Aufgaben zu Grenzwerten und Asymptoten

Verhalten der Funktion für $x\rightarrow-\infty$ bzw. $x\rightarrow+\infty$

Allgemeine Informationen und Erklärungen zum Thema Grenzwert findest du im Artikel Grenzwertbetrachtung.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{x^2}{x+1}=\ ?$

Entsprechend natürlich auch:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x^2}{x+1}=\ ?$

Berechnung von $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{x^2}{x+1}$ und $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2}{x+1}$

Zur Berechnung der Grenzwerte kann man auf verschiedene Arten vorgehen:

• Methode 1: Ausklammern und Kürzen der höchsten $x$-Potenz des Nenners

• Methode 2: Polynomdivision

• Methode 3: Anwenden der Regel von L'Hospital

Verhalten für $x→−∞x$

Alternativen:

Du kannst natürlich auch einfach durch $x$ kürzen:

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{-3x+2}{4x-5} =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{-3+\frac{2}{x}}{4-\frac{5}{x}}=-\frac{3}{4}$, da $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \frac{2}{x}=\lim_{x\to-\infty} \frac{5}{x}=0$ ist.

Wenn du die Regel mit den höchsten Exponenten kennst, erhältst du genauso den Grenzwert: der höchste Exponent ist oben und unten eins, der Grenzwert ist also der Quotient der Vorfaktoren $-3$ und $4$.

Verhalten für $x\rightarrow +\infty$

Verhalten für $x→−∞x$