Aufgaben zu Grenzwerten und Asymptoten

Verhalten der Funktion für $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow-\backslash infty$ bzw. $x\to +\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow+\backslash infty$

Allgemeine Informationen und Erklärungen zum Thema Grenzwert findest du im Artikel Grenzwertbetrachtung.

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{x+1}=?}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\; f(x)\; =\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\; \backslash dfrac\{x^2\}\{x+1\}=\backslash \; ?$

Entsprechend natürlich auch:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{x+1}=?}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow+\backslash infty\}\; f(x)\; =\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow+\backslash infty\}\; \backslash dfrac\{x^2\}\{x+1\}=\backslash \; ?$

Berechnung von ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{x+1}}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to-\backslash infty\}\; \backslash dfrac\{x^2\}\{x+1\}$ und ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{x+1}}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to+\backslash infty\}\; \backslash dfrac\{x^2\}\{x+1\}$

Zur Berechnung der Grenzwerte kann man auf verschiedene Arten vorgehen:

• Methode 1: Ausklammern und Kürzen der höchsten $xx$-Potenz des Nenners

• Methode 2: Polynomdivision

• Methode 3: Anwenden der Regel von L'Hospital

Verhalten für $\text{}x\to -\mathrm{\infty }xx\to -\infty x$

Alternativen:

Du kannst natürlich auch einfach durch $xx$ kürzen:

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-3x+2}{4x-5}={\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-3+\frac{2}{x}}{4-\frac{5}{x}}=-\frac{3}{4}}}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to-\backslash infty\}\backslash frac\{-3x+2\}\{4x-5\}\; =\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to-\backslash infty\}\backslash frac\{-3+\backslash frac\{2\}\{x\}\}\{4-\backslash frac\{5\}\{x\}\}=-\backslash frac\{3\}\{4\}$, da ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2}{x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{5}{x}=0}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash to-\backslash infty\}\; \backslash frac\{2\}\{x\}=\backslash lim\_\{x\backslash to-\backslash infty\}\; \backslash frac\{5\}\{x\}=0$ ist.

Wenn du die Regel mit den höchsten Exponenten kennst, erhältst du genauso den Grenzwert: der höchste Exponent ist oben und unten eins, der Grenzwert ist also der Quotient der Vorfaktoren $-3-3$ und $44$.

Verhalten für $x\to +\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow\; +\backslash infty$

Verhalten für $\text{}x\to -\mathrm{\infty }xx\to -\infty x$