Aufgaben zu indirekt proportionalen Zuordnungen

a) Du weißt aus der Angabe, dass der Flächeninhalt des Rechtecks $24{\text{ cm}}^{2}24\backslash text\{\; cm\}^2$ beträgt. Außerdem kannst du den Flächeninhalt eines Rechteck mit folgender Formel bestimmen: $A_{\text{Rechteck}}=\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge}\cdot \text{Breite}=\text{x}\cdot \text{y}A\_\{\backslash text\{Rechteck\}\}=\backslash text\{Länge\}\backslash cdot\backslash text\{Breite\}=\backslash text\{x\}\backslash cdot\backslash text\{y\}$.

In dieser Aufgabe musst du also natürliche Zahlen finden, die miteinander multipliziert 24 ergeben. Es gibt folgende acht verschiedene Möglichkeiten:

Anhand dieses Applets kannst du dir die Lösung auch visuell bestätigen lassen.

b) Mithilfe der Tabelle der Teilaufgabe a) kannst du diese Aufgabe lösen. Dazu betrachtet man die Tabelle als eine Wertetabelle und die Seitenpaare als Punkte mit einem x und einem y- Wert. Nun kannst du die Punkte in einem Koordinatensystem eintragen und erhältst folgende graphische Darstellung:

Dieser Graph entspricht einer Hyperbel.

Zusatz:

Hier kannst mit Hilfe des Applets die Kombination des Rechtecks mit der Hyperbel sehen. Wenn du bei der Leiste unten weiter klickst, siehst du die Punkte und kannst die Hyperbel zeichnen, indem du den Punkt B bewegst.

c) Um den zugehörigen Funktionsterm des Graphens zu finden, ist die Betrachtung der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks nützlich.

Du kannst nun für den Flächeninhalt $A_{\text{Rechteck}}A\_\{\backslash text\{Rechteck\}\}$ den Wert aus der Angabe einsetzen.

Jetzt kannst du die Gleichung nach y auflösen und erhältst den zugehörigen Funktionsterm:

Der Zusammenhang zwischen der Länge (x in cm) und der Breite (y in cm) eines Rechtecks mit einem Flächeninhalt von $24{\text{ cm}}^{2}24\backslash text\{\; cm\}^2$ wird mit folgendem Funktionsterm beschrieben:

a) Du weißt aus der Angabe, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $6{\text{ cm}}^{2}6\; \backslash text\{\; cm\}^2$ beträgt. Außerdem kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit folgender Formel bestimmen: $A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot hA\_\{\backslash text\{Dreieck\}\}=\; \backslash frac\; 12\backslash cdot\; g\; \backslash cdot\; h$.

Du kannst nun den Wert für den Flächeninhalt einsetzen und so umformen, dass du auf der einen Seite nur noch die Grundlinie und die zugehörige Höhe stehen hast.

Mit Hilfe dieser Umformung musst du also natürliche Zahlen für die Länge der Grundlinie $gg$ (x in cm) und Höhe $hh$ (y in cm) finden, sodass sie multipliziert 12 ergeben. Dann hast du Zahlenpaare gefunden, die ein Dreieck mit dem Flächeninhalt von $6{\text{ cm}}^{2}6\; \backslash text\{\; cm\}^2$ ergeben. Es gibt 6 solcher Paare.

b) Mithilfe der Tabelle der Teilaufgabe a) kannst du diese Aufgabe lösen. Dazu betrachtet man die Tabelle als eine Wertetabelle und die Seitenpaare als Punkte mit einem x und einem y- Wert. Nun kannst du die Punkte in einem Koordinatensystem eintragen und erhältst folgende graphische Darstellung:

Dieser Graph entspricht einer Hyperbel. Die Punkte darf man verbinden, weil jeder (positive) reelle Wert für die Grundseite und die Höhe zulässig sind und nicht nur die ganzzahligen Paare.

c) Um den zugehörigen Funktionsterm des Graphens zu finden, ist die Betrachtung der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks nützlich.

Du kannst nun für den Flächeninhalt $A_{\text{Dreieck}}A\_\{\backslash text\{Dreieck\}\}$ den Wert aus der Angabe einsetzen und $gg$ und $hh$ durch $xx$ und $yy$ ersetzen.

Jetzt kannst du die Gleichung nach y auflösen und erhältst den zugehörigen Funktionsterm:

Der Zusammenhang zwischen der Grundlinie $gg$ (x in cm) und der zugehörigen Höhe $hh$ (y in cm) eines Dreiecks mit einem Flächeninhalt von $6{\text{ cm}}^{2}6\; \backslash text\{\; cm\}^2$ wird mit folgender Funktion beschrieben:

$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}\Rightarrow \mathbf{g}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{u}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{G}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{p}\mathbf{h}\backslash bf\; f(x)=x\Rightarrow \backslash bf\backslash textcolor\{5E5E5E\}\{grauer\; \backslash \; Graph\}$

Bei der ersten Funktion $f(x)=xf(x)=x$ handelt es sich um eine Funktion der Form $f(x)=m\cdot x+tf(x)=\; m\; \backslash cdot\; x+t$, wobei in diesem Fall die Steigung $m=1m=1$ und der y-Achsenabschnitt $t=0t=0$ ist. Den Graphen einer Funktion solcher Form nennt man eine Gerade.

Mit diesen Informationen weißt du auch, dass es sich um eine steigende Gerade handelt und demnach kannst die Funktion $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}\backslash bf\; f(x)=x$ dem $\mathbf{g}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{u}\mathbf{e}\mathbf{n}\backslash bf\backslash textcolor\{5E5E5E\}\{grauen\}$ Graphen zuordnen.

Überprüfen kannst du dies, indem du einen Punkt auf dem Graphen abliest und diesen in die Funktion einsetzt.

$P(0\mid 0)\Rightarrow f(0)=1\cdot 0+0=0P(0\mid 0)\Rightarrow f(0)=1\backslash cdot\; 0+0=0$

$\mathbf{f}(\mathbf{x})=-\mathbf{5}\mathbf{x}\Rightarrow \mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{G}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{p}\mathbf{h}\backslash bf\; f(x)=-5x\Rightarrow \backslash bf\backslash textcolor\{B22222\}\{roter\; \backslash \; Graph\}$

Ähnlich wie bei der vorherigen Funktion handelt es sich bei der letzten Funktion $f(x)=-5xf(x)=-5x$ um eine lineare Funktion mit der Steigung $m=-5m=-5$ und dem y-Achsenabschnitt $t=0t=0$.

Die Steigung dieser Funktion ist negativ und somit handelt es sich um eine fallende Gerade. Also kannst du die Funktion $\mathbf{f}(\mathbf{x})=-\mathbf{5}\mathbf{x}\backslash bf\; f(x)=-5x$ dem $\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{e}\mathbf{n}\backslash bf\backslash textcolor\{B22222\}\{roten\}$ Graphen zuordnen.

$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{x}}\Rightarrow \mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{G}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{p}\mathbf{h}\backslash bf\; f(x)=\backslash frac\; 2\; x\; \Rightarrow \backslash bf\backslash textcolor\{660099\}\{lila\; \backslash \; Graph\}$

Aus der Form der Funktion $f(x)=\frac{2}{x}f(x)=\backslash frac\; 2x$ kannst du entnehmen, dass es sich bei dem Graphen dieser Funktion um eine Hyperbel handelt mit der positiven Öffnung $a=2a=2$. Das heißt der Graph befindet sich im 1. und 3. Quadranten.

Also hast du von den 5 Graphen 2 (blau und lila), die in Frage kommen würden. Um herauszufinden welcher dieser Graphen die richtige ist, kannst du einen günstigen x-Wert in die Funktion einsetzten und schauen, welcher y-Wert rauskommt. Anschließend kannst du überprüfen auf welchem Graph sich der Punkt befindet.

Beispiel: $\mathbf{x}=\mathbf{2}\backslash bf\; x=2$

$f(2)=\frac{2}{2}=1\Rightarrow P(2\mathrm{\mid }1)\Rightarrow \text{Der Punkt liegt auf dem }\mathbf{\text{lila}}\text{ Graphen.}f(2)=\backslash frac\; 2\; 2=1\; \Rightarrow \; P(2|1)\Rightarrow \backslash text\{Der\; Punkt\; liegt\; auf\; dem\; \backslash textcolor\{660099\}\{\backslash bf\; lila\}\; Graphen.\}$

$\mathbf{f}(\mathbf{x})=-\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{x}}\Rightarrow \mathbf{g}\mathbf{r}\ddot{\mathbf{u}}\mathbf{n}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{G}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{p}\mathbf{h}\backslash bf\; f(x)=-\backslash frac\{2\}\{x\}\; \Rightarrow \backslash bf\backslash textcolor\{006400\}\{grüner\; \backslash \; Graph\}$

Auch hier handelt es sich um eine Hyperbel. Dieses Mal besitzt die Hyperbel eine negative Öffnung $a=-2a=-2$. Das heißt der Graph befindet sich im 2. und 4. Quadranten. Somit kommt für die Funktion $\mathbf{f}(\mathbf{x})=-\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{x}}\backslash bf\; \{f(x)=-\backslash frac2x\}$ nur der $\mathbf{g}\mathbf{r}\ddot{\mathbf{u}}\mathbf{n}\mathbf{e}\backslash bf\; \backslash textcolor\{006400\}\{grüne\}$ Graph in Frage.

Die Überlegung kannst du überprüfen, indem du einen günstigen und gut ablesbaren Punkten vom Graphen entnimmst und den in die Funktion einsetzt.

$P(2\mid -1)\Rightarrow f(2)=-\frac{2}{2}=-1P(2\mid -1)\Rightarrow f(2)=-\backslash frac\; 2\; 2=-1$

$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\frac{\mathbf{0,3}}{\mathbf{x}}\Rightarrow \mathbf{b}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{u}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{G}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{p}\mathbf{h}\backslash bf\; f(x)=\backslash frac\; \{0\{,\}3\}\; x\; \Rightarrow \backslash bf\backslash textcolor\{009999\}\{blauer\; \backslash \; Graph\}$

Bei der Funktion $f(x)=\frac{\mathrm{0,3}}{x}f(x)=\backslash frac\; \{0\{,\}3\}x$ handelt es sich ebenfalls um eine Hyperbel mit der positiven Öffnung $a=\mathrm{0,3}a=0\{,\}3$. Also befindet sich der Graph im 1. und 3. Quadranten. Somit ist es entweder der lila Graph oder der blaue Graph.Um herauszufinden welcher dieser Graphen die richtige ist, kannst du einen günstigen x-Wert in die Funktion einsetzten und schauen, welcher y-Wert rauskommt. Anschließend kannst du überprüfen auf welchem Graph sich der Punkt befindet.

Beispiel: $\mathbf{x}=\mathbf{2}\backslash bf\; x=2$

$f(2)=\frac{\mathrm{0,3}}{2}=\mathrm{0,15}\Rightarrow P(2\mathrm{\mid }\mathrm{0,15})\Rightarrow \text{Der Punkt liegt auf dem }\mathbf{\text{blauen}}\text{ Graphen.}f(2)=\backslash frac\; \{0\{,\}3\}\; 2=0\{,\}15\; \Rightarrow \; P(2|0\{,\}15)\Rightarrow \backslash text\{Der\; Punkt\; liegt\; auf\; dem\; \backslash textcolor\{009999\}\{\backslash bf\; blauen\}\; Graphen.\}$