamma\right)=\frac12\sqrt2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie am Einheitskreis
  $\cos\left(\gamma\right)=\frac12\sqrt2$
  Der Kosinus ist im ersten sowie im vierten Quadranten positiv.
  1. Winkel
  $\cos\left(\gamma\right)=\frac12\sqrt2$
  $\gamma_1=45^\circ$
  2. Winkel
  $\cos\left(360^\circ-\gamma_1\right)=\frac12\sqrt2$
  $\cos\left(360^\circ-45^\circ\right)=\frac12\sqrt2$
  $\gamma_2=315^\circ$
  3. Winkel
  $\cos\left(360^\circ+\gamma_1\right)=\frac12\sqrt2$
  $\cos\left(360^\circ+45^\circ\right)=\frac12\sqrt2$
  $\gamma_3=405^\circ$
  4. Winkel
  $\cos\left(720^\circ-\gamma_1\right)=\frac12\sqrt2$
  $\cos\left(720^\circ-45^\circ\right)=\frac12\sqrt2$
  $\gamma_3=675^\circ$
  5. Winkel
  $\cos\left(0^\circ-\gamma_1\right)=\frac12\sqrt2$
  $\cos\left(0^\circ-45^\circ\right)=\frac12\sqrt2$
  $\gamma_4=-45^\circ$
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2. $\sin\left(\frac x2\right)=1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie am Einheitskreis
  $\sin\left(\frac x2\right)=1$
  Sinus ist im ersten und zweiten Quadranten positiv.
  $y\in\left[-\mathrm\pi;\;3\mathrm\pi\right]$
  1.Winkel im Bogenmaß
  $\dfrac x2=y$
  $\sin\left(y\right)=1$
  $y_1=\dfrac12\mathrm\pi$
  $x_1=\mathrm\pi$
  2. Winkel im Bogenmaß
  $\sin\left(2\mathrm\pi+y_1\right)=1$
  $\sin\left(2\mathrm\pi+\frac{\mathrm\pi}2\right)=1$
  $\gamma_2=2{,}5\mathrm\pi$
  $x=5\mathrm\pi$
  3. Winkel im Bogenmaß
  $\sin\left(0-y_1\right)=1$
  $\sin\left(-\frac{\mathrm\pi}2\right)=1$
  $y_3=-\frac12\mathrm\pi$
  $x=-\mathrm\pi$
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3. $\sin\left(x\right)=-2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie am Einheitskreis
  $\sin\left(x\right)=-2$
  Geht nicht, da gilt: $-1\leq\sin\left(x\right)\leq1$
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3
Für welche Winkel $\gamma$ gilt: $\gamma\in\left[0^\circ;\;360^\circ\right]$ und $\cos\left(\gamma\right)=-\sin\left(\gamma\right)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$\cos\left(\gamma\right)=-\sin\left(\gamma\right)$
Der/Die Winkel müssen im zweiten und vierten Quadranten liegen.
$\sin\left(\gamma\right)=\cos\left(\gamma\right)$ wenn gilt $\gamma=45^\circ$
Dem Winkel $\gamma=45^\circ$ entsprechen
1.Winkel
$Syntax error from line 1 column 323 to line 1 column 328. Unexpected ''.$
$Syntax error from line 1 column 253 to line 1 column 258. Unexpected ''.$
$\gamma=135^\circ$
$-\left(\frac{\sqrt2}2\right)=-\frac{\sqrt2}2$
2.Winkel
$Syntax error from line 1 column 325 to line 1 column 330. Unexpected ''.$
$Syntax error from line 1 column 253 to line 1 column 258. Unexpected ''.$
$\gamma=315^\circ$
$-\left(-\frac{\sqrt2}2\right)=\frac{\sqrt2}2$
$\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}2$

In dieser Aufgabe geht es darum, $\sin(60°)$ zu berechnen.

Zeichne ein großes Koordinatensystem. $(1 \text{ Längeneinheit} \; \hat{=} \; 8 \text{ Kästchen})$ . Konstruiere mit dem Zirkel den Einheitskreis und trage mit dem Geodreieck einen $60°$ -Winkel an die $x$ -Achse. Konstruiere die Länge $\sin(60°)$ und messe sie mit dem Lineal.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie am Einheitskreis
Zeichne das Koordinatensystem.
Konstruiere den Einheitskreis mit deinem Zirkel.
Benutze das Geodreieck, um einen $60°$ -Winkel an die $x$ -Achse zu zeichnen. Markiere den Schnittpunkt der entstehenden Gerade mit dem Einheitskreis.
Zeichne das Lot, also eine Senkrechte, zur $x$ -Achse, das durch den markierten Punkt verläuft.
Nun kannst du die Länge des Sinus mit deinem Lineal messen.
$\sin(60°) \approx 0{,}87$
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Berechne $\sin(60°)$ genau. Finde dafür zuerst den Wert für $\cos(60°)$ heraus. Konstruiere dafür ein gleichseitiges Dreieck.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \left(\cos(60°)\right)^2+\left(\sin(60°)\right)^2$	$=$	$\displaystyle 1^2$
	↓	Setze den Wert für den Kosinus ein.
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sin(60°)\right)^2$	$=$	$\displaystyle 1^2$
$\displaystyle \frac{1}{4}+\left(\sin(60°)\right)^2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -\frac{1}{4}$
$\displaystyle \left(\sin(60°)\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle \sin(60°)$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{3}{4}}$
	↓	Weil $\sin(60°)$ überhalb der $x$ -Achse angetragen wurde, kommt nur das positive Ergebnis in Frage.
$\displaystyle \sin(60°)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{3}{4}}$

Aufgaben zum Sinus und Kosinus am Einheitskreis

1. Winkel

2. Winkel

3. Winkel

4. Winkel

5. Winkel

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1.Winkel im Bogenmaß

2. Winkel im Bogenmaß

3. Winkel im Bogenmaß

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1.Winkel

2.Winkel

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