Aufgaben

Löse die folgenden Gleichungen jeweils nach %%x%% auf.

%%2^x=8%%

%%2^x=8%%

Wende den Logarithmus mit Basis %%2%% auf beiden Seiten an.

%%\log_2\left(2^x \right) = \log_2(8)%%

Verwende, dass man %%x%% aus dem Logarithmus nach vorne ziehen kann.

%%x \cdot \log_2(2) = \log_2(8)%%

  • %%\log_2(2)=\color{#cc0000}1%%, da %%2^\color{#cc0000}1=2%%
  • %%\log_2(8)=\color{#cc0000}3%%, da %%2^\color{#cc0000}3=8%%

%%x=3%%

%%7^{2x}=2%%

%%7^{2x}=2%%

Wende den Logarithmus zur Basis %%7%% an.

%%\log_7\left(7^{2x}\right)=\log_7 (2)%%

Ziehe %%2x%% aus dem Logarithmus nach vorne.

%%2x \cdot \log_7(7)=\log_7(2)%%

Verwende, dass %%\log_7(7)=1%%, da %%7^1=7%%.

%%2x=\log_7(2)%%

Dividiere auf beiden Seiten durch %%2%%.

%%x=\frac{1}{2}\cdot \log_7{2}%%

%%10^{x^2}=100%%

%%10^{x^2}=100%%

Wende den Logarithmus zur Basis %%10%% auf beiden Seiten an.

%%\log_{10}\left(10^{x^2} \right) = \log_{10} (100)%%

Ziehe den Exponenten %%x^2%% aus dem Logarithmus nach vorne.

%%x^2 \cdot \log_{10} (10) = \log_{10} (100)%%

  • %%\log_{10} (10) = \color{#cc0000}1%%, da %%10^\color{#cc0000}1=10%%
  • %%\log_{10} (100) = \color{#cc0000}2%%, da %%10^\color{#cc0000}2=100%%

%%x^2=2%%

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten.

%%x=\pm \sqrt{2}%%

Forme um.
Zu text-exercise-group 14365:
metzgaria 2017-07-06 20:47:02+0200
Hallo!
ist das Absicht, dass im Ordner "Aufgaben zum Rechnen mit e und ln" diese Aufgabe zwei Mal mit leicht unterschiedlichen Lösungen ist?
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exex+2e2x3\mathrm e^{-x}\cdot\mathrm e^{-x+2}\cdot\mathrm e^{2x-3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

exex+2e2x3\mathrm e^{-x}\cdot\mathrm e^{-x+2}\cdot\mathrm e^{2x-3}
Wende das Potenzgesetz an:
ex+(x)+2+2x+(3)\mathrm e^{-x+\left(-x\right)+2+2x+\left(-3\right)}
Fasse im Exponenten zusammen und schreibe alternativ ohne Potenz
e1=1e\mathrm e^{-1} =\displaystyle \frac1{\mathrm e}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

1e2x+3(ex)2(2ex)2\frac1{\mathrm e^{2x}}+3\left(\mathrm e^{-x}\right)^2-\left(\frac2{\mathrm e^x}\right)^2
Wende das Potenzgesetz an:
e2x+3e2x(2ex)2e^{-2x}+3e^{-2x}-\left(\frac2{e^x}\right)^2
Verwende (2ex)2=4e2x\left(\frac2{\mathrm e^x}\right)^2=\frac4{\mathrm e^{2x}}:
e2x+3e2x4e2xe^{-2x}+3e^{-2x}-\frac4{e^{2x}}
Schreibe den Bruch mit Hilfe eines negativen Exponenenten und fasse zusammen:
e2x+3e2x4e2xe^{-2x}+3e^{-2x}-4e^{-2x}
4e2x4e2x=04e^{-2x}-4e^{-2x}=0

Gesucht ist die Basis %%b%%.

Ersetze die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus.

%%2\log(u)+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]%%

%%\;2\log\;u+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]%%

%%=\log\;u^2+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]%%

%%=\log\;u^2+\frac12\left[\log\left(\left(u+v\right)\cdot\left(u-v\right)\right)\right]%%

Wende die 3. Binomische Formel an.

%%=\log\;u^2+\frac12\log\left(u^2-v^2\right)%%

%%=\log\;u^2+\log(u^2-v^2)^\frac12%%

Wende %%x^\frac12=\sqrt x%%   an.

%%=\log\;u^2+\log(\sqrt{u^2-v^2})%%

Wende die Produktregel für Logarithmus an und fasse somit beide Logarithmen zu einem Logarithmus zusammen.

%%=\log\left(u^2\sqrt{u^2-v^2}\right)%%

%%\left(n+1\right)\cdot\log(x)-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)%%

%%\left(n+1\right)\cdot\log\;x-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)%%

%%=\;\log\;x^{n+1}-\log\;x^{2n}%%

%%=\;\log\frac{x^{n+1}}{x^{2n}}%%

Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.

%%=\;\log\;x^{1-n}%%

%%\log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2%%

%%\log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2%%

%%=\;\log\left(\frac{a\cdot b\cdot a}b\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2%%

Kürze den Logarithmus und ziehe das Quadrat in die Klammer.

%%=\;\log\;a^2-\log\left(a^2b^2\right)%%

%%=\;\log\frac{a^2}{a^2b^2}%%

%%=\;\log\frac1{b^2}%%

Formen Sie um

Zu text-exercise-group 11003:
Nish 2019-09-17 16:52:31+0200
Die Lösungen der Aufgaben sollten nochmals nach den aktuellen Qualitätsrichtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.dev/90400) überarbeitet werden. Das wäre super!

LG,
Nish
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%%\ln(e^2)-3\cdot\ln\left(\frac e2\right)%%

Rechenregeln für Logarithmus anwenden

%%\ln(e^2)-3\cdot\ln\left(\frac e2\right)%%

Potenzregel und Quotientenregel für Logarithmus anwenden.

%%=2\cdot\ln\left(e\right)-3\left[\ln\left(e\right)-\ln\left(2\right)\right]%%

%%\ln(e)=1%%

%%=2\cdot1-3\left[1-\ln\left(2\right)\right]%%

Zusammenfassen.

%%=2-3+3\cdot\ln\left(2\right)%%

%%=3\cdot\ln(2)-1%%

%%\ln(2e^2)+\ln\left(\frac e2\right)%%

Rechenregeln für Logarithmus anwenden

%%\ln(2e^2)+\ln\left(\frac e2\right)%%

Produktregel und Quotientenregel für Logarithmus anwenden

%%=\ln(2)+\ln(e^2)+\ln(e)-\ln(2)%%

Potenzregel für Logarithmus anwenden

%%=\ln\left(2\right)+2\cdot\ln\left(e\right)+\ln\left(e\right)-\ln\left(2\right)%%

Zusammenfassen.

%%=3\cdot\ln\left(e\right)=%%

Benutze %%\ln\left(\mathrm e\right)=1%% .

%%=3%%

%%\frac23e^{-\ln\left(\frac34k\right)}%%

Rechenregeln für Logarithmus anwenden

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$$=\frac23\cdot\frac1{e^{\ln\left({\displaystyle\frac34}k\right)}}$$

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