Aufgaben zu trigonometrischen Gleichungen

1
Löse die Gleichung $\sin (2 x) = 0,5$ nach $x$ zwischen $0 °$ und $360 °$ auf. Verwende dabei die Umkehrfunktion des Sinus (arcsin).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: trigonometrische Umkehrfunktionen
$\sin (2 x)$ $=$ $0,5$
↓
Wende den $\arcsin ()$ auf beide Seiten an, um das $x$ aus der Sinusfunktion zu lösen.
$2 x$ $=$ $\arcsin (\frac{1}{2})$ $: 2$
$x$ $=$ $\frac{\arcsin (0,5)}{2}$
$x_{1} = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ}$
$x_{2} = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$
2
Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.
1. $\tan (x) = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
  $\tan (x)$ $=$ $0$
  ↓
  Die Nullstellen der Tangensfunktion sind $k π$ . Dies kannst du im Artikel zur Tangensfunktion nachlesen.
  Lösung:
  $x = k π, k \in ℤ$
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2. ${(\sin (x))}^{2} = \frac{3}{4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
  ${(\sin (x))}^{2}$ $=$ $\frac{3}{4}$ $\sqrt{}$
  ↓
  Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel
  $\sin (x)$ $=$ $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$
  ↓
  Wende die Wurzelgesetze an.
  $\sin (x)$ $=$ $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
  ↓
  Löse mit Hilfe von arcsin nach $x$ auf.
  $\begin{array}{ccccc} x_{1} & = & \frac{π}{3} + 2 kπ, & k \in ℤ \\ x_{2} & = & - \frac{π}{3} + 2 kπ, & k \in ℤ \end{array}$
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3. ${(\tan (x))}^{2} = 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
  ${(\tan (x))}^{2}$ $=$ $1$ $\sqrt{}$
  ↓
  Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.
  $\tan (x)$ $=$ $\pm \sqrt{1}$
  ↓
  Löse mit Hilfe von $a r c t a n$ nach x auf.
  $\tan (x)$ $=$ $\pm 1$
  $\begin{array}{ccccc} x_{1} & = & \frac{π}{4} + 2 kπ, & k \in ℤ \\ x_{2} & = & - \frac{π}{4} + 2 kπ, & k \in ℤ \end{array}$
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4. $\sin (x) = 1 - {(\cos (x))}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
  $\sin (x)$ $=$ $1 - {(\cos (x))}^{2}$
  ↓
  Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.
  $\sin (x)$ $=$ ${(\sin (x))}^{2}$
  $\sin (x) - {(\sin (x))}^{2}$ $=$ $0$
  $\sin (x) \cdot (1 - \sin (x))$ $=$ $0$
  Also ist $\sin (x) = 0$ oder $\sin (x) = 1.$ Daraus erhalten wir die Lösungen
  $\begin{array}{l} x_{1} = k π oder \\ x_{2} = \frac{π}{2} + 2 kπ, k \in ℤ \end{array}$
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3
Löse folgende Gleichung:
1. $\sin (x) = \cos (x) - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften von Sinus und Kosinus
  $\sin (x) = \cos (x) - 1$
  Stelle eine Tabelle mit wichtigen Funktionswerten auf.
  $x$
  $0$
  $\frac{π}{2}$
  $π$
  $\frac{3 π}{2}$
  $s i n (x)$
  $0$
  $1$
  $0$
  $- 1$
  $c o s (x)$
  $1$
  $0$
  $- 1$
  $0$
  $c o s (x) - 1$
  $0$
  $- 1$
  $- 2$
  $- 1$
  Suche gleiche Funktionswerte.
  $\begin{array}{l} \sin (0) = \cos (0) - 1 = 0 \\ \sin (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2}) - 1 = - 1 \end{array}$
  $x = 0$ und $x = \frac{3 π}{2}$ sind Lösungen. Periodizität beachten.
  Lösungen: $x_{1} = 0 + 2 k π, x_{2} = \frac{3 π}{2} + 2 k π, k \in ℤ$
  Anhand von Funktionsgraphen kann man erkennen, dass es keine weiteren Lösungen gibt.
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$x$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$
$s i n (x)$	$0$	$1$	$0$	$- 1$
$c o s (x)$	$1$	$0$	$- 1$	$0$
$c o s (x) - 1$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 1$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\sin (2 x)$	$=$	$0,5$
	↓	Wende den $\arcsin ()$ auf beide Seiten an, um das $x$ aus der Sinusfunktion zu lösen.
$2 x$	$=$	$\arcsin (\frac{1}{2})$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{\arcsin (0,5)}{2}$

$\tan (x)$	$=$	$0$
	↓	Die Nullstellen der Tangensfunktion sind $k π$ . Dies kannst du im Artikel zur Tangensfunktion nachlesen.

${(\sin (x))}^{2}$	$=$	$\frac{3}{4}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel
$\sin (x)$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$
	↓	Wende die Wurzelgesetze an.
$\sin (x)$	$=$	$\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
	↓	Löse mit Hilfe von arcsin nach $x$ auf.

${(\tan (x))}^{2}$	$=$	$1$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.
$\tan (x)$	$=$	$\pm \sqrt{1}$
	↓	Löse mit Hilfe von $a r c t a n$ nach x auf.
$\tan (x)$	$=$	$\pm 1$

$\sin (x)$	$=$	$1 - {(\cos (x))}^{2}$
	↓	Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.
$\sin (x)$	$=$	${(\sin (x))}^{2}$
$\sin (x) - {(\sin (x))}^{2}$	$=$	$0$
$\sin (x) \cdot (1 - \sin (x))$	$=$	$0$

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