Aufgaben zum Sinus und Kosinus am Einheitskreis

1
Überlege am Einheitskreis: Für welche Winkel zwischen $0^{\circ}$ und $360^{\circ}$ gilt $\sin (α) = 0,5$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einheitskreis
Verwende eine Skizze des Einheitskreises und zeichne eine Hilfslinie bei $y = 0,5$ .
Markiere die Schnittpunkte der Hilfslinie mit dem Kreis.
Miss die Winkel zwischen der x-Achse und den Schenkeln, die zu diesen Schnittpunkten führen.
Das sind die gesuchten Winkel.
Für die Winkel $30 °$ und $150 °$ gilt : $sin (α) = 0,5$
2
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen im Bereich $γ \in [- 180^{\circ}; 720^{\circ}]$ ( Teilaufgabe (a) ) bzw. $x \in [- 2 π; 6 π]$ ( ) (Teilaufgaben (b) - (c) )
1. $\cos (γ) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie am Einheitskreis
  $\cos (γ) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
  Der Kosinus ist im ersten sowie im vierten Quadranten positiv.
  1. Winkel
  $\cos (γ) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
  $γ_{1} = 45^{\circ}$
  2. Winkel
  $\cos (360^{\circ} - γ_{1}) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
  $\cos (360^{\circ} - 45^{\circ}) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
  $γ_{2} = 315^{\circ}$
  3. Winkel
  $\cos (360^{\circ} + γ_{1}) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
  $\cos (360^{\circ} + 45^{\circ}) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
  $γ_{3} = 405^{\circ}$
  4. Winkel
  $\cos (720^{\circ} - γ_{1}) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
  $\cos (720^{\circ} - 45^{\circ}) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
  $γ_{3} = 675^{\circ}$
  5. Winkel
  $\cos (0^{\circ} - γ_{1}) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
  $\cos (0^{\circ} - 45^{\circ}) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
  $γ_{4} = - 45^{\circ}$
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2. $\sin (\frac{x}{2}) = 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie am Einheitskreis
  $\sin (\frac{x}{2}) = 1$
  Sinus ist im ersten und zweiten Quadranten positiv.
  $y \in [- π; 3 π]$
  1.Winkel im Bogenmaß
  $\frac{x}{2} = y$
  $\sin (y) = 1$
  $y_{1} = \frac{1}{2} π$
  $x_{1} = π$
  2. Winkel im Bogenmaß
  $\sin (2 π + y_{1}) = 1$
  $\sin (2 π + \frac{π}{2}) = 1$
  $γ_{2} = 2,5 π$
  $x = 5 π$
  3. Winkel im Bogenmaß
  $\sin (0 - y_{1}) = 1$
  $\sin (- \frac{π}{2}) = 1$
  $y_{3} = - \frac{1}{2} π$
  $x = - π$
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3. $\sin (x) = - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie am Einheitskreis
  $\sin (x) = - 2$
  Geht nicht, da gilt: $- 1 \leq \sin (x) \leq 1$
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3
Für welche Winkel $γ$ gilt: $γ \in [0^{\circ}; 360^{\circ}]$ und $\cos (γ) = - \sin (γ)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$\cos (γ) = - \sin (γ)$
Der/Die Winkel müssen im zweiten und vierten Quadranten liegen.
$\sin (γ) = \cos (γ)$ wenn gilt $γ = 45^{\circ}$
Dem Winkel $γ = 45^{\circ}$ entsprechen
1.Winkel
$S y n t a x e r r o r f r o m l i n e 1 c o l u m n 323 t o l i n e 1 c o l u m n 328. U n e x p e c t e d^{''} .$
$S y n t a x e r r o r f r o m l i n e 1 c o l u m n 253 t o l i n e 1 c o l u m n 258. U n e x p e c t e d^{''} .$
$γ = 135^{\circ}$
$- (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
2.Winkel
$S y n t a x e r r o r f r o m l i n e 1 c o l u m n 325 t o l i n e 1 c o l u m n 330. U n e x p e c t e d^{''} .$
$S y n t a x e r r o r f r o m l i n e 1 c o l u m n 253 t o l i n e 1 c o l u m n 258. U n e x p e c t e d^{''} .$
$γ = 315^{\circ}$
$- (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

In dieser Aufgabe geht es darum, $\sin (60 °)$ zu berechnen.

Zeichne ein großes Koordinatensystem. $(1 Längeneinheit \hat{=} 8 Kästchen)$ . Konstruiere mit dem Zirkel den Einheitskreis und trage mit dem Geodreieck einen $60 °$ -Winkel an die $x$ -Achse. Konstruiere die Länge $\sin (60 °)$ und messe sie mit dem Lineal.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie am Einheitskreis
Zeichne das Koordinatensystem.
Konstruiere den Einheitskreis mit deinem Zirkel.
Benutze das Geodreieck, um einen $60 °$ -Winkel an die $x$ -Achse zu zeichnen. Markiere den Schnittpunkt der entstehenden Gerade mit dem Einheitskreis.
Zeichne das Lot, also eine Senkrechte, zur $x$ -Achse, das durch den markierten Punkt verläuft.
Nun kannst du die Länge des Sinus mit deinem Lineal messen.
$\sin (60 °) \approx 0,87$
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Berechne $\sin (60 °)$ genau. Finde dafür zuerst den Wert für $\cos (60 °)$ heraus. Konstruiere dafür ein gleichseitiges Dreieck.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

${(\cos (60 °))}^{2} + {(\sin (60 °))}^{2}$	$=$	$1^{2}$
	↓	Setze den Wert für den Kosinus ein.
${(\frac{1}{2})}^{2} + {(\sin (60 °))}^{2}$	$=$	$1^{2}$
$\frac{1}{4} + {(\sin (60 °))}^{2}$	$=$	$1$	$- \frac{1}{4}$
${(\sin (60 °))}^{2}$	$=$	$\frac{3}{4}$	$\sqrt{}$
$\sin (60 °)$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$
	↓	Weil $\sin (60 °)$ überhalb der $x$ -Achse angetragen wurde, kommt nur das positive Ergebnis in Frage.
$\sin (60 °)$	$=$	$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Aufgaben zum Sinus und Kosinus am Einheitskreis

1. Winkel

2. Winkel

3. Winkel

4. Winkel

5. Winkel

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1.Winkel im Bogenmaß

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