Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=2^{-x}\sin x$

Potenzgesetze anwenden.

$=\dfrac1{2^x}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac1{2^x}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{2^x}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin\;x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=\dfrac1{2^x}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1{2^x}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{2^x}_{\rightarrow0}}}_{\rightarrow\infty}\cdot\underbrace{\sin\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\sin x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=\dfrac1{x^2}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{x^2}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{x^2}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=\dfrac1{x^2}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1{x^2}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{x^2}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\cos x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(2x+3\right)\cos x\ =\ \lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\left(2x+3\right)}_{\rightarrow+\infty}\underbrace{\cos\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\cos x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(2x+3\right)\cos x\ =\ \lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\left(2x+3\right)}_{\rightarrow-\infty}\underbrace{\cos\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot2^x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow+\infty}5\cdot\underbrace{2^x}_{\rightarrow +\infty}=+\infty$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot2^x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}5\cdot\underbrace{2^x}_{\rightarrow 0}=0$