Aufgaben zur Quotientenregel

1
Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Quotientenregel.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Um diese Aufgabe bearbeiten zu können solltest du Ableitungen und vor allem die Quotientenregel beherrschen.
  $f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$
  Wende die Quotientenregel an.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(2 x + 2) \cdot 2 x - x^{2} \cdot 2}{(2 x + 2)^{2}}$
  ↓
  Vereinfachen.
  $=$ $\frac{4 x^{2} + 4 x - 2 x^{2}}{(2 x + 2)^{2}}$
  $=$ $\frac{2 x^{2} + 4 x}{[2 (x + 1)]^{2}}$
  $=$ $\frac{2 x \cdot (x + 2)}{4 \cdot (x + 1)^{2}}$
  $=$ $\frac{x \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)^{2}}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \frac{4}{3 x - 2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Ableitungen und die Quotientenregel.
  $f (x) = \frac{4}{3 x - 2}$
  Wende die Quotientenregel an.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(3 x - 2) \cdot 0 - 4 \cdot 3}{(3 x - 2)^{2}}$
  ↓
  Vereinfachen.
  $=$ $- \frac{12}{(3 x - 2)^{2}}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du dich mit Ableitungen und der Quotientenregel auskennen.
  $f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$
  Wende die Quotientenregel an.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(2 x - 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2}{(2 x - 1)^{2}}$
  ↓
  Vereinfachen.
  $=$ $\frac{2 \cdot (2 x - 1 - 2 x - 1)}{(2 x - 1)^{2}}$
  $=$ $- \frac{4}{(2 x - 1)^{2}}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du Ableitungen beherrschen. Vor allem die Quotientenregel und die Kettenregel sind wichtig.
  $f (x) = \frac{2 x + 1}{(2 x - 1)^{2}}$
  Wende die Quotientenregel an. Wende zudem die Kettenregel auf ${(2 x - 1)}^{2}$ an.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(2 x - 1)^{2} \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2 \cdot (2 x - 1) \cdot 2}{[(2 x - 1)^{2}]^{2}}$
  ↓
  $(2 x - 1)$ ausklammern.
  $=$ $\frac{(2 x - 1) \cdot [2 \cdot (2 x - 1) - 4 \cdot (2 x + 1)]}{(2 x - 1)^{4}}$
  $=$ $\frac{4 x - 2 - 8 x - 4}{(2 x - 1)^{3}}$
  $=$ $\frac{- 4 x - 6}{(2 x - 1)^{3}}$
  $=$ $- \frac{2 \cdot (2 x + 3)}{(2 x - 1)^{3}}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{5}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Zum Lösen dieser Aufgabe ist es hilfreich Ableitungen und Quotientenregel zu können.
  $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{5}}$
  Wende die Quotientenregel an.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{x^{5} \cdot 2 - (2 x + 3) \cdot 5 x^{4}}{(x^{5})^{2}}$
  ↓
  Vereinfachen.
  $=$ $\frac{2 x^{5} - 10 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
  $=$ $\frac{- 8 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
  $=$ $\frac{x^{4} \cdot (- 8 x - 15)}{x^{10}}$
  ↓
  Faktorisiere.
  $=$ $- \frac{8 x + 15}{x^{6}}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Quotientenregel.

f (x) = \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(2 x + 2) \cdot 2 x - x^{2} \cdot 2}{(2 x + 2)^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\frac{4 x^{2} + 4 x - 2 x^{2}}{(2 x + 2)^{2}}$
	$=$	$\frac{2 x^{2} + 4 x}{[2 (x + 1)]^{2}}$
	$=$	$\frac{2 x \cdot (x + 2)}{4 \cdot (x + 1)^{2}}$
	$=$	$\frac{x \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)^{2}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(3 x - 2) \cdot 0 - 4 \cdot 3}{(3 x - 2)^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$- \frac{12}{(3 x - 2)^{2}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(2 x - 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2}{(2 x - 1)^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\frac{2 \cdot (2 x - 1 - 2 x - 1)}{(2 x - 1)^{2}}$
	$=$	$- \frac{4}{(2 x - 1)^{2}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(2 x - 1)^{2} \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2 \cdot (2 x - 1) \cdot 2}{[(2 x - 1)^{2}]^{2}}$
	↓	$(2 x - 1)$ ausklammern.
	$=$	$\frac{(2 x - 1) \cdot [2 \cdot (2 x - 1) - 4 \cdot (2 x + 1)]}{(2 x - 1)^{4}}$
	$=$	$\frac{4 x - 2 - 8 x - 4}{(2 x - 1)^{3}}$
	$=$	$\frac{- 4 x - 6}{(2 x - 1)^{3}}$
	$=$	$- \frac{2 \cdot (2 x + 3)}{(2 x - 1)^{3}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{x^{5} \cdot 2 - (2 x + 3) \cdot 5 x^{4}}{(x^{5})^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\frac{2 x^{5} - 10 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
	$=$	$\frac{- 8 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
	$=$	$\frac{x^{4} \cdot (- 8 x - 15)}{x^{10}}$
	↓	Faktorisiere.
	$=$	$- \frac{8 x + 15}{x^{6}}$

$f (x)$	$=$	$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$
	↓	Wende die Quotientenregel an.
$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{\cos (x) \cdot \cos (x) - \sin (x) \cdot (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$
	↓	Trigonometrischen Phytagoras anwenden.
	$=$	$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Aufgaben zur Quotientenregel

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?