Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=x^4-x^3$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$ also $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)}$$.

Betrachte das Element mit der höchsten Potenz.

Dafür gilt $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^4=+\infty .}$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=x^4-x^3$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$ also $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)}$$.

Betrachte das Element mit der höchsten Potenz.

Dafür gilt $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^4=+\infty .}$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^3+2x^2$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^3+2x^2$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to +\infty }{\underbrace{-\frac{1}{3}\underset{\to -\infty }{\underbrace{x^3}}}}=+\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=2x^4-3x^2-\mathrm{0,5}x$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=2x^4-3x^2-\mathrm{0,5}x$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=\frac{1}{8}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to +\infty }{\underbrace{\frac{1}{8}{x}^3}}=+\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=\frac{1}{8}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{\frac{1}{8}{x}^3}}=-\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty .}$$

Verhalten gegen $+\infty$

$f(x)=x^5-\frac{1}{4}{x}^3+2x$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Verhalten gegen $-\infty$

$f(x)=x^5-\frac{1}{4}{x}^3+2x$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$.

Verhalten gegen $+\infty$

$f(x)=x^6-\frac{2}{3}{x}^4+3x^2$

Berechne den Grenzwert gegen $+\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt:$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to +\infty }{\underbrace{x^6}}=+\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Verhalten gegen $-\infty$

$f(x)=x^6-\frac{2}{3}{x}^4+3x^2$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt:$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to +\infty }{\underbrace{x^6}}=+\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Verhalten gegen $+\infty$

$f(x)=-\frac{3}{2}{x}^4+2x^2$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt:$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{-\infty }{\underbrace{-\underset{\to +\infty }{\underbrace{\frac{3}{2}{x}^4}}}}=-\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty .}$$

Verhalten gegen $-\infty$

$f(x)=-\frac{3}{2}{x}^4+2x^2$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{-\infty }{\underbrace{-\underset{\to +\infty }{\underbrace{\frac{3}{2}{x}^4}}}}=-\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty .}$$