Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=x^4-x^3$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$ also $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$.

Betrachte das Element mit der höchsten Potenz.

Dafür gilt $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}x^4=+\infty.$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty.$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=x^4-x^3$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$ also $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$.

Betrachte das Element mit der höchsten Potenz.

Dafür gilt $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}x^4=+\infty.$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty.$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=-\frac13x^3+2x^2$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=-\frac13x^3+2x^2$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{-\frac{1}{3}\underbrace{x^3}_{\rightarrow-\infty}}_{\rightarrow+\infty}=+\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty.$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=2x^4-3x^2-0{,}5x$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=2x^4-3x^2-0{,}5x$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=\frac18x^3+\frac12x^2-x$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\frac{1}{8}x^3}_{\rightarrow+\infty}=+\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty.$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=\frac18x^3+\frac12x^2-x$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{\frac{1}{8}x^3}_{\rightarrow-\infty}=-\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty.$

Verhalten gegen $+\infty$

$f(x)=x^5-\frac14x^3+2x$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Verhalten gegen $-\infty$

$f(x)=x^5-\frac14x^3+2x$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$.

Verhalten gegen $+\infty$

$f(x)=x^6-\frac23x^4+3x^2$

Berechne den Grenzwert gegen $+\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt:$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x^6}_{\rightarrow+\infty}=+\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty.$

Verhalten gegen $-\infty$

$f(x)=x^6-\frac23x^4+3x^2$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt:$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{x^6}_{\rightarrow+\infty}=+\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty.$

Verhalten gegen $+\infty$

$f(x)=-\frac32x^4+2x^2$

Bilde den Grenzwert gegen $+\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt:$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{-\underbrace{\frac32x^4}_{\rightarrow+\infty}}_{-\infty}=-\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty.$

Verhalten gegen $-\infty$

$f(x)=-\frac32x^4+2x^2$

Bilde den Grenzwert gegen $-\infty$.

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow - \infty}\underbrace{-\underbrace{\frac32x^4}_{\rightarrow+\infty}}_{-\infty}=-\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty.$