Aufgaben zu Grenzwerten und Asymptoten

Verhalten der Funktion für $x\to -\infty$ bzw. $x\to +\infty$

Allgemeine Informationen und Erklärungen zum Thema Grenzwert findest du im Artikel Grenzwertbetrachtung.

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}=?}$$

Entsprechend natürlich auch:

$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}=?}$$

Berechnung von $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}}$$ und $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}}$$

Zur Berechnung der Grenzwerte kann man auf verschiedene Arten vorgehen:

• Methode 1: Ausklammern und Kürzen der höchsten $x$-Potenz des Nenners

• Methode 2: Polynomdivision

• Methode 3: Anwenden der Regel von L'Hospital

Verhalten für $\text{}x\to -\infty x$

Alternativen:

Du kannst natürlich auch einfach durch $x$ kürzen:

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3x+2}{4x-5}={\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3+\frac{2}{x}}{4-\frac{5}{x}}=-\frac{3}{4}}}$$, da $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x}=0}$$ ist.

Wenn du die Regel mit den höchsten Exponenten kennst, erhältst du genauso den Grenzwert: der höchste Exponent ist oben und unten eins, der Grenzwert ist also der Quotient der Vorfaktoren $-3$ und $4$.

Verhalten für $x\to +\infty$

Verhalten für $\text{}x\to -\infty x$