17Vergleich Intervallschachtelung - Heron-Verfahren

In den Aufgaben hast du zwei verschiedene Verfahren angewendet und dabei unterschiedliche Werte für $\sqrt{7}\backslash sqrt\{7\}$ erhalten:

• Intervallschachtelung: $\sqrt{7}\approx \mathrm{2,65625}\backslash sqrt\{7\}\; \backslash approx\; 2\{,\}65625$

• Heron-Verfahren: $\sqrt{7}\approx \mathrm{2,64575}\backslash sqrt\{7\}\; \backslash approx\; 2\{,\}64575$

Wie kannst du jetzt entscheiden, welches Ergebnis genauer ist?

Du weißt: $(\sqrt{7}{)}^2=7(\backslash sqrt\{7\})^2=7$ Quadriere die beiden berechneten Werte und vergleiche, welcher näher an $77$ ist.

• Intervallschachtelung${}^2^2$: ${\mathrm{2,65625}}^2=\mathrm{7,05566}\backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; 2\{,\}65625^2\; =\; 7\{,\}05566$

• Heron-Verfahren${}^2^2$: ${\mathrm{2,64575}}^2=\mathrm{6,99999}\backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash quad\; \backslash quad2\{,\}64575^2\; =\; 6\{,\}99999$

Wie du siehst, ist der Wert des Heron-Verfahrens näher an $\sqrt{7}\backslash sqrt\{7\}$. Auch der Taschenrechner gibt einen Wert von $\sqrt{7}=\mathrm{2,64575}\backslash sqrt\{7\}\; =\; 2\{,\}64575$ aus.

Außerdem hast du für das Heron-Verfahren weniger Schritte gebraucht als für die Intervallschachtelung.

Die meisten Taschenrechner nutzen das Heronverfahren, um Wurzeln anzunähern. Dieses erreicht mit gleich vielen Schritten eine höhere Genauigkeit. Den Näherungswert rundet er anschließend und zeigt eine bestimmte Anzahl an Dezimalstellen an.