Aufgaben

Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen im Bereich  %%\gamma\in\left[-180^\circ;720^\circ\right]%%  ( Teilaufgabe (a) ) bzw.  %%x\in\left[-2\mathrm\pi;\;6\mathrm\pi\right]%%  ( ) (Teilaufgaben (b) - (c) )

%%\cos\left(\gamma\right)=\frac12\sqrt2%%

Trigonometrische Gleichungen

%%\cos\left(\gamma\right)=\frac12\sqrt2%%

Der Kosinus ist im ersten sowie im vierten Quadranten positiv.

1. Winkel

%%\cos\left(\gamma\right)=\frac12\sqrt2%%

%%\gamma_1=45^\circ%%

#

2. Winkel

%%\cos\left(360^\circ-\gamma_1\right)=\frac12\sqrt2%%

%%\cos\left(360^\circ-45^\circ\right)=\frac12\sqrt2%%

%%\gamma_2=315^\circ%%

3. Winkel

%%\cos\left(360^\circ+\gamma_1\right)=\frac12\sqrt2%%

%%\cos\left(360^\circ+45^\circ\right)=\frac12\sqrt2%%

%%\gamma_3=405^\circ%%

3. Winkel

%%Syntax error from line 1 column 259 to line 1 column 264. Unexpected ''.%%

%%\cos\left(720^\circ-45^\circ\right)=\frac12\sqrt2%%

%%\gamma_3=675^\circ%%

4. Winkel

%%\cos\left(0^\circ-\gamma_1\right)=\frac12\sqrt2%%

%%\cos\left(0^\circ-45^\circ\right)=\frac12\sqrt2%%

%%\gamma_4=-45^\circ%%

%%\sin\left(\frac x2\right)=1%%

Trigonometrische Gleichungen

%%\sin\left(\frac x2\right)=1%%

Sinus ist im ersten und zweiten Quadranten positiv.

%%y\in\left[-\mathrm\pi;\;3\mathrm\pi\right]%%

1.Winkel im Bogenmaß

%%\frac x2=y%%

%%\sin\left(y\right)=1%%

%%y_1=\frac12\mathrm\pi%%

%%x_1=\mathrm\pi%%

2. Winkel im Bogenmaß

%%\sin\left(2\mathrm\pi+y_1\right)=1%%

%%\sin\left(2\mathrm\pi+\frac{\mathrm\pi}2\right)=1%%

%%\gamma_2=2,5\mathrm\pi%%

%%x=5\mathrm\pi%%

3. Winkel im Bogenmaß

%%\sin\left(0-y_1\right)=1%%

%%\sin\left(-\frac{\mathrm\pi}2\right)=1%%

%%y_3=-\frac12\mathrm\pi%%

%%x=-\mathrm\pi%%

Für welche Winkel  %%\gamma%%  gilt:  %%\gamma\in\left[0^\circ;\;360^\circ\right]%%  und  %%\cos\left(\gamma\right)=-\sin\left(\gamma\right)%%  ?

Trigonometrie

%%\cos\left(\gamma\right)=-\sin\left(\gamma\right)%%

Der/Die Winkel müssen im zweiten und vierten Quadranten liegen.

  %%\sin\left(\gamma\right)=\cos\left(\gamma\right)%%  wenn gilt  %%\gamma=45^\circ%%

Dem Winkel  %%\gamma=45^\circ%%  entsprechen

1.Winkel

%%Syntax error from line 1 column 323 to line 1 column 328. Unexpected ''.%%

%%Syntax error from line 1 column 253 to line 1 column 258. Unexpected ''.%%

%%\gamma=135^\circ%%

%%-\left(\frac{\sqrt2}2\right)=-\frac{\sqrt2}2%%

2.Winkel

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%%Syntax error from line 1 column 253 to line 1 column 258. Unexpected ''.%%

%%\gamma=315^\circ%%

%%-\left(-\frac{\sqrt2}2\right)=\frac{\sqrt2}2%%

%%\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}2%%

In dieser Aufgabe geht es darum, %%\sin(60°)%% zu berechnen.

Zeichne ein großes Koordinatensystem. %%(1 \text{ Längeneinheit} \; \hat{=} \; 8 \text{ Kästchen})%%. Konstruiere mit dem Zirkel den Einheitskreis und trage mit dem Geodreieck einen %%60°%%-Winkel an die %%x%%-Achse. Konstruiere die Länge %%\sin(60°)%% und messe sie mit dem Lineal.

Zeichne das Koordinatensystem.

Einheitskreis Koordinatensystem

Konstruiere den Einheitskreis mit deinem Zirkel.

Einheitskreis Einheitskreis

Benutze das Geodreieck, um einen %%60°%%-Winkel an die %%x%%-Achse zu zeichnen. Markiere den Schnittpunkt der entstehenden Gerade mit dem Einheitskreis.

Einheitskreis 60 Grad Winkel

Zeichne das Lot, also eine Senkrechte, zur %%x%%-Achse, das durch den markierten Punkt verläuft.

Einheitskreis Lot

Nun kannst du die Länge des Sinus mit deinem Lineal messen.

Einheitskreis Sinus

%%\sin(60°) \approx 0,87%%

Berechne %%\sin(60°)%% genau. Finde dafür zuerst den Wert für %%\cos(60°)%% heraus. Konstruiere dafür ein gleichseitiges Dreieck.

Einheitskreis gleichseitiges Dreieck

Einheitskreis Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem %%60°%%-Winkel hat der dritte Innenwinkel %%30°%%. Im Einheitskreis hat die Hypotenuse die Länge %%1%%.

Erweitere das Dreieck zu einem gleichseitigen Dreieck, indem du das gegebene Dreieck an der Kante mit %%\sin(60°)%% spiegelst. Das Dreieck muss gleichseitig sein, denn es hat drei %%60°%%-Winkel.

Einheitskreis gleichseitiges Dreieck

Im gleichseitigen Dreieck haben alle Seiten die gleiche Länge, also Länge %%1%%.

%%\cos(60°)%% ist genau die Hälfte der Seitenlänge des Dreiecks, also %%\frac{1}{2}%%.

Benutze nun den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck, um %%\sin(60°)%% zu berechnen.

%%\left(\cos(60°)\right)^2+\left(\sin(60°)\right)^2=1^2%%

Setze den Wert für den Kosinus ein.

%%\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\sin(60°)\right)^2=1%%

%%\dfrac{1}{4}+\left(\sin(60°)\right)^2=1%%

%%\mid - \dfrac{1}{4}%%

%%\left(\sin(60°)\right)^2=\dfrac{3}{4}%%

%%\mid \sqrt{}%%

%%\sin(60°)=\pm\sqrt{\dfrac{3}{4}}%%

Weil %%\sin(60°)%% überhalb der %%x%%-Achse angetragen wurde, kommt nur das positive Ergebnis in Frage.

%%\sin(60°)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}%%

%%\sin(60°)=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}%%

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