Aufgaben

Anwendungsbeispiele:

Zur Bestimmung der Schwerkraft y (in N) auf einen Körper der Masse 1kg in der Entfernung x von der Erdoberfläche (in km) gilt die Formel %%y=\frac{4\cdot10^8}{\left(6370+x\right)^2}%% . Was erhält man für x=0? Was für sehr große x-Werte?

für x=0

%%y=\frac{4\cdot10^8}{\left(6370+x\right)^2}%%

Null für x einsetzen.

%%y=\frac{4\cdot10^8}{\left(6370+0\right)^2}%%

%%y=9,86%%

für sehr große Werte

%%y=\frac{4\cdot10^8}{\left(6370+x\right)^2}%%

Limes x gegen  %%+\infty%%  bilden.

%%\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\;y=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\;\frac{4\cdot10^8}{\underbrace{\left(6370+x\right)^2}_{+\infty}}=0%%

Ist %%K_{Alt}%% das Anfangskapital eines Aktienbesitzers und %%K_{neu}%% das Endguthaben bei der Rendite ("Zinssatz") x (als Dezimalzahl, also x = 0,03 bei 3%), so berechnet man das Endguthaben mit %%K_{neu}%% = %%K_{Alt}\cdot\left(1+x\right)%% . Umgekehrt war also das Anfangsguthaben %%K_{Alt}=\frac{K_{neu}}{1+x}%% bzw. als Funktionsterm geschrieben z. B. bei %%K_{neu}%% = 15000: %%f(x)=\frac{15000}{1+x}%%

Wie müssten in diesem Beispiel negative x-Werte (z.B. x=-0,8) interpretiert werden? Wie die Definitionslücke? Wie die waagrechte Asymptote?

Auf einem Streckenabschnitt soll eine Autobahnteilstrecke neu gebaut werden.

Durch Steigungen und Gefälle können Probleme für die Verkehrsteilnehmer entstehen. Deshalb werden beim Neubau von Autobahnen Steigungen über %%6\% %% vermieden.

Das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke wird durch die Funktion %%\begin{align}h(x)=\frac3{x^2+6}\end{align}%% beschrieben (siehe Figur 1).

Graph der Steigung der Autobahn

Begründe rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.

Der Streckenverlauf wird durch eine gebrochenrationale Funktion erfasst, so dass deren Steigungsverhalten zu untersuchen ist.

Die Funktion %%h%% ist wegen %%h(x) = h(-x)%% achsensymmetrisch zu %%x = 0%% und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag.
Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung von %%h%% in den Wendepunkten höchstens 6 % beträgt.

%%\begin{align} h(x)=\frac{3}{x^2+6}\end{align}%%

Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel %%h'(x)%%

%%\begin{align} h'(x) &= \frac{0\cdot(x^2+6)-3\cdot2x}{(x^2+6)^2}\\ &=-\frac{6x}{\left(x^2+6\right)^2}\end{align} %%

Bilde jetzt die 2. Ableitung %%h''(x)%%

%%\begin{align} h''(x) &=-\frac{6(x^2+6)^2-24x^2(x^2+6)}{(x^2+6)^4} \\ &=-\frac{6(x^2+6)\left[(x^2+6)-4x^2\right]}{(x^2+6)^4} \\ &=-\frac{6(x^2+6)(6-3x^2)}{(x^2+6)^4} \\ &=+\frac{18(x^2+6)(x^2-2)}{(x^2+6)^4} \\ &=\frac{18(x^2-2)}{(x^2+6)^3} \end{align}%%

Löse jetzt die Gleichung %%h''(x) = 0%% um die Wendepunkte und somit die Stellen des größten Steigungsbetrags der Funktion %%h%% zu bestimmen

$$\frac{18(x^2-2)}{(x^2+6)^3}=0$$ %%\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x_1=-\sqrt2\;und\;x_2=+\sqrt2%%

%%x_1%% und %%x_2%% liefern Wendepunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da %%h''(x)%% bei %%x_{1,2}=\pm\sqrt2%% das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.

Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt: $$\left|h'(\pm\sqrt2)\right|=\frac{6\sqrt2}{64}\approx0,1326\approx13\%$$

Ergebnis:

Damit kann die Autobahnteilstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.

Im Intervall [-4;+4] soll die Autobahn daraufhin parabelförmig mit dem Höhenverlauf $$p:y=-\frac3{484}(x^2-38)$$ untertunnelt werden (siehe Figur 2 und die Vergrößerung in Figur 3).

Kann die geplante Autobahnteilstrecke jetzt gebaut werden?

Für diese Teilaufgabe muss die Steigung einer quadratischen Funktion untersucht werden.

%%\begin{align}h:y=\frac3{x^2+6}\end{align}%%

%%\begin{align}p:y=-\frac3{484}(x^2-38)\end{align}%%

Bestimme die Funktionswerte von %%h%% und %%p%% an den Stellen %%-4%% und %%4%%, an denen die beiden Funktionen aneinandergefügt sind.

%%\begin{align}h(\pm4)=p(\pm4)=\frac3{22}\end{align}%%

Die Funktionswerte stimmen also überein. Die Straße hat keinen "Sprung"

Berechne die ersten beiden Ableitungen von %%p%%.

%%\begin{align}p':\;y=-\frac{6x}{484}\end{align}%%

%%\begin{align}p'':\;y=-\frac{6}{484}\end{align}%%

Bestimme nun die Werte von %%p'%% am Rand der Definitionsmenge von %%p%%

$$p'(-4)=\frac6{121}\approx0,05$$

$$p'(4)=-\frac6{121}\approx-0,05$$

Da %%p''%% eine konstante Funktion und %%<0%% ist, liegen die Werte der Steigung von %%p%% im Intervall %%[-4;4]%% im Bereich %%\begin{align}[-\frac6{121};\frac6{121}]\end{align}%%. Der Betrag der Steigung ist also immer %%\le 5\% %%.

Ergebnis:

Diese Autobahnteilstrecke kann im Hinblick auf den Höhenverlauf gebaut werden.

Bestätige deine Rechenergebnisse z.B. mithilfe von Geogebra graphisch.
Tipp: Mit einem Programm wie Geogebra kannst du den graphischen Verlauf der Autobahnstrecke "nachbauen" und mit dem Steigungsverhalten experimentieren und deine Rechenergebnisse bestätigen.
Verschiebe im Geogebra-Applet die Punkte A, B, C, D und bestätige mit den jeweils abzulesenden Steigungswerten deine Rechenergebnisse aus den Teilaufgaben a und b.
Geogebra

Beim Neubau von Autobahnen werden Steigungen über 6% vermieden. Deshalb sind oft Untertunnelungen oder Geländeabtragungen nötig.

Bei dieser Aufgabe wird das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke durch die Funktion $$h:\;h(x)\;=\;\frac4{9+x^2}$$ beschrieben (siehe Fig. 1).

Begründe rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.

Die Funktion h ist wegen %%h(x)=-h(x)%% achsensymmetrisch zu x = 0 und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag. Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung in den Wendepunkten höchstens 6% beträgt.

$$h(x)=\frac4{9+x^2}$$

Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel%%h'(x)%%.

$$\begin{align}h'(x)&=\frac{0\cdot(9+x^2)-4\cdot2x}{(9+x^2)^2}\\&=-\frac{8x}{(9+x^2)^2}\end{align}$$

Bilde jetzt die 2. Ableitung %%h''(x)%%.

$$\begin{align}h''(x)&= -\frac{8(9+x^2)^2-8x\cdot 2(9+x^2)\cdot 2x}{(9+x^2)^4}\\&= - \frac {8(9+x^2)^2-32(9+x^2)x^2}{(9+x^2)^4}\\&=- \frac {8(9+x^2) \left[(9+x^2)-4x^2\right] } {(9+x^2)^4}\\&= \frac{24 (x^2-3)}{(9+x^2)^3}\end{align}$$

Löse jetzt die Gleichung %%h''(x) = 0%% um die Wendepunkte und somit die Stellen des größten Steigungsbetrags der Funktion h zu bestimmen.

$$\frac {24(x^2 - 3)}{(9+x^2)^3 }= 0$$

%%\Rightarrow%% %%x^2 - 3 = 0%% %%\Rightarrow%% %%x_1 = -\sqrt{3}%% und %%x_2 =+\sqrt{3}%%

%%x_1%% und %%x_2%% liefern Wendpunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da %%h''(x)%% bei %%x_{1;2}= \pm \sqrt{3}%% das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.

Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt:

$$\left|h'(\pm\sqrt3)\right|=\frac{8\sqrt3}{144}\approx0,096\%$$

Bei einer maximalen Steigung von 9,6 % kann die Autobahnstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.

Im Intervall [-2;+2] soll das Gelände daraufhin parabelförmig mit dem Höhenprofil $$p:\;p(x)\;=\;-\frac4{169}(x^2-17)$$ abgetragen werden (siehe die Fig.2 und die Vergrößerung in Fig.3)

Kann die Autobahn jetzt gebaut werden?

Bestätige das Rechenergebnis graphisch, indem du z.B. in einem Geogebra-Applet die kritischen Steigungswerte überprüfst!

$$h:y\;=\frac4{9+x^2}$$

$$p:\;y\;=\;-\frac4{169}(x^2-17)$$

$$h(\pm2)=p(\pm2)=\frac4{13}$$

Bestimme die Funktionswerte der beiden Funktionen h und p an den Stellen %%x\;=\;\pm2%% an denen sie zusammengefügt werden sollen.

Die Funktionswerte stimmen überein. Die Autobahn hätte an diesen Stellen also keinen "Sprung".

Die nach unten geöffnete Parabel hat ihren größten Steigungsbetrag jeweils am Rande ihres Definitionsbereiches, also an den Stellen %%x\;=\;\pm2%%.

Berechne den Steigungsbetrag der Parabel p und der Funktion h an den "Nahtstellen" %%x=\pm2%%.

$$h(x)=\frac4{9+x^2}\Rightarrow h'(x)=-\frac{8x}{(9+x^2)^2}\Rightarrow\left|h'(\pm2)\right|\approx0,0946$$

$$p(x)=-\frac4{169}(x^2-17)\Rightarrow p'(x)=-\frac{8x}{169}\Rightarrow\left|p'(\pm2)\right|\approx0,0946$$

Die Streckenabschnitte würden also an den Nahtstellen ohne Sprung und sogar ohne Knick in einander übergehen. Aber mit dem maximalen Steigungsbetrag von rund 9,4%. Der geplante Geländeabbau ist somit nicht ausreichend. Die Autobahnstrecke könnte mit diesem Höhenprofil nicht erneuert werden.

In dem gegebenen Geogebra-Applet kannst du die Planungssituation graphisch nachvollziehen und durch Verschieben der Punkte A, B, C und D die Steigungswerte überprüfen.

Das Aufsprungprofil einer Skisprungschanze wird näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben:$$f:x\mapsto\frac{48}{x^2+12}$$

Unter dem "K-Punkt" einer Sprungschanze versteht man den Aufsprungpunkt mit der geringsten Aufsprungbelastung für den Springer.

Berechne die horizontale Entfernung des K-Punktes vom Schanzentisch sowie den Neigungswinkel der Aufsprungbahn im K-Punkt.

Maßstab der Zeichnung: %%1\,LE = 50\,{m}%%

Die Aufgabe benötigt zur Lösung die Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion.

Aus physikalischen Gründen ist der K-Punkt die steilste Stelle der Aufsprungbahn. Mathematisch ist demnach der Wendepunkt der Funktion f zu berechnen.

%%\displaystyle f(x)=\frac{48}{x^2+12}%%

Bilde mithilfe der Quotientenrgel die Ableitung von %%f%%.

$$\begin{align}f'(x) &=\frac{0\cdot \left(x^2+12\right)-48\cdot 2x} {\left(x^2+12\right)^2}\\ &=\frac{-96x}{\left(x^2+12\right)^2}\end{align}$$

Bilde mithilfe der Quotientenregel die 2. Ableitung.

%%\begin{align}f''(x) &= -96 \cdot \frac{1 \cdot \left(x^2+12\right)^2-x\cdot2\left(x^2+12\right)\cdot 2x}{\left(x^2+12\right)^4} \\&= -96 \cdot \frac{\left(x^2+12\right)\left(x^2+12-4x^2\right)} {\left(x^2+12\right)^4} \\&= -96 \cdot\frac{12-3x^2}{\left(x^2+12\right)^3} \\&=288 \cdot \frac{x^2-4}{\left(x^2+12\right)^3} \end{align}%%

Setze die 2. Ableitung Null und bestätige den Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung an ihrer Nullstelle und damit das Vorliegen eines Wendepunktes.

%%\begin{array}{rcrl} 288 \cdot\displaystyle\frac{x^2-4}{\left(x^2+12\right)^3} &= &0 &|:288 \cdot \left(x^2+12\right)^3 \\ x^2-4 &= &0 &|+4 \\x^2&= &4 &|\sqrt{} \\x&= &\pm2 \end{array}%%

Beachte, dass %%f%% nur für positive %%x%% definiert ist.

%%f''(x)%% besitzt für %%x=2%% einen Vorzeichenwechsel, da gilt: $$f''(2-h)<0\;und\;f''(2+h)>0$$

Teilergebnis:

Der K-Punkt ist also %%50\,\text{m}\cdot2=100\,\text{m}%% horizontal vom Schanzentisch entfernt. (Dies ergibt eine "Großschanze".)

$$f'(x)=\frac{-96x}{(x^2+12)^2}$$

Berechne %%f'(2)%% um den Neigungswinkel der Aufsprungbahn an der K-Linie zu erhalten.

%%\displaystyle f'(2)=\frac{-96\cdot2}{16^2}=0,75%%

Benutze die Umkehrfunktion arctan.

$$\tan\left(\alpha\right)=0,75\Rightarrow\alpha=arc\tan(0,75)\approx-36,9^\circ$$

Teilergebnis:

Der Betrag des Neigungswinkels im K-Punkt (dem steilsten Aufsprungbereich) beträgt rund 36,9°.

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