Aufgaben zur Parallelverschiebung

1

Verschiebe den Punkt $P$ um den Vektor $\overset{⇀}{v}$ . Gib die Koordinaten von $P^{'}$ an.

Gib den Punkt $P ′$ jeweils in das Eingabefeld ein, zum Beispiel: $(- 2 ∣ 0,5)$

$P (- 2 | 1)$ , $\overset{⇀}{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes
1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform
Addiere den Vektor $\overset{⇀}{v}$ zu dem Ortsvektor $\overset{⇀}{P}$
$\overset{⇀}{P^{'}} = \overset{⇀}{P} + \overset{⇀}{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \end{array})$
$x_{P^{'}} = - 2 + 1 = - 1$
$y_{P^{'}} = 1 + (- 3) = - 2$
$\to P^{'} (- 1 | - 2)$
2. Variante: Lösung mit der Matrixform
$\overset{⇀}{P^{'}} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{P} + \overset{⇀}{v} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \end{array})$
Addiere die Vektoren
$(\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \end{array})$
$\to \overset{⇀}{P^{'}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \end{array})$
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$P (- 3,2 | 2,4)$ , $\overset{⇀}{v} = (\begin{array}{c} 1,4 \\ - 1,7 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes
1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform
Addiere den Vektor $\overset{⇀}{v}$ zu dem Ortsvektor $\overset{⇀}{P}$
$\overset{⇀}{P^{'}} = \overset{⇀}{P} + \overset{⇀}{v} = (\begin{array}{c} - 3,2 \\ 2,4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1,4 \\ - 1,7 \end{array})$
$x_{P^{'}} = - 3,2 + 1,4 = - 1,8$
$y_{P^{'}} = 2,4 + (- 1,7) = 0,7$
$\to P^{'} (- 1,8 | 0,7)$
2. Variante: Lösung mit der Matrixform
$\overset{⇀}{P^{'}} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{P} + \overset{⇀}{v} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3,2 \\ 2,4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1,4 \\ - 1,7 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3,2 \\ 2,4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1,4 \\ - 1,7 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3,2 \\ 2,4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1,4 \\ - 1,7 \end{array})$
Addiere die Vektoren
$(\begin{array}{c} - 3,2 \\ 2,4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1,4 \\ - 1,7 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1,8 \\ 0,7 \end{array})$
$\to \overset{⇀}{P^{'}} = (\begin{array}{c} - 1,8 \\ 0,7 \end{array})$
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2

Um welchen Vektor $\overset{⇀}{v}$ wurde $P$ auf $P^{'}$ verschoben?

$P (2 | 3)$ , $P^{'} (3 | - 2)$

$P (9 | 0,3)$ , $P^{'} (5 | 0,7)$

3

Welcher Punkt $P$ wurde um den Vektor $\vec{v}$ auf $P^{'}$ verschoben?

Gib den Punkt $P$ jeweils in das Eingabefeld ein, zum Beispiel: $(- 2 ∣ 0,5)$

$\overset{⇀}{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3,1 \end{array})$ , $P^{'} (2,7 | 1,6)$

$\overset{⇀}{v} = (\begin{array}{c} 2,1 \\ 2,3 \end{array})$ , $P^{'} (5,2 | - 0,7)$

$3$	$=$	$2 + v_{x}$	$- 2$
$3 - 2$	$=$	$v_{x}$
$1$	$=$	$v_{x}$

$- 2$	$=$	$3 + v_{y}$	$- 3$
$- 2 - 3$	$=$	$v_{y}$
$- 5$	$=$	$v_{y}$

$\overset{⇀}{P^{'}}$	$=$	$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{P} + \overset{⇀}{v}$
$(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}) + \overset{⇀}{v}$
	↓	Löse nach $\overset{⇀}{v}$ auf
$\overset{⇀}{v}$	$=$	$(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array})$
	↓	Führe die Matrix-Vektor- Multiplikation durch
$\overset{⇀}{v}$	$=$	$(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array})$
	↓	Subtrahiere die Vektoren
$\overset{⇀}{v}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ - 5 \end{array})$

$5$	$=$	$9 + v_{x}$	$- 9$
$v_{x}$	$=$	$5 - 9$
$v_{x}$	$=$	$- 4$

$0,7$	$=$	$0,3 + v_{y}$	$- 0,3$
$v_{y}$	$=$	$0,7 - 0,3$
$v_{y}$	$=$	$0,4$

$\overset{⇀}{P^{'}}$	$=$	$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{P} + \overset{⇀}{v}$
$(\begin{array}{c} 5 \\ 0,7 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 9 \\ 0,3 \end{array}) + \overset{⇀}{v}$
	↓	Löse nach $\overset{⇀}{v}$ auf
$\overset{⇀}{v}$	$=$	$(\begin{array}{c} 5 \\ 0,7 \end{array}) - (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 9 \\ 0,3 \end{array})$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
$\overset{⇀}{v}$	$=$	$(\begin{array}{c} 5 \\ 0,7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 9 \\ 0,3 \end{array})$
	↓	Subtrahiere die Vektoren
$\overset{⇀}{v}$	$=$	$(\begin{array}{c} - 4 \\ 0,4 \end{array})$

$2,7$	$=$	$x_{P} + (- 2)$	$+ 2$
	↓	Löse nach $x_{P}$ auf
$2,7 + 2$	$=$	$x_{P}$
$4,7$	$=$	$x_{P}$

$1,6$	$=$	$y_{P} + (- 3,1)$	$+ 3,1$
	↓	Löse nach $y_{P}$ auf
$y_{P}$	$=$	$1,6 + 3,1$
$y_{P}$	$=$	$4,7$

$\overset{⇀}{P^{'}}$	$=$	$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{P} + \overset{⇀}{v}$
$(\begin{array}{c} 2,7 \\ 1,6 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{P} \\ y_{P} \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3,1 \end{array})$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
$(\begin{array}{c} 2,7 \\ 1,6 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} x_{P} \\ y_{P} \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3,1 \end{array})$
	↓	Löse nach $\overset{⇀}{P} = (\begin{array}{c} x_{P} \\ y_{P} \end{array})$ auf
$\overset{⇀}{P}$	$=$	$(\begin{array}{c} 2,7 \\ 1,6 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3,1 \end{array})$
	↓	Subtrahiere die Vektoren
	$=$	$(\begin{array}{c} 4,7 \\ 4,7 \end{array})$

$5,2$	$=$	$x_{P} + 2,1$	$- 2,1$
	↓	Löse nach $x_{P}$ auf
$5,2 - 2,1$	$=$	$x_{P}$
$3,1$	$=$	$x_{P}$

$- 0,7$	$=$	$y_{P} + 2,3$	$- 2,3$
	↓	Löse nach $y_{P}$ auf
$- 0,7 - 2,3$	$=$	$y_{P}$
$- 3$	$=$	$y_{P}$

$\overset{⇀}{P^{'}}$	$=$	$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot \overset{⇀}{P} + \overset{⇀}{v}$
$(\begin{array}{c} 5,2 \\ - 0,7 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{P} \\ y_{P} \end{array}) + (\begin{array}{c} 2,1 \\ 2,3 \end{array})$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
$(\begin{array}{c} 5,2 \\ - 0,7 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} x_{P} \\ y_{P} \end{array}) + (\begin{array}{c} 2,1 \\ 2,3 \end{array})$
	↓	Löse nach $\overset{⇀}{P} = (\begin{array}{c} x_{P} \\ y_{P} \end{array})$ auf
$\overset{⇀}{P}$	$=$	$(\begin{array}{c} 5,2 \\ - 0,7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2,1 \\ 2,3 \end{array})$
	↓	Subtrahiere die Vektoren
$\overset{⇀}{P}$	$=$	$(\begin{array}{c} 3,1 \\ - 3 \end{array})$

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

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2. Variante: Lösung mit der Matrixform

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